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5第五章 多元函数微积分

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练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物面z yx=+ (2)(4222z yx =+(3)椭球面）(19164222=++zyx(4) 圆柱面）(122=+z x2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= (2) y x ez yx -+=+3解：⎩⎨⎧≥-≥00y x y 解：0≥-y x 即⎩⎪⎨⎧≥≥≥yxx y 200 {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为∴ 函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((3). ()y x f ,对于函数=yx y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径)0,0(0pp →时，所得极限值不同即可。

证明：①0(,)0,0)(0,0)p x y x x y p≠=当沿轴(此时趋于时，1),(lim ,1)0,(),(00===→→y x f x f y x f y x②当）时，，趋于（沿直线00)0(),(≠=x kx y y x p)0(111),(≠≠+-=+-=k kk kxx kx x y x f综合①②可知函数极限不存在，证毕。

练习5.21． 求下列函数的偏导数 ①;,,33y zx z xy y x z ∂∂∂∂-=求解：23323,3xy x yz y y x xz -=∂∂-=∂∂②;,,)ln(yz x z xy z ∂∂∂∂=求解：[])ln(21.1.)ln(2121xy x y xyxy x z ==∂∂-[])ln(21.1.)ln(2121xy y x xyxy yz ==∂∂-③yx xz y x x z z∂∂∂∂∂+=222,),ln(求解：yx x y x xz +++=∂∂1.)ln(2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x yx yx x y x xx zx xz ++=+-+++=+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂222)()(01)ln()(y x yy x x y x y x x y x y xzy yx z +=+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ ④;,3zy x u eu xyz∂∂∂∂=求解；2,()xyzxyzxyzz xyzu u yze zeyzxzez xyz exx y∂∂==+=+∂∂∂xyzxyzxyzz xyexyz z exyz z exyz z zyx uz zy x u )()2()()(2223+++=+∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=)31()21(222222z y x xyz ez y x xyz xyz exyzxyz++=+++2．设yf y f ey x f y xy∆-∆+=→∆)1,2()1,2(lim,),(02则解：22(1)(2,1)(2,1)limlim()0y y y f y f eyy+∆∆→∆→+∆-=∆∆未定式 22(1)(2)10lim1y y e y +∆∆→+∆⋅-==4 2e3．设z y x u u u z yx u +++++=）处求，，在点（111),1ln(32解：3211z y x u x +++=3212zy x yu y +++=32213zy x zu z +++=23434241|)1,1,1(=++=++∴z y x u u u4．设02,2=∂∂+∂∂=yz yxz xez yx求证证明：22221xx yyz ey exy-∂=⋅=∂22331(2)2xxyyz ex xy eyy-∂=⋅⋅-=-∂22222323122(2)22xxx xyyyyz z xyxy eyex xy ey xy exyy---∂∂∴+=+⋅⋅-=-⋅+∂∂=0 证毕 练习5.31． 求下列函数的全微分（1）求z=xy 在点（2，3）处，当时的全增量与全微分与2.01.0-=∆=∆y x解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-⨯=--+=∆f f z30.12(0.2)0.1x y dz z x z y y x x y =∆+∆=∆+∆=⨯+⨯-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y xz解：dy y x y dx xz dz 2212+++∂∂=dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求 解：()()u du dx x z dy x y dz x∂=++++∂dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=2．计算下列各式的近似值（分析运用公式01000()(,)f x x y y f x y f x x f y y ''+∆+∆≈+∆+∆）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=∆==∆==y y x x x y x f y取 y y f x x f y x f y y x x f ∆'+∆'+≈∆+∆+=),()()1.10(0001003.201.0ln 1.010)2,10()2,10(12⋅+⋅+=-xx yxyy9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f取 02.0,1,03.0,100-=∆==∆=y y x x 原式23(1,1)(10.03,10.02)11)|(0.02)f x-=+-≈+-+-=0+005.002.04103.031=⨯-⨯(3) 046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 180,4,180,30000πππ=∆=-=∆=y y x x则 原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)()64180180x y f f f ππππ''≈+-+=2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ⨯+-+⋅=11)22180180xx ππ+-+⋅=0.5023练习5.4 1.求下列函数的导数或偏导数。

（1）.,.23,,ln 2yz x z y x v yx u v u z ∂∂∂∂-===求而 解：22223122ln 3ln(32)32x z z u z v ux yu v x y xu x v xyvyx y⋅∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂-222)23(3)23l n (2yy x xy x yx -+-=)23(2)23ln(2)2()(ln 2223222y x y xy x yx vuyx v u yv v z yu u z yz ----=-+-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(2) dtdz e y e x xy z tt 求而,1,,2-===解:dtdy y z dtdx x z dtdz ∂∂+∂∂=)2(122tte xe xy -+⋅-=)2(11222tttte te ee -+⋅--==te --2(3) dxdz x y yx y x z 求而,32,2-=+-=解：方法1：222222323()()2333(22)(33)(23)3(33)d z d x x d xx d x d xxx d xx x x xx x -+-+==+------+⋅=-22)1(312---=x x x方法2：dxdy y f xf dxdz ∂∂+∂∂==222222)1(3122)()()()()()(2---=⋅+--+-++--+x x x y x y x y x y x y x y x x（4） θθθ∂∂∂∂==-=zu z u y u x xy y x z ,,sin ,cos ,22求而解：uy y z ux x z uz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂22(2)cos (2)sin ,xy y x xy θθ=-+-θθθθθθθθsin )sin cos 2cos (cos )sin sin cos 2(2222u u u u u u ⋅-+-⋅==),sin (cos cos sin 32θθθθ-uuy y z x y z z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθ=θθcos )2()sin ()2(22u xy xu y xy -+--=)cos (sin )cos (sin cos sin 23333+++-θθθθθu u 2.求下列隐函数的导数或偏导数. ① .,0ln ln dxdy x y xy 求=-+解：两边同时对x 求导。

,011''=-++xy yxy yy xyx y -=+1)1('yx y x y 11'+-=yx x xyy y 22'+-=②dxdy xy e y x求,0sin 2=-+解： 两边同时对x 求导。

02c o s '2'=--+xyy y e y y xx e y xy y y -=-2')2(cosxyy yy 2cos 2'-=3.已知方程).,(,0),2(222y x f z z y x y x F ==++++所确定的函数y z x z F ∂∂∂∂,，求的两个一阶偏导数存在且解：令0),(,,2222=++=++=v u F z y x v y x u 则 ①两边同时对x 求偏导，0=∂∂∂∂+∂∂∂∂xv v F xu u F0)22()1(''''=+++x v x u zz x F z F'''''22vu v u xzF F xF F xz z ++-=∂∂=② 两边同时对y 求偏导，0=∂∂∂∂+∂∂∂∂yv v F yu u F0)22()1(''''=+++y v y u zz y F z F'''''22vu v u xzF F yF F yz z ++-=∂∂=练习5.51. 的值求二元函数296922+-++-=y x y xy x z解：⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+-=14062092''y x y x z y x z y x 解得 2,1,0''''''==-==>==yy xy xx Z C Z B z Z A 又03412<-=-=-=∆AC B 是极小值1|)1,4(-=∴-Z22601222515z x y x xy yx y =+---+=2.求二元函数 在条件下的极值解：)15(5221260),,,(22-++---+=y x y xy xy x z y x F λλ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=015010212002460'''y x F y x F y x F y x λλλ解：⎪⎩⎪⎨⎧-===1896z y x因为只有唯一的一个驻点，且根据题意z 有极大值， 故极大值855|)9,6(=z112112212121212211111122222212222121212123,,,82,102532,,821025714544P Q Q Q P P Q P P C Q Q P P P P R P Q P P P P R P Q P P P P L R R C P P P P P P L =-+=+-=+==-+==+-=+-=+--+-'1212设分别为商品x ,x 的需求量而它们的需求量为总成本函数为,其中为商品x ,x 的价格.试问价格取何值时可使利润最大?解 利润函数()2111222121221212724063/214141040241040,,(63/2,14)P PP P P P P P P P P L P P A L B L C L B AC L P P =-+=⎧=⎧⎪⎨⎨'==-+=⎩⎪⎩''==-''==''==-∴-=-<= 解为唯一驻点有极大值.故在处取极大值.221.,(,)6424432146444403248244x y xxL x y x x xy y y L x y x L x y y A L =-+-+-'=-+=⎧⎧⎨⎨'=+-=⎩⎩''==- 某公司生产两种商品x 和y 利润函数为其中x,y 表示商品x,y 的产量,求x,y 各为多少时,所获利润大?最大为多少?解解得又08xyyyB LC L ''==''==-()()2320,40,2440,241650.B AC L ∴-=-<=故在取大值,即最大值()()()()3222,13,7134122505024X Y C X Y XY XY X Y =+-++++某公司同时销售煤气和电力的销量为单位:万米,电力的销量为单位:千瓦,总成本函数为单位:万元()()()22,4360.,436013,,713412250436024X Y X Y C X Y X Y F X Y XY XY X Y X Y λλ+-=+-==+-+++++-=其中满足问应如何安排销售,才能使总成本最低?解:条件极值问题,实际中有最小值,所以即求在条件下的极值.令()()()'3227134403712024360138881,6202X Y F X Y F Y X F X Y Y f L K L K L Kλλλ'=-+-=⎧⎪⎪'=-++=⎨⎪=+-=⎪⎩==+--382解得X=万米81千瓦即为销售安排.3:设某企业和生产函数为其中L 表示生产力,K 表示资本投入.如果这两种生产要素的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求f 在条件4L+8K=88下的极大值.()()22'',,6202488862402048048880(6,8)32L K L K L K L K L K F L F K F L K f λλλλλ=+--++-⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪=+-=⎩=令F 解L=6,K=8,所求最大生产量习题五 1：选择题。

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多元函数微积分(课件)

多元函数微积分(课件)

3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。

它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。

本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。

1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。

多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。

在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。

多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。

2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。

偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。

全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。

全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。

3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。

类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。

对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。

4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。

多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。

多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。

大学微积分多元函数的基本概念

大学微积分多元函数的基本概念


•
P1 E
•
P2
微积分（二） calculus
(3)界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E的点
，也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E，
也可以不属于E )，则称P 为E 的边界点。
E 的边界点的全体称为E 的边界。
E 的边界点可能属于E，
•P
也可能不属于E。
E
微积分（二） calculus
C
边界点
定义 当变量x,y任意取定一对有序数组(x,y)时，第 三个变量z依某一确定的法则有唯一确定的值与其 对应，则称z变量为变量x与y的二元函数。记为
z f (x, y)
微积分（二） calculus
定义域的求法
一般而言，二元函数 z=f(x,y) 的定义域是指使
函数 f(x,y) 有意义的点 (x,y) 所组成的平面点
y r
C
-r
o
rx
-r 图2
微积分（二） calculus
2、邻域 点集 {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 2, 0} 称为点 P(x0 , y0 ) 的 邻域。记为 U ( p0, )
p0 称为邻域的中心， 为邻域的半径。
点集 {(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 2, 0} 称为点 P(x0 , y0 ) 的 空心邻域。
主要内容
平面区域 空间解析几何简介 多元函数的概念、极限与连续
微积分（二） calculus
一、问题的提出
微积分是研究“变量问题”的数学工具，实 际问题中常常碰到多变量的函数问题，如
例1 一公司做某商品的销售广告，据统计，销售 收入R万元与电台广告费x万元及报纸广告费y万 元的函数关系：
多元函数的微积分

多元函数的微积分

多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。

在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。

相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。

多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。

二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。

偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。

对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。

对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。

对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。

2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。

具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。

定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。

四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。

具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。

2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。

3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。