高中数学-空间中两点的距离公式

4.3.2空间两点间的距离公式【知识提炼】空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=__________________________.(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】1.思考下列问题:(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗? 提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为()A. B. C.2 D.6【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为()A.6B.C.14D. 【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为. 【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为,则m= .【解析】由于解得m=1或m=5. 答案:1或5【知识探究】知识点空间两点间的距离观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系? 问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】1.对空间两点间距离公式的两点说明(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】类型一求空间两点间的距离【典例】1.(2015·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ()A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-22.(2015·兰州高一检测)点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.3.典例3中如何建立空间直角坐标系?提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为解得x=6或x=-2.2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【补偿训练】(2015·安康高一检测)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为.【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角线长为|AC1|=所以正方体的棱长为答案:类型二求空间点的坐标【典例】1.(2015·大理高一检测)已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,所以AB⊥OA,设B(0,y,0),则有OA=,|OB|=y,|AB|=由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,得解得即点P的坐标是答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为则P点的坐标为 . 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,即解得x=3或x=-1.答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求解?【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,解得或所以点P的坐标为(0,2+,0)或(0,2-,0)类型三空间两点间距离公式的应用【典例】1.(2015·贵阳高一检测)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是().A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.(2015·柳州高一检测)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.2.典例2中怎样表示出PQ的长度?提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,)(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD 上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为显然当x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC 的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?【解析】所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为,此时A点与B点的坐标为.【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】所以当时,|AB|取得最小值此时A,B坐标为答案:2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意设点Q(0,1,z),则所以当时,|PQ|min=此时Q恰为CD的中点.易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B 是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,-x+1,0),所以所以当时,|AB|取得最小值此时点答案:【防范措施】1.借助点的特征巧设点的坐标如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.。

空间两点间的距离公式目标使学生掌握空间两点的距离公式由来及应用．要点要点：空间两点的距离公式难点难点：空间两点的距离公式的推导。

教具课时多媒体一个课时准备安排教课方法、教课手段教课过程与教课内容与学法、学情一、复习准备：发问：平面两点间的距离公式？2.给你一块砖，你怎样量出它的对角线长，说明你的原因．建筑设计中经常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲解新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？怎样证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，所以学生完整能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标相关，猜想出空间两点间的距离公式|P1P2|(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接体现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培育学生对陌生问题经过已学的近似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材成心让学生经历一个从易到难，从特别到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成谨慎的思想习惯．2）学生阅读教材P136-P137内容，教师给与适合的指导．思虑：1）点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离？2)M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2．议论：假如OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形？2．例题1：求点P1(1,0,-1)与P2(4,3,-1)之间的距离．要修业生熟记公式并注意公式的正确运用练习：求点A(0,0,0)到B(5,2,2)之间的距离3．例题2：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值．剖析：利用空间两点间的距离公式，找寻对于x的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴(x 5)2 (2 4)2 (3 7)26即(x 5)2 16，解得x=1或x=9x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，经过解方程或方程组求解．练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点．2.试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4) 和C(4,6,1)各点的距离相等．三．稳固练习：1．P练习1、31382．已知三角形的极点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业空间两点间的距离公式1．空间两点的距离公式的推导．板2．公式的应用书教课反省。