第二章第五节-第六节(上)

第二章(第五,六节)
第五节 连续型随机变量
及其概率密度函数
随机变量X ,简记为X v r ..,
分布函数}{)(x X P x F ≤=.
定义 4 设随机变量X 的分布函
数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有
⎰∞-=x dt t f x F )()(,
则称X 为连续型随机变量,
称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.
概率密度函数的性质：
由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质：
（1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ；
（2）1)()(=+∞=⎰+∞
∞
-F dx x f 。

反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.
连续型随机变量X 取区间值概率的计算.
定理 设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f ,
则有
(1)⎰∞-=x dt t f x F )()(是连续函数;
(2),0)()(}{=-==-x F x F x X P ()+∞∞-∈∀,x ;
(3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b ⎰=-=∈b a dx x f a F b F I X P )()()(}{;
(4)若)(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0
0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上
可任意给)(x f 的值).
例1 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(3
x x x x x F ,
求随机变量X 的概率密度)(x f .
解 由)()(x F x f '=,得
⎩⎨⎧<≤=其它,010,3)(2
x x x f . 例2设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ,
求(1)}2
1|{|≤X P ; (2) X 的分布函数 .
解(1) }2
121{}21|{|≤≤-=≤X P X P ⎰-=2121)(dx x f ⎰-=021
)(dx x f ⎰+2
10)(dx x f
⎰-+=021
)1(dx x ⎰-+2
10)1(dx x 2
10
2021
2|)21(|)21(x x x x -++=- 75.04
38383==+=;
(2) ⎰∞-=x
dt t f x F )()(,
当1-<x 时,
)(,0)(x t t f ≤<-∞=,0)(=x F ;
当01<≤-x 时,
⎰⎰--∞-+=x
dt t f dt t f x F 11)()()( x
x t t dt t 1
21|)21()1(0--+=++=⎰ 21212
++=x x ;
当10<≤x 时,
⎰⎰⎰++=--∞-x
dt t f dt t f dt t f x F 0011)()()()( ⎰⎰-+++=-x
dt t dt t 001)1()1(0 x
t t t t 0
2012|)21(|)21(-++=-
21212
++-=x x ,
当1>x 时，
⎰⎰⎰⎰+++=--∞-x dt t f dt t f dt t f dt t f x F 110011)()()()()(10)1()1(01
001=+-+++=⎰⎰-dt t dt t ， 于是，X 的分布函数为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++-<≤-++-<=1,110,212101,21211
,0)(2
2x x x x x x x x x F .
第六节
常用的连续型随机变量分布
具有代表性的连续型随机变量分布有以下几种:
一、 均匀分布
称ζ为区间（a ，b ）上均匀分布的随机变量，如果它是连续型随机
变量，具有概率密度函数：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它
,0,1)(b x a a b x f 记作),(~b a U ζ, 它的分布函数为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<<≤--=b x a x b x a a b a x x F ,1,0,)( . 例1 设随机变量]4,4[~-U ζ，试求方程 06442
=+++ζζt t 有实根的概率.
解 ζ的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它
,044,81)(x x f , =A 方程 06442=+++ζζt t 有实根
}0)6(44)4{(2
≥+⨯⨯-=ζζ }06{2
≥--=ζζ
}2{}3{-≤+≥=ζζ,
}2{}3{)(-≤+≥=ζζP P A P ⎰⎰-∞
-+∞+=2
3)()(dx x f dx x f ⎰⎰--+=2
4
438181dx dx 375.08
38281==+= . 二、指数分布
若随机变量ζ的概率密度为
⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x
λλ,
(其中0>λ为常数)
则称ζ服从参数为λ的指数分布. 它的分布函数为
⎩⎨⎧≥-=<=⎰∞
--x x
x e dt t f x x F 0,1)(0
,0)(λ.
服从指数分布的实际例子:
指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”ζ的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动
物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位.
例2 设某电子元件的寿命ξ(以小时计)服从参数001.0=λ的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.
解 根据题意,ξ的概率密度为 ⎩⎨⎧≤>=-0,00,001.0)(001.0x x e x f x ,
记=A 该元件至少能使用1000小时, 则 }1000{)(≥=ξP A P
⎰+∞=1000)(dx x f ⎰+∞-=1000001.0001.0dx e x 3679.0|)(11000
001.0≈=-=-+∞-e e x .
例题：设某人打一次电话所用的时间ζ服从参数为1/10（单位：分）的指数分布，当你走近电话室需要打电话，某人恰好在你面前开始打电话。

求以下几个事件的概率：
（1）你需要等待10分钟以上；
（2）你需要等待10－20分钟；
解： 用ζ表示某人的通话时间，也就是你的等待时间，则ζ的分布密度
⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,101)(10
x x e x f x ,
所以要求的概率分别为: (1)
368.0101)10(10
1
10≈==>⎰∞--e dx e P x
ζ ; (2)⎰-=<<2010
10
101)2010(dx e P x
ζ 233.02
1≈-=--e e .
三、威布尔(Weibull)分布 若随机变量ζ的概率密度为 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=--0,00,)()()(1x x e x x f x βηβηηβ, 其中βη,均为正常数,
则称ζ服从参数为βη,的威布尔分布,
记作),(~βηζW .η称为尺度参数(又叫量纲参数或特征寿命),β称为形状参数.
不难看出,当1=β时, 威布尔分布即为指数分布.
大量的经验表明,许多产品的寿命,如滚动轴承的疲劳寿命,电子元器件的寿命等都服从威布尔分布.它在可靠性问题中有广泛的应用.
四、Γ分布
若随机变量ζ的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x
βαααβ, 其中0,0>>βα均为常数, dt e t t -+∞-⎰=Γ0
1)(αα
则称ζ服从参数为βα,的Γ分布, 记作),(~βαζΓ.
Γ分布在水文统计、最大风速或最大风压的概率计算中经常要用到.概率论中不少常见的重要分布只是Γ分布的特殊情形.当1=α时, Γ分布即是参数为β的指数分布;当2
1,2==βαn 时, Γ分布则是统计学中十分重要的)(2
n χ分布,其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)2(21)(2122y y e y n y f y n n .
Γ函数的定义为
dt e t t
-+∞
-⎰=Γ01)(αα,(0>α), (含参变量的广义积分)
Γ函数具有以下性质: (1)π=Γ=Γ)2
1(,1)1(; (2)
对任意0>s ，有)()1(s s s Γ=+Γ （由
dt e t s t
s ⎰+∞-=+Γ0)1(dt e t t s )(0'-=⎰+∞-，
通过分部积分来计算证明。

）
(3)对自然数n ,!)1(n n =+Γ . （由迭代)()1(n n n Γ=+Γ给出。

）。