第五章 频率特性法

-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
因而一阶微分环节的幅相频率特性是在GH 平面上由（1，j0）点出发，平行于虚轴而 一直向上引伸的一条直线，如图所示。
Im
.1
w→∞
w
w=3π/（2τ）
.
Re
w=π/τ
0
w=π/（2τ）
.w=0Re 1
0 1
w=0
. -1
W增大
一阶微分环节的幅相频率
延迟环节的幅相频率特性
6、延迟环节 延迟环节的传递函数为 G（s）=e- τ s 相应的频率特性表达式是 G（jw）=e-j τ s=1 · -j τ s e 故有 A（w）=1=const φ（w）= - τ 可见，延迟环节的幅值恒为1，相角与成 正比，其比例系数为τ。环节的幅值频率特 性是一个圆。圆心在原点上，半径为1，如 图所示。
1
2.对数频率特性曲线. 又称波特（Bode)图. 即将系统的频率特性表示在对数坐标中， Bode 图包括两部分 对数幅频特性 对数相频特性 ①对数幅频特性 纵坐标常用幅值的分贝表示，关系为 L（w）=20logA(w) (dB) 如A(w)=10,则L（w)=20dB L(w)称为增益，将A（w）变为L(w)后，可 用普通比例尺标注。
0 w=-∞ w=+∞
1/2
1 Re （w=0） 0
w→∞ Re
w1 w→0
图a 惯性的幅相频率特性
图b 积分环节的幅相频率特性
3、积分环节 积分环节的传递函数
G（s）=
1
s
其频率特性表达式为
1
G（jw）=
jw
= -j
1 w
=P（w）+jQ（w） 1 式中，P（w）=0；Q（w）=- w
故
A（w）=
由前可知， 函数 1/（1+jT） 完整地描述了RC网络在正弦 输入电压作用下稳态输出电压的幅值和相角 1/（1+jT） 随正弦输入电压频率变化的规律， 称 为网络的频率特性。 又由于G(s)= 1/（1+Ts） ∴以jw代替传函中的S，就可以到频率特性。 即G(jw)=G(s)|s=jw 这就是以频率特性来研究系统的根据。
A() () 0° -90°
由图可知： ω 从0→∞，幅值逐渐减小为0，而相角迟 后从0→-90°。 综上所述，频率特性的定义为：线性定常 系统（元件）的频率特性是初零条件下稳 态输出正弦信号与输入信号的复数比。 用G(j)表示: G(j)=A( ) ( ) =P()+jQ() 二 频率特性和传递函数的关系
φ （w）/（°）
误差，但并不大。可以证明，越近转折率， 误差就越大。最大误差出现在转折率w=1/T处， 其值为3.01dB。 3、积分环节的伯德图 L（w）=-20lgw 这是一个线性方 20 程，在半对数坐 0 标上表现为一条 -20 斜线。 1 10 0。1 积分环节的对数 幅频特性是一条 90 通过横轴w=1点 0
如图
线性 系统
输 入
输 出
幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅 值之比。（y/x) 相位差：同频率下输出信号相位与输入信 号相位差。（Φ）
频 率 特 性
幅频特性：幅值比随频率变化的特性 相位特性：相位差随频率变化的特性
一 频率特性的定义
若有RC网络如图 , Ui(t)=Uisint
R
Ui(t)
5-2 典型环节与开环系统频率特性
一、典型环节的幅相频率特性 求幅相频率一般可参照下列步骤进行： （1）求环节（或系统）的传递函数G（s）。 （2）用jw取代传递函数中s，求出频率特性表达 式G（jw ）。 （3）用G（jw ）的实部P（w）和虚部Q（w）求 出幅频特性A（w）和相频特性（w）表达式。 （4）选取不同的w值并计算A（w）和（w）， 在极坐标上描点并连成曲线。
1、比例环节 比例环节的传递函数为 G（s）=K=const 其频率特性表达式为 G（jw）=K=const 由于K是一个恒定的实数，故有 P（w）=K=const Q（w）=1 求得： A（w）=Κ√K2+0=K=const （w）=arctan0/K =0°
幅相频率特性仅仅 是复平面实轴上的一 个固定点，其坐标值 为（K，j0），如图 所示。
2 ζ w/wn 2 ζ w/wn （w）= 0-arctan 1-（w/w ）2 =-arctan 1-（w/wn）2 n
以阻尼系数ζ 为参变量，频率w由0→∞取一系列数 值，按照以上两式计算出相应的幅值和相角，即可绘 出幅相频率特性曲线。（图5-12）
5、微分环节 （1）纯微分环节 纯微分环节的传递函数为 G（s）=s 其频率特性表达式 G（jw）=jw 由于G（jw）是纯虚数，故有 P （w）=0 Q（w）=w 从而得 A（w）=w Q（w） （w）=arctan P（w） =90°
第五章 频率特性法
频率特性是经典控制理论中较重要的概 念之一，主要内容有： 一、频率特性曲线的绘制 二、奈魁斯特稳定判据 三、频率特性的实验求法 四、频率特性的校正
5-1 频率特性 频率特性：系统对正弦输入信号的稳态 响应特性。 人们曾经做过实验，当线性系统输入端 有正弦波作用时，输出响应仍是同频率的 正弦波，只是幅值和相位不同。而且输出 响应的幅值和相位将随频率的变化而变化。
在低频段，w很小。当w＜＜1/T即wT＜＜1 时， L（ w ）≈0（dB） 在高频段， w很大。当w＞＞1/T的高频段 亦可用一根斜线来表示，并称为高频渐近线。 具有-20dB/10倍频程的斜率，记为20dB/dec或简写[-20]。 当w=1/T时 L（w）=0（db） 即高频渐近线在频率w=1/T时正好与低频渐 近线相交，交点处的频率称为转折频率。 用渐近线代替对数幅频特性会带来一些
式中， P（w）=
1 1+T2w2
-Tw
Q（w）=
1+T2w2
故有 1 2（w）+Q2（w）= A（w）=P 1+T2w2
（w）=arctan P（w） =-arctanTw 其幅相频率特性曲线是一个以（1/2，j0） 为圆心、1/2为半径的半圆。
Q（w）
如图a所示
Im
-w1
GH平面
Im
GH平面
二 频率特性的几何表示法 频率特性图示法通常可由三种曲线描述. 1.幅相频率特性曲线. 又称极坐标图，或奈魁斯特(Nyquist)图. 作法：以ω为参变量，将幅频、相频同时 画在极坐标图上如RC网络： 不同的ω 对应不同的矢量 ω 从0→∞，矢量的矢端描绘 出的曲线即频率特性 ω =0. 幅值为1. 相角为0. ω =1/T 幅值为0.71 相角为-45° ω =∞ 幅值为0 相角为-90°
Im
GH平面
0
· Re K
比例环节的幅相频率特性
2、惯性环节 设惯性环节的传递函数为
1
G（s）=
TS+1
用jw代替传递函数中的s，得惯性环节的 频率特性表达式为
1
G（jw）=
1+jTW
将上式作有理化处理如下：
（1-jTw） （1-jTw） G（jw）= =P（w）+jQ（w） （1+jTw）（1-jTw） =（1+T2w2）
w/（rad·-1） s
2、惯性环节的伯德图 将A（）取对数，并乘上20倍得
L（w）=20lg =-20lg √ 1+T2w2 √ 1+T2w2
1
在时间常数T已知的情况下，将w由0至 无穷取值，计算出相应的L（w）值，即可 绘出惯性环节的对数幅频特性曲线。用这 种计算方法所得的结果很准确，但费时， 工程上一般不采用，而是代之以简便的近 似方法，即用渐近线分段表示对数幅频特 性。
w2n
1