第4节 平面向量的综合应用课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【知识衍化体验】知识梳理1．向量与平面图形（1）用向量解决的常见平面图形问题：、 、 、 、 等问题（2）用向量解决常见平面图形问题的步骤：问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题2．向量与解析几何向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答．3．向量与物理学科物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题．【微点提醒】1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ⇔=∈R ；平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ⇔=∈R .2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥⇔⋅=；平面上三点O A B ，，，向量OA ，OB 夹角的余弦值为||||OA OB OA OB ⋅⋅. 3．两点A B ，的距离||AB AB =.4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡⇔1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =⋅．基础自测疑误辨析1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）（2）若AB CD λ=，则AB CD . （ ） （3）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形. （ ） （4）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形. （ ）（5）点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,[0,)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定过△ABC的重心. （ ） 教材衍化2．已知O 是坐标原点，点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R αβ∈，．若点C 在直线AB 上，则αβ+的值为______________.（必修4第77页第11题改编）3．在ABC ∆中，设(2,3),(1,),AB BC k ==且ABC ∆是直角三角形，则k =______________. （必修4第81页第例4改编）考题体验4．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 5．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- 6．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为______________．7．（2019年全国卷Ⅱ理科19.2） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若3AP PB =，则AB =______________．【考点聚焦突破】考点1 向量在平几情境中的应用【例1】（1）已知O ，A ，B ，C 是平面上不共线的四点，32若320-+=OA OB OC ，则||||=AB BC ______________． （2）如图，在圆O 的内接ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AC =，若4AO AM ⋅=，则AB =______________．【训练1】（1）在△ABC 中，2=AB ，3=AC ，1=AB BC ，则BC =______________.（2）已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心考点2 向量在解几情境中的应用【例2】（1）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞ C ．[]5,5-D ．[]25,25- （2）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于、A B 两点，自、A B 向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CFD ∠=______________．【训练2】在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点3 向量在物理情境中的应用【例3】（1）已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A ．()1,5- B ．()1,5- C ．()5,1- D ．()5,1-（2）在平面直角坐标系中，力()2,3F =作用一物体，使物体从点()2,0A 移动到点()4,0B ，则力F 对物体作的功为______________.【训练3】（1）已知三个力()12,1F =--，()23,2F =-，()34,3F =-，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4F ，则4F =（ ）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2（2）一个物体在力()1,2f =的作用下产生位移()3,4s =，那么力f 所做的功为________．考点4 向量的其他应用【例4】构造合适的向量，证明：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．【训练4】已知11122=-+-a b b a ，则22a b +=______________．反思与感悟【思维升华】向量具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是数形结合思想的重要体现。
4.4平面向量应用举例班级 姓名 学号一、高考目标：1、经历用向量方法解决力学问题、简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程。
2、体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、知识再现1、平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题。
2、用向量方法解决几何问题一般分三步：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系3、用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象。
三、考点示例类型之一：平面几何中的向量应用例1、如图，O 为ABC ∆的外心,E 为ABC ∆内一点,满足,→→→→++=OC OB OA OE 求证:→→⊥BC AE类型之二:平面解析几何中向量的应用例2、已知O 为坐标原点，A 点坐标为)2,2(，B 点坐标为)1,4(，在x 轴上有一点P ，使→→•BP AP 取得最小值，求P 点坐标及此时APB ∠的余弦值。
类型之三：向量在物理中的应用例3、如图，一条河的两岸平行，河的宽度m d 500=，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度h km v /10||1=，水流速度h km v /2||2=，问行驶航程最短时，所用时间是多少？四、达标作业1、 已知,3||=→a 2||=→b ，→a 与→b 的夹角为ο30，求||→→+b a ，||→→-b a2、 （06全国）已知向量→→b a ,满足|→a |=1，|→b |=4，且→a •→b =2，则→a 与→b 的夹角为3、 已知→a =（1，0），→b =（1，1），λ为何值时，→a +→b λ与→a 垂直。
