专题5.4 平面向量的应用

第04节 平面向量的应用平面向量的综合应用 【题组展示】一、选择题1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==． 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．32．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B1C ．2D．23．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．24．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 E DCBA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I6．（2016四川）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是A ．434 B ．494CD7．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅＝A ．232a -B ．234a - C ．234a D ．232a8．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-9．（2015福建）已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于A ．13B ．15C ．19D ．2110．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=A ．20B ．15C ．9D ．611．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的坐标为(2,0)，则OABCDPA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．912．（2014安徽）在平面直角坐标系中，已知向量,a b ，||||1==a b ，0⋅=a b ，点满足2()OQ =+a b ．曲线{|cos sin ,02}C P OP θθθπ==+a b ≤≤，区域 {|0||,}P r PQ R r R Ω=<<≤≤．若C Ω为两段分离的曲线，则A ．B ．C ．D ． 13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE λBC ，DFμDC .若1AE AF，23CE CF，则λμA ．12B ．23C ．56D ．71214．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=A ．13 B ．23 C ．43D ．2 15．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A．(-B．(-C ．(2)--D ．(2)- 16．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5217．（2011山东）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R )，(μ∈R )，且，则称，调和分割，，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割xOy Q 13r R <<<13r R <<≤13r R ≤<<13r R <<<1A 2A 3A 4A 1312A A A A λ=1412A A A A μ=112λμ+=3A 4A 1A 2A点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 二、填空题18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．20．（2017天津）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC AB λ=-()λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．21．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．22．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．23．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ∥,2AB =,1BC =,60ABC ∠=．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=，19DF DC λ=，则AE AF ⋅的最小值为 ． 24．（2015江苏）设向量(cos ,sin cos )666k k k k πππ=+a (0,1,2,,12)k =⋅⋅⋅，则∑=+⋅121)(k k k a a 的值为 ． 25．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，为原点，动点满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是 ．O (1,0),(3,0),A B C -D27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．28．（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。

当圆滚动到圆心位于时，的坐标为．29．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=______． 三、解答题30．（2015广东）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量=m ，(sin ,cos )x x =n ， (0,)2x π∈．（1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 31．（2014辽宁）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．xoy ()1,0P ()0,0x ()1,2OP32．（2014山东）已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间． 33．（2013江苏）已知(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0βαπ<<<．(1)若||-=a b ⊥a b ；(2) 设(0,1)=c ，若+=a b c ，求，的值．34．（2013湖南）过抛物线的焦点F 作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A ，B ，相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N为圆心）的公共弦所在的直线记为．（I ）若，证明：22FM FN p ⋅<；（II ）若点M 到直线的距离的最小值为，求抛物线E 的方程． 35．（2013辽宁）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2x x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若||||=a b ，求x 的值；（II ）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值．αβ2:2(0)E x py p =>12,k k 12,l l 122k k +=1l E 与2l E 与l 120,0k k >>l。