27.平面向量的综合应用

第4节 平面向量的综合应用课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【知识衍化体验】知识梳理1．向量与平面图形（1）用向量解决的常见平面图形问题：、 、 、 、 等问题（2）用向量解决常见平面图形问题的步骤：问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题2．向量与解析几何向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答．3．向量与物理学科物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题．【微点提醒】1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ⇔=∈R ；平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ⇔=∈R .2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥⇔⋅=；平面上三点O A B ，，，向量OA ，OB 夹角的余弦值为||||OA OB OA OB ⋅⋅. 3．两点A B ，的距离||AB AB =.4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡⇔1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =⋅．基础自测疑误辨析1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）（2）若AB CD λ=，则AB CD . （ ） （3）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形. （ ） （4）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形. （ ）（5）点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,[0,)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定过△ABC的重心. （ ） 教材衍化2．已知O 是坐标原点，点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R αβ∈，．若点C 在直线AB 上，则αβ+的值为______________.（必修4第77页第11题改编）3．在ABC ∆中，设(2,3),(1,),AB BC k ==且ABC ∆是直角三角形，则k =______________. （必修4第81页第例4改编）考题体验4．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 5．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- 6．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为______________．7．（2019年全国卷Ⅱ理科19.2） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若3AP PB =，则AB =______________．【考点聚焦突破】考点1 向量在平几情境中的应用【例1】（1）已知O ，A ，B ，C 是平面上不共线的四点，32若320-+=OA OB OC ，则||||=AB BC ______________． （2）如图，在圆O 的内接ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AC =，若4AO AM ⋅=，则AB =______________．【训练1】（1）在△ABC 中，2=AB ，3=AC ，1=AB BC ，则BC =______________.（2）已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心考点2 向量在解几情境中的应用【例2】（1）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞ C ．[]5,5-D ．[]25,25- （2）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于、A B 两点，自、A B 向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CFD ∠=______________．【训练2】在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点3 向量在物理情境中的应用【例3】（1）已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A ．()1,5- B ．()1,5- C ．()5,1- D ．()5,1-（2）在平面直角坐标系中，力()2,3F =作用一物体，使物体从点()2,0A 移动到点()4,0B ，则力F 对物体作的功为______________.【训练3】（1）已知三个力()12,1F =--，()23,2F =-，()34,3F =-，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4F ，则4F =（ ）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2（2）一个物体在力()1,2f =的作用下产生位移()3,4s =，那么力f 所做的功为________．考点4 向量的其他应用【例4】构造合适的向量，证明：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．【训练4】已知11122=-+-a b b a ，则22a b +=______________．反思与感悟【思维升华】向量具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是数形结合思想的重要体现。

轴uHu的uPr guP正uMuu半r 轴0,上uPuMu，ur 点 M3直MuuuQ线ur,PQ上，且满足： 当点P在y轴上移动时2 ，求点M的轨迹方程。
五、小结
1.向量的基本知识点 2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
t
4
例4
r
r
已知 a r( 3,r1),b
使得r：x ur a (t2
(1 2
,
3
2r
),且ur存在实r数k和tr,
3)b, y k a tb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量
r a
(cos,sin ),
r b
(cos ,sin
),且
rr a, b
rr
rr
满足r关系r k a b 3 a kb （, k为正实数）
rr
a P（b b 0) 有且只有一个实数，使得a b
x1gy2 x2 gy1 0
4.用向量法处理向量的模：
r2 a

r2 a
二、基础r应用r
r r rr
例1.已知r a与r b是r 非零向量，且 a b a b
求r a 与r ar b的夹角。
解：设 ar 与ar rb 的夹r角2 为r r 2 r 2 r r r 2
的对应关系记作 vr rf (u)
求证：对于任意r向量r a, b及常r 数 m,r n
恒有r f (ma nb)r mf (a) nf (b) 证明：r 设 ar (x1, y1),b (x2, y2 )
mra nrb (mx1 nx2, my1 ny2) f (ma nrb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2)

2022届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(26)（平面向量的综合应用）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且2AE EC =，则=DE （ ） A ．1126AB AC - B ．1126AB AC -+ C ．1223AB AC - D ．1223AB AC -+ 2.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ）A. 2a b +B. 2a b +C. 2a b -D. 2a b -3.向量a ，b 满足()1,3a =，1=b ，3a b +=，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．-1B ．12-C ．12D ．14.已知平面向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，则()a a b ⋅-=（ ）A ．13B ．1C ．1-D ．11-5.向量()2,1a =，()3,4b =-，()31,12c m m =--，若()2c b a +⊥，则实数m 等于（ ）A. 1B. 54C. 74D. 26.在平行四边形ABCD 中，2AB =，5AD =，点F 为边CD 的中点，若0AF DF ⋅=，则BF AC ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3，ABE △，BEC △，ECD ∆均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最大值为（ ）A. 18B. 24C. 36D. 488.在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB ，AD 于E ，F 两点，点P 是EF 上一点，则PB PD ⋅的取值范围为（ ）A ．132,2⎡⎤--⎣⎦B ．21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,12⎡⎤--⎣⎦D ．132,12⎡⎤--⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列说法中正确．．的是（ ） A ．0=+BA ABB ．若b a b a //且=，则a b = C ．若,a b 非零向量且a b a b +=-，则a b ⊥D ．若b a b a //且=，则有且只有一个实数λ，使得b a λ= 10.在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+ B ．25DF DB =C ．,3AB AD π= D ．2725FB FC ⋅= 11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则以下结论正确的是（ ）A ．0HD BF ⋅=B ．22OA OD ⋅=-C ．2OB OH OE +=-D ．22AH FH -=-12.如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为________ 14.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________． 15.平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60BAD ∠=，Q 为CD 中点，点Р在对角线BD 上，且BP BD λ=，若AP BQ ⊥，则λ=_______16.在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，60ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，4AB EB =，33BC =，AE 23=M 为边CD 上的动点，则AM EM ⋅的最小值为________.。

平面向量1.D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →2.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.3.(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →5.(2016·南京模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．6.(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →7.(2016·苏州模拟)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 8.设两个非零向量a 与b 不共线．①若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； ②试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．9.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410.已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.11.设M 是△ABC 所在平面上一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2 12.O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足OA OP +=λ，λ∈[0，＋∞)，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心13.(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB→＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.14.(2016·南京模拟)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.（14题图）（16题图）15.(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.16.(2016·长春模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD→＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．17.直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于________．18.(2016·济南模拟)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.19.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y 是定值．（18题图）（19题图） 20.(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 221.(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6 22.(2015·湖北高考)已知向量O A →⊥A B →，|O A →|＝3，则O A →·O B →＝________. 23.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 24.△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( )A ．－32 B.32 C.32 D ．325.在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝22，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．26.(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________．27.(2016·桂林模拟)如图，在等腰三角形ABC 中，底边BC ＝2，AD →＝DC →，AE →＝12EB →，若BD →·AC →＝－12，则CE →·AB →＝( ) （27题图）（29题图）A ．－43 B.43 C ．－32 D.3228.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．29.(2016·合肥模拟)如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________． 30.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 31.如图，圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，OA ＝2，B 为圆上任一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则OC →·AB →的值为( )（31题图）（32题图）A ．－3B ．－32C ．3 D.3232.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32 C.33 D.333.若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.34.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形。