2017“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛高中组个人赛赛题

2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答（A卷）作者:日期:2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数X有f(x 3)・f(x -4) = -1 •又当0岂x ::：7时，f (x) =log2(9 —x)，贝U f(—100)的值为_____________ .2•若实数x, y满足x2+ 2 cos y = 1，则x- cosy的取值范围是___________ .2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:- - 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_____________. 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P - ABC中，AB = 1, AP = 2，过AB的平面二将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6.在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1：.在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为Q5的概率为 _____________ .7.在「ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A , - ABC的面积为3国，则AM AN的最小值为_______________ .8.设两个严格递增的正整数数列a〔「b n 1满足：a10二b10 ：：：2017，对任意正整数n，有a nd2 =an*+a n，b n十=2b n，则81+^的所有可能值为 ___________________ .二、解答题9.设k, m为实数，不等式x2—kx — m兰1对所有x E&b】成立.证明：b—a兰2d2.x2 x310.设x「X2,X3是非负实数，满足捲• x2• x3 = 1，求(x1 3x2 5x3)(x!'- -)的最3 5小值和最大值.2 211.设复数Z i,Z2 满足Re(Z i) 0, Re(Z2) 0,且Ffe(乙)=Ffe( z?) = 2 (其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re( z Z2)的最小值；(2)求乙+2 +z2+2 -乙—z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试.如图，在ABC中，AB二AC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆:1，以I为圆心，IB为半径作圆'2，过点B, I的圆-3与-1^2分别交于点P,Q (不同于点B ).设IP与BQ交于点R.证明：BR_CRfi a * + n, a n 兰 n,2017—二.设数列la n ｝定义为a i=1 , a n4i =」n = 1,2，….求满足£ r 兰3a n — na > n,的正整数r 的个数.三.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n 均是大于1的整数，m_n , a^a ?,…，a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数，且a^a ?,…，a n 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个i （1乞i 乞n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.解：由条伴feb /-(JC + 14) = ---------------- - f(x) * 所以<(-100| = /(-100 + 14x7)^/(-2) =2.答案2 若+ 1]*解：由于、—1 - 2cos r G [-1, 3Jt 故x E[-\ 3. V? |由一」^可知 r .v - co> i- - .v -v 112 - ]. K 此当 丫= |时,-Jf•]■2m(m 1)x ，这里|| y 表示实数y到与它最近的整数的距离菩案:A 心1有最小值|(这时F可以S1-):当V - V5时r Jt —COS r有最大值点I (这时F可以取由于^(x + D：-1的值域是[一1, JI + 1I・从而x-cosy的取值范围是[-1, V3 + ILJ—. [“ ” ——3 v [ IJ sin "| —- b 3c儁円—寸(| .sin//)= —+其中匸^cmti v 1'' ■当/y- jicTan/lOfft-四边形0月尸尸面积的最大值为4.答案：75. _解：考虑平稳数赢*若方=0,则d = l, c€{0,1}.有2个平稳数.若b = l r则ae{L 2}, ce{0.1,2},有2x3 = 6 个平稳数・，^r2<&<8,则a.c€{b~l f b f A + l}> 有7 x3x3 = 63 个平稳数「若〃=9,则<2,c€ {8,9} 1有2x2-4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75・5.答案* 2^**' io ‘解：设AB. PC的中点分別为K、\I、则易证平而ABM是平面口.由中线长公式知!：M—一•屮 | tC } -PC1 弟所以KM = A M2—AK2= * I-( M 一2 rI , I-4 2叉易知宜线尸C在卩雨"上的射影是宜线XfK ,而CM = h KC = —^2所以6 .K.\f'cos —2 KM WC故棱Pt?与平面n所咬角的余眩值为婕]0MC -KC _ 44 _兀：Id3.解：易知i殳P 的坐标是（3cos^, 0, y .则答案* — +7解：易知K 中有今个点*故在K 中随机取出三个点的方式数为Cj = 84种.将K 中的点按右图标记为為，4，“如0,其中有8 对点之间的距廈为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法.这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对毎个期1 = 12…⑻.K 中恰有4小理*两点与之距离为（这里下标按模8理解）.因而恰有 ｛令4®轴』（心1点…⑻这*个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个JQ d数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.8477.答案：6 \ I-由条件知* AM -~\AH+ AC 由于 = £±sc ~ 步可得 AB AC- AH J （；|从而4AB AC%y%£o^4*XA*1-AB^--Ac\--\3VF 亠,:+ 4JB JCA 4 ) KiAMAN --['心严+严‘‘故=宁阿|走卜心=¥阿区”所叫吗4・进AH AC当网=命两=2朋时；TiZ后的最小值为J；a 8.11/一 51纠，故片「：1丄3；.反复运用血}的递推关系知 —2(?_ ] 11, - JCZ ,卜 2#“ =5q \ 3叫—8tJ, I 暫+辄一 21吗+ 13E =?4碼+ 21引因此 21^ = a (=方T = 512^. = 2血(ITICK 134),ft ] 3 x 21 = 3J 1v K | li 故有u = 13x21^ = 13x24)一 26b(mod34).另一1 方面* 注意到” < iiyt 有55*片'34J . - 2It? — 512/z* 故9.证明：令 f(x) = x 2 —kx — m rb]» 则 I].于是 f{a) = — ka — m/(6) = h~ — kb —m < 1 > Q + b答案：13’2G.枠由条件可知：还4』均为正整熟且叮仇 由于2017 >fe 一 IU %_厲+当片一1时.①.②分別化_ 26 (mod34)t a t <-T —f 无解" 当九=2时，①*②分别化为tf] = 52 (mod 34}.叫 —1 匕此时 — b ~ 20»当A, -3时'⑪ ②分别化为(/( = ?Siinod34K u x — \ ()* 此时甘[+ h 、— 13”综上所述，a +方的所有可能值为II 20 .55—,得到唯一的正螯盟55 —,得到唯一的正整数 55 a^rb --------- ^- > -.. 1 — 故方10. 由①+②_2x ③知-[a ~h]: 些1 <4. 16分阖为（工I 卡3兀+ 5眄）（工L 十寻十 丰）=^（.r ; + 3无+ 5x a ）（5X] ++屯）I I (y —(X 十 3x.十 5工 J + (5A 十 I C 14 _ Y20'< 1 3 2 J< —(6x. + 6x, ■+ 6x t )2 = — ♦ 20v 1 J 17 5当斗二丄^=0,^ = 1时不等式等号成立.故欲求的最大值为红2 2511. 解：⑴对* = 1,2,设专=忑+加（殆耳€1＜）.由条件知兀=Re （rJ ＞01 x ； - v ； = Re （z ； ） = 2.圉此R&（z }r-） = ReiCX] — y.i ）（x ： +”i ）） = x.x 2 - y y 2=J （＞f + 颈衣+2）-阴旳 ＞（|y ]r v 2| + 2）-耳” ＞2 ・又当工=亠=晅时F R.e （z {z 2） = 2,这表明，R 创石花）的最小值为2... ..... * .......... 5分（2）对用=1,2・将珀对应到平而直角坐标系工彷中的点记尺是 &关于兀轴的对称点，则珞庄均位于双曲线C*.r-/ = 2的右支上.设厅，巧分别是＜?的左*右焦点.易知骂〜2』）.斥（2、0）.根据双曲线的定义，有上叫| = |卑耳|+2j£|耳可=|号乙|+2』^进而得|马+2| +国+ 2卜|云一彳=|斗+2|+区+ 2|十l 可=|肚|+呦卜|胆| =曲十|/?呂|+|临卜默4细①...................... 15另等号成立当且仅当兀位于钱段£号上（例如.当z 严z 严“忑I 时，兀恰是£尺 的中点）.W ：由柯西不等式20分 （厲+ 3X 2 + 対（斗十专*中2（肩•品+1=（H ： + X 2 + X 3 ）： = I t 当儿=1，x ;=0.^= 0时不等式等号成立.故欲求的最小值为1.综上可知.|z:+2| + |r + 2|-|z -z:|的最小值为菽5\ ............... 2。

2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。

10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。

2017年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2017年9月10日上午8∶00～9∶20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时， )9(lo g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ．2．若实数x ，y 满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．4．若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．5．正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集}1,0,1,|),{(-==y x y x K ．在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为 ．7．在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3π=∠A ，△ABC 的面积为3， 则AN AM ⋅的最小值为 ．8．设两个严格递增的正整数数列}{n a ，}{n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设k ，m 为实数，不等式1||2≤--m kx x 对所有],[b a x ∈成立．证明：22≤-a b ．10．（本题满分20分）设1x ，2x ，3x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++ 的最小值和最大值．11．（本题满分20分） 设复数1z ，2z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）．（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求|||2||2|2121z z z z --+++的最小值．。

第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛报名号为：参赛队员(签名) ：队员1：荣齐辉队员2：农岸松队员3：刘凡参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1197 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2010年第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目聪明的汽车关键词侧位停车初等几何方法平行泊车自动寻轨算法摘要：本问题要求我们建立合理模型，判断汽车能否在该处顺利停入，以及给出为进入停车位应选取的位置和角度，并将理想线路及允许的偏差显示在图中。

对这些问题我们运用了初等几何分析方法和平行泊车自动寻轨算法来建立模型，解决问题。

就问题一，我们先将问题抽象成直观的平面几何图形，通过运用初等几何知识，建立了两个模型来计算，为保证本车顺利停入，停车位所需的最小长度和最小宽度（由该车的相关参数确定）。

我们得出结论：只有本车车长和宽度分别大于停车位的最小长度和最小宽度，它才能在该处顺利停入，否则，它不能在该处侧位停车。

2017年数创杯全国中学生数学建模挑战赛 A题
（请先阅读“数创杯全国中学生数学建模挑战赛论文格式规范”）
“和谐号”高铁列车小桌板的设计
近年来中国高铁列车发展速度之快，给人的生活带来了极大的便利，这是我国科学家不断探索的结果。

为了乘客的便利，在高铁列车上每个人面前都有一块小桌板，可将其抽象为如图所示的图形。

当小桌板使得桌面保持水平时，此时CB与AO是垂直的。

（1）若小桌板支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度，且∠AOB与∠ACB的角度都为37度时，请设出小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA的值，确定小桌板桌面BC的宽度；
（2）公司计划开发一种新型的小桌板，从顾客需求考虑，使得生产的新折叠小桌板尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是通过建立数学模型给出你们的设计方法，帮助给出一种设计小桌板的新型方案。

2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。

一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。

X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。

对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。

CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。

请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。

对应于该模板的接收信息见附件2。

请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。

利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。

另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。

(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。

利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。

另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。

(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。

在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）试 题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分.1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅→+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是________。

3。

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点,A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________。

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________。

5.正三棱锥ABC P -中，21==AP AB ，,过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________。

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________。

7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。

若ABC A ∆=∠，π3的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________。

8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为________。

二、解答题 （本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9。

设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。

10。

设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值。

2017数学建模国赛题目（原创版）目录一、2017 数学建模国赛题目概述二、题目 A：空中交通管制1.题目背景及要求2.题目分析3.建模思路与方法三、题目 B：城市交通信号控制1.题目背景及要求2.题目分析3.建模思路与方法四、题目 C：新能源汽车充电设施规划1.题目背景及要求2.题目分析3.建模思路与方法五、总结正文一、2017 数学建模国赛题目概述2017 年全国大学生数学建模竞赛的题目分为 A、B、C 三个题目，分别涉及空中交通管制、城市交通信号控制和新能源汽车充电设施规划三个领域。

这些题目旨在考验参赛选手的数学建模能力、创新思维和团队协作精神，以及运用数学方法解决实际问题的能力。

二、题目 A：空中交通管制1.题目背景及要求题目 A 的背景是在未来，无人机和飞行汽车等空中交通工具将逐渐普及，如何有效地对空中交通进行管制以确保安全和效率。

题目要求参赛选手建立一个空中交通管制系统，通过优化算法和数学模型对空中交通进行实时监控和调度。

2.题目分析此题需要参赛选手充分了解无人机和飞行汽车的运行特点，以及空中交通管制的基本原理。

此外，需要运用运筹学、优化方法等相关知识，建立一个能够实现空中交通实时监控和调度的数学模型。

3.建模思路与方法首先，需要对无人机和飞行汽车的飞行数据进行收集和整理，建立一个飞行数据库。

其次，根据空中交通管制的基本原理，建立一个空中交通管制的数学模型。

最后，运用优化算法对模型进行求解，实现空中交通的实时监控和调度。

三、题目 B：城市交通信号控制1.题目背景及要求题目 B 的背景是城市交通信号控制问题，要求参赛选手设计一个信号控制系统，使得城市道路交通更加顺畅、安全和环保。

2.题目分析此题需要参赛选手充分了解城市交通信号控制的基本原理和方法，以及道路交通流的运行特点。

此外，需要运用运筹学、优化方法等相关知识，建立一个能够实现城市交通信号控制的数学模型。

3.建模思路与方法首先，需要对城市道路交通流的数据进行收集和整理，建立一个交通流数据库。

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果.我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意.我们的参赛队号为：3345参赛队员(签名)：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别（例如本科组）：本科组第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：3345竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2017年第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目移动端考研产品的春天真的到来了吗？关键词移动端SPSS动态定价马尔科夫链层次分析法摘要：本文针对移动端考研产品的未来发展问题，使用主成分分析、Logistic回归分析、动态定价原理分析、灵敏度分析、层次分析法等，分别构建标准化模型、回归模型、动态定价模型、马尔科夫预测模型、层次分析模型等模型，运用了Excel，SPSS，Matlab，Visio等软件，最后，结合实际调查数据，做出了确定可行性的层次分析模型.针对问题一，首先对附件2中的调查数据进行预处理，将问卷的23个问题转化为数据，然后定性分析这23个问题，排除与调查目标关联不大的6个问题.接着对其余问题的调查数据进行探索性分析，将之可视化，并分别通过主成分分析、Logistic回归分析，得出影响移动端考研产品发展的主要因素是移动端考研产品自身的特点和相对于其他考验渠道的优势.针对问题二，依据移动端考研产品的独特服务特性，建立服务产品的动态定价与销售关系.并利用运筹学中的灵敏度分析，考虑影响商品盈利的主要因素，最终得到最大获利的价格区间估计在(1054.18，1205.74)的范围内.再利用现有的市场数据，采用马尔科夫链模型，预测移动端考研产品的潜在市场占有率可达28.7%以上，并将逐年增长.针对问题三，结合调查问卷数据，选择武汉市作为研究对象，分别从经济、社会、技术等方面考虑移动端考研产品在该市推广投放的可行性.建立层次分析模型，从经济上的人力投入，软硬件，系统维护，产品生命周期；社会上的宣传，影响力，线下竞争；考研上的关注，认可度等，将这些因素结合权重得出考点类产品、录播课程类产品适合主要投入，而题库/练习类产品、直播类课程产品、单词/词典类产品较次之.本文最大的亮点，处理庞大错杂的数据，合理优化，使数据成分清晰，图标鲜明，逻辑严谨，对产品价格的因素逐个定性分析，利用时间连续函数，动态调整每个阶段价格，统筹兼顾.因为新兴移动端考研产品特性，马尔科夫可以避免过去数据影响，合理预测潜在市场.考研产品的投入，利用不同产品数据，构建多种方案，更加接近现实，模型解决实际问题更加准确恰当，适用范围广.参赛队号:3345所选题目:C题英文摘要（选填）AbstractIn?this?paper,?we?focus?on?the?future?development?of?mobile?research?produc ts,?using?principal?component?analysis,?Logistic?regression?analysis,?dynam ic?pricing?principle?analysis,?sensitivity?analysis,?analytic?hierarchy?pro cess,?etc.,?respectively,?to?build?a?standardized?model,?regression?model,? dynamic?pricing?model,?Markov?prediction?model?,?AHP,?Matlab,?Visio?and?oth er?software,?and?finally,?the?model?results?and?the?actual?survey?data?comb ined?to?determine?the?feasibility?of?the?hierarchy?analysis?model.To?question?1,?the?survey?data?in?Annex?2?is?processed?first,?resulting?in? a?collating?table.?And?then?analyze?the?23?questions?in?Annex?2,?and?ultima tely?determine?some?of?the?problems?excluded.?According?to?the?rest?of?the? data,?the?statistical?analysis,?linear?regression?analysis,?principal?compo nent?analysis?and?Logistic?regression?analysis?show?that?the?main?factors?i nfluencing?the?development?of?mobile?research?products?are?the?characterist ics?of?the?mobile?research?and?development?products?and?the?advantages?of?o ther?test?channels.In?view?of?the?problem?2,?according?to?the?unique?characteristics?of?mobile ?research?products,?the?establishment?of?service?products,?dynamic?pricing? and?sales?relationship.?And?use?the?sensitivity?analysis?in?operational?res earch?to?consider?the?main?factors?that?affect?the?profitability?of?the?com modity,?and?finally?the?maximum?profit?price?range?is?estimated?in?the?rang e?of?(1054.18,1205.74)?.For?the?product?market?forecast,?the?use?of?existin g?market?data,?Markov?chain?model,?a?reasonable?forecast?of?market?share?re ached?the?theoretical?28.7%,?and?will?grow?year?by?year.In?view?of?the?problem3,?we?choose?Wuhan?cityas?the?object,?consider?the?fe a s i b i l i t y?o f?t h e? city's?economic,?social?and?college?entrance?examination?education,?establi sh?the?level?analysis?model,?from?the?economic?human?input,?hardware?and?so ftware,?system?maintenance,?product?life?cycle;?social?propaganda,?Influenc e,?the?line?of?competition;?PubMed?on?the?attention,?recognition,?etc.,?the se?factors?combined?with?the?weight?of?test?sites,?recording?and?recording? courses?for?the?main?input,?and?the?question?bank?/?practice?products,?live ?course?products,?Dictionary?category?is?second.The?biggest?bright?spot?of?this?paper,?dealing?with?huge?and?wrong?data,?re asonable?optimization,?make?the?data?composition?clear,?icon?clear,?logical ?rigor,?the?product?price?factor?qualitative?analysis,?the?use?of?time?continuous?function,?dynamic?adjustment?of?each?stage?of?the?price,?Malcolm?can ?avoid?the?impact?of?the?past?data,?a?reasonable?forecast?of?potential?mark et.Application?of?research?products,?the?use?of?different?product?data,?bui ld?a?variety?of?programs,?closer?to?reality,?the?model?to?solve?practical?p roblems?more?accurate?and?appropriate,?itwillhavewiderangeofapplication.C题移动端考研产品的春天真的到来了吗？一、问题的重述1.1背景知识随着近年来考研人数的大幅度增长，以及移动互联网时代的来到，使许多考研活动转移到了手机等互联网平台.移动互联网产品的实用性和便捷性，对现有考研市场产生巨大变化.移动端考研产品相比于PC端使用人数更多，使用时长更长.对影响移动端考研产品发展的主要因素，以及考研产品的价格区间和潜在市场占有率的研究，有助于未来移动端考研产品的推广与使用.1.2问题重述在移动端考研产品的发展中，需要考虑众多影响因素，如开发成本，市场潜力，产品优缺点以及大学生对移动客户端的使用意愿.结合大量论文及相关要求，建立数学模型分析一下问题：问题一根据一万份调查问卷的数据，对数据进行处理，求出对移动端考研发展的主要因素.问题二为了尽量满足大学生的学习成本更低和开发商的利润最大化，对移动端考研产品进行定价分析.对于考研辅导行业市场(PC端辅导，线下辅导班培训)，估测移动端考研产品在这一市场的潜在占有率.问题三对于一般高校相对较多的城市，拥有相对多有考研意愿和条件的人.从经济、社会情况、考研特点三方面，研究移动端考研产品投放到该城市的可行性.二、问题的分析2.1问题的总分析问题的总体分析方法有三种：(1)对论文的标题进行分析，找出建模的相关资料，得出应用的方法.(2)对问题的总体进行整体分析，可以提出应当用到的方法.(3)画出整体分析框图如图1所示.图1整体流程图2.2对各个问题的分析(1)对问题一的分析考虑到问题一的数据来源于问卷调查，所以应当先对数据进行预处理(将数据不全或不正确答卷数据进行处理).将表格中的数据进行量化分析，将多因子中提取部分主要因子进行分析.在SPSS中进行因子分析，主成分分析，回归分析.通过分析的显着性结果对比分析出影响移动端考研产品发展的主要因素.(2)对问题二的分析首先要对信息类产品(即移动端考研产品)的定价理论进行分析，以及移动端考研产品的特殊因素对定价的影响，建立出移动端考研产品的动态定价模型.同时要与线下培训的价格和PC端考研辅导价格进行对比.对于市场的分析，通过附件二中问题16的数据统计，得出线下端和线上端的使用人数的比列，其使用概率可与马尔科夫的初始概率相同.(3)对问题三的分析问题要求建立数学模型，评价移动端考研产品投放的可靠性.首先，对目标进行层次分析，将移动端考研产品投放情况分解为各个组成因素，并将这些因素按分组关系分组，形成一个有序的递阶层次结构，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序.三、模型的假设1.假设从附件二中所筛选出的数据都是真实可靠的.2.假设处理数据时不会出现错误删除的情况.3.不考虑其他突变因素对移动端产品发展的影响，如部分地区不能进行考研、移动端产品遭到新技术的淘汰等.四、符号说明五、 模型的建立与求解5. 1问题一的分析与求解：问题1要求根据已筛选过的附件2(C 题使用)中汇总调查的有关数据对移动端考研产品发展的影响因素，进行描述性统计分析[2]，线性回归分析，主成分分析，Logistic 回归分析[3].首先我们将附件2里的数据进行量化分析，录入SPSS 时对多选题定义多重响应集，并删去无效数据.然后对数据进行描述性统计分析和逐步法线性回归分析，得出问题2、5、6、8、17、23与我们所分析的移动端考研产品发展的影响因素关联不大，所以我们将这六个问题在这一问题中排除.对剩余数据进行进一步分析.接下来以第16题为依据，将被调查者分为两类，一类为线下端和PC 端的考研生，一类为移动端的考研生.分别进行主成分分析和Logistic 回归分析，最终确定对移动端考研产品发展的主要影响因素.对数据的初步分析可得，其中男生3417人，女生6358，来自一线城市的有1065人，二线城市的有4520人，三线城市的有3492人，其他地方有698人，年龄段在18~20岁的有603人、20~23岁7567人、23~25岁1276人、25岁以上329人，并且6207人选择线下渠道进行考研学习，1255人选择线上PC 端进行考研学习，2313人选择线上移动端学习.图2数据量化分析饼图(1) 主成分分析由于选取的变量较多，因此我们对数据进行“降维”，所以运用软件SPSS 对数据进行主成分分析.设()12,,,i i i ip x x x x =为总体x 的样本，每个i x 有p 个指标，()12,,,i i i ip x x x x =即原始数据矩阵为111212919p p p x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,(5-1) 根据前述分析，主成分分析的步骤如下：(1) 将原始数据标准化：1,2,,i x i p *==，(5-2)(2)建立相关系数矩阵：()ij p p R r ⨯=，(5-3)其中ij r 为i x *与j x *的相关系数；(3)计算R 的特征值i λ；由主成分的总方差解释表可看出，主成分的累积贡献率到达70%~90%.图3选择移动端的碎石图图4总碎石图图3和4为碎石图，由两张碎石图做比较，可看出在第四个特征根处变得比较平缓，可以表明提取三个个主成分.表二：成分得分系数矩阵组件1 23 X1 -.036 .083.755 X2 .276 -.089-.301 X3 .010 -.353.136 X4 .022 .523-.002 X5 -.447 -.039.156 X6 .333 .099.191 X7 .279 -.035.122 X8 .023 -.159.429 X9 .079 .502.160 X10 -.405 -.046.002提取方法：主成份分析. 表2为主成分得分系数矩阵，根据该矩阵，可以写出标准化的原始变量表示的主成分的表达式.若记标准化的原始变量为123456789zx zx zx zx zx zx zx zx zx 、、、、、、、、，两主成分记为12f f 、，则表达式为：因此由表三和表四，得出对移动端考研产品发展的主要影响因素有3个，分别为x 2、49x x 和.图5旋转后的空间组件图(2)Logistic 回归分析对主成分分析出的主要因素进行进一步的标准化Logistic 回归分析，剔除显着性不高的因素，再次进行分析得到上表五，由图可拟合模型：综合两种分析，得出影响移动端考研产品发展的主要因素是移动端考研产品自身的特点和相对于其他考验渠道的优势.5. 2问题二的分析与求解：5.2.1问题二的分析：移动端考研产品由于其特殊的使用特性与对象，具有很强的时效性.其可定义为易逝商品.由于阶段性的时间差异，商品价格会有很大的变化.运用易逝产品动态价格模型，设置一个合理价格区间显得尤为重要.由于线上考研产品的刚刚起步，与线下竞争存在很大的差别.运用马尔科夫预测模型，对潜在市场占有率进行合理有效的预测. 5.2.2问题二的求解：(1) 建模思路：在传统的消费市场中，更改价格会需要企业投入大量的人力物力，大大的增加了成本，故大多企业采取固定价格.而在新兴互联网经济下，网络服务性商品可以建立数据库，随市场变化调整价格.(2)模型的建立模型假设：在线考研商品的发售量假设为X ,在发售期内[0,L ]内价格需要进行几次调整.假定顾客取消率是时间t 的减函数，即(),[0,1]t θηη=∈，t 表示从预售期开始所经历的时间.由于研究生考试的接近，假设取消率随时间的增加而减少.假设顾客取消产品惩罚费用是价格的线性函数，即,(0,1)i i r p λλ=∈.在实际线上辅导班中，由于某些原因，会存在退班的学生.而退换的费用也是价格的百分比.将销售期的长度L 划分为n 个相等的时间段，假设每段间隔时间后，服务产品价格就会被重新调整一次.价格集合P i ={p 1,p 2,p 3,…,p n }.假设预售期内价格设定的次数n 是外生的.一般模型的建立用需求函数的一般形式d (p i )建立上述背景销售商的动态定价及订货策略模型[4].任意i 阶段预定速率为：()()()()i i i dI t d p t I t dt θ=-，1i T t T -≤≤，i =1,2,3……n ，(5-4) 又()t t θη=，所以，任意阶段t 时刻的预定水平为：()()11i i i t I t td p b ηηη+-⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦，1i i T t T -≤≤，i =1,2,3……n ,(5-5) 其中b i 为第i 阶段的常数.由于预售期初产品预定量为0，即有边界条件I 1(0)=0,所以c 1=0，所以任意i 阶段t 时刻的预定水平的表达式为：()111(), 1,2,3......1(), , 1,2,3......1n i i i i td p i n I t t t d p b T t T i nηηη+--⎧=⎪+⎪=⎨⎡⎤⎪+≤≤=⎢⎥⎪+⎣⎦⎩,(5-6) 1.销售收益已知第i 阶段的需求速率d (p i )和取消速率θ(t ),所以有[]111110()()()()1T T S d p t I t dt d p θη=-=+⎰,(5-7) []1111()()()()()(), 2,3,4 (1)ii i T i i i i i i i i T S d p t I t dt T T d p b T T i n ηηθη-----=-=-+-=+⎰,(5-8) 注：由于式(5-8)中存在1ni T --，所以i S 中i 须从2开始，因此，式(5-7)1S 需要单独写出.同下面取消费用收益的建模. 则整个预售期总的销售收益为：1111121()()()(),2,3,4......11ni i i i i i i i i T p d p T T p d p T T p b i n ηηηη--+-=⎡⎤=+-+-=⎢⎥++⎣⎦∑,(5-9) 由于式(5-9)中2n ≥,所以n=1时(单阶段)的销售收益函数如下：1111111()() , 111s T LR S p p d p pd p n ηη====++(5-10) 2.取消费用收益()1111()()1T i c t I t dt T d p ηθη==+⎰，(5-11) ()111()()()(),2,3,4 (1)i Tii i i i i i i i T c t I t dt T T d p b T T i n ηηηθη-----==---=+⎰，(5-12) 则整个预售期因取消惩罚而获得的取消费用收益为：1nc i i i R c r ==∑，(5-13)由于,(0,1)i i r p λλ=∈，所以取消费用收益如下：112nc i ii R c r c r ==+∑()()()111112(),2,3,4 (11)ni i i i i i i i i T p d p T T p d p T T p b i n ηηληληληη-----=⎡⎤=+--=⎢⎥++⎣⎦∑,(5-14) 当n=1时取消费用收益函数为：11111()()11c LR c r T p d p pd p ληληηη===++,(5-15) (1)订货成本D Na =,(5-16)(2)目标函数根据面前的分析可得利润函数表达式如下：11112(,,)(1)() , 11(1)(1)()()()11 (1)(i s c n i i i i i i R X p n R R DLpd p Xa n T p d p T T p d p T ληηληληηηλ-==+-+-=+++=+-+++-∑12) 2ni i i i T p b Xa i n ηη---=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪--≤≤⎪⎩∑，(5-17) 上面(5-17)式所含的变量n ,p ,X 都是未知的，需要通过优化计算后才能确定的，因此销售商的利润R 实际上是关于(n ,p ,X )的函数.但是注意到预售期末，销售商需要将所有的服务产品预售完毕，因此在初始时要使销售商预定的产品数量与销售的数量一致，所以有()n n X I T =,所以目标函数(5-17)就转变为寻找最优的n ,p i 使得目标函数R (n ,p i )最大化.(3)模型的求解假定移动端考研产品将在六月份开始，L =30天之后使用，此服务产品的成本为a =1.教育机构在未来30天预售此产品.产品需求函数为d (p i )=10-p i ,即b =10，k =1；顾客取消率是时间减函数,顾客取消惩罚费用i i r p λ=,λ为常数.(1)假设max n =6，企业获得最大利润的价格调整次数n .给出利润R 和预期订货量X 随价格调整为情况;表六：X 为未知结果的算例结果n1 2 3 4 5 6 R 1065.78 1066.10 1066.14 1054.78 1066.01 1065.95 X 323.00 323.11 323.97 324.64 325.14 325.44从表中我们可以看出，随着价格设定次数n 的增加，收益R 会先增大后减小.n =4的时候，销售获得最大利益为1054.78对应购买最多为324.64.(2)假定n =4时，对模型中的参数进行灵敏度分析.研究各参数对对企业总利润和订货量的影响.保持其它参数不变，下面依次对参数L ,a ,λ进行灵敏度分析.表七：参数L 的灵敏度分析L30 32 34 36 38 40 R 1054.78 1105.10 1155.42 1205.74 1256.06 1306.40 X 324.64 332.95 341.26 349.57 357.88 366.19上表反应了，随着预售期的增长，企业初期总的利润和订货量会随之增加.因为当需求函数确定，销售时间越长，销量自然会越高.企业利润越高.表八：参数a 的灵敏度测定c 1 2 34 5 6R 1054.78 899.44 761.97 642.35 540.60 390.69 X 324.64 311.38 298.11 284.86 271.59 245.07从表中数据可以看出，随着成本的增加，企业获得总利润会减少，当其它因素不变，当企业的成本增加是，为了不亏损，企业一般会提高售价，相应的市场会减少，总利润降低.表九：参数λ的灵敏度分析0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 R 1045.96 1050.37 1054.78 1059.21 1063.75 1068.09 X324.71 324.68 324.64 324.60 324.56 324.52从上表可以看出，随着顾客取消订单而收取惩罚费用的增加，产品总的利润增加，而订货数减少.这是因为λ的增加，顾客会慎重购买需求降低，从而产品的销量会下降.所以当其它因素不变的时候，前者带来的收入增加量大于后者收入减少量时，会呈现上表的情况.综上所述：移动端考研产品的合理价格区间设置条件参数，a =1，d (p i )=10-p i ，k =10，b =1，0.2i i r p =，n =4.即为移动端考研产品在预售初期的时间范围类，进行4次价格调整.适当增加售价,考虑影响商品盈利的主要因素，价格区间估计在(1054.18，1205.74)的范围内，得到最大的盈利销售. 5.2.3对市场占有率预测[5]的分析考虑到市场占有率的特殊性，我们对这组变量采用马尔科夫预测模型[1]，即： 马尔科夫链是一个离散时间随机过程，这个过程中的每一步都需要做一个随机选择，一个马尔科夫链包括N 个状态，在市场占有率的统计时，对每款产品的选择就是一种状态，当选择另一款产品时，就转移到了另一种状态.因此，在有N 款网络产品的情况下，就存在着N N ⨯的转移概率矩阵，其中每个元素的值在[0,1]之间，并且中的每一行的元素之和为1，马尔科夫链的下一个状态的分布仅仅依赖于当前状态，且与如何到达当前状态无关.因此，一段时间后产品使用的概率向量S (1)可以表示为：=000101000000101()()()()()()[()()()]()()()k k k k kk p t p t p t p t p t p t n t n t n t p t p t p t ⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅⨯ ⎪⎪⎝⎭,(5-18)其中i 为产品的提供企业，i =0时则表示不使用任何产品；n i (t )为t 时刻(初始时刻)使用i 产品的概率，0()1i n t ≤≤，且所有概率之和为样本容量1，即：()1Ni i n t ==∑，(5-19)p ij (t )表示在[,]t t t +∆时期内由选择i 产品转移到j 产品的概率，0,1,,0i k j ==，1,,k t ∆可以是一个任意一个时间段.p ij (t )满足：1)()kij j p t =∑=1，0,1,i k =;2) 0≤p ij (t )≤1,i ,j =0…,k (1) 转移概率矩阵的确定:在转移概率矩阵P 中，含有2(1)k +个未知元素p ij (t )，可以根据统计选择每一款产品的数量()i l N t 来推导，()i l N t 中i =0,1,2,,k +2.11001111121002112210011()()()()()()()() ()()()()l l l k l k l l l k l k k l l k l k k l kkN t N t p N t p N t p N t N t p N t p N t p N t N t p N t p N t p +++=+++=+++=+++,(5-20)这样，只需要在k +2个时间点测出每款产品的使用数量N i (t 1),即可通过k (k +1)线性方程组解出p ij (t )，从而转移到转移概率矩阵P . (2)产品市场占有率的预测:可以预测k 个时间段后产品i 的市场占有率为：()(0)k k S S P =⋅，(5-21)当市场处于平衡时，()()k k S P S ⋅=，(5-22)由()01[()()()]k k S n t k t n t k t n t k t =+⋅∆+⋅∆+⋅∆结合公式(5-22),有()1Ni i n t k t =+⋅∆=∑，(5-23)因此可以预测出平衡状态下的市场占有率. (3)对问题运用模型进行求解：通过Excle 软件对问题16进行条形统计可知首先我们将使用倾向与市场的占有率成正比，所以近似可得出市场占有率=使用倾向率.图6三种产品使用人数条形图即可确定初始概率分布为i =0，i =1，i =2 S (2016)=S (0)=[0.23,0.77],即统计周期开始的时候选择线下培训的比列为64%，选择线上PC 端的比例为13%，而线上PC 端的比例为23%，当需对线上移动端的市场做预测分析时，根据下列公式可以得出转移矩阵P ；从线下到线下的概率001{00}n n p P X X +===， 从线下到线上PC 的概率011{10}n n p P X X +===， 从线上PC 端到线下的概率101{01}n n p P X X +===， 从线上PC 端到线上PC 端的概率111{11}n n p P X X +===， 通过对目前市场占有情况的调查可以得到下列表格：p 0p 1 p 0 0.98 0.02 p 10.080.92由表可以得到市场转移矩阵0.980.020.080.92⎡⎤=⎢⎥⎣⎦P ， 这时将模型代入，将时间差为一年，即一次以概率矩阵P 间隔一年，根据(4)可以预测一年后的市场占有率：i =0,i =1,S (k )=S (0). S(2016)=[0.23,0.77];S(2017)=S(2016)*P 1=[0.287,0.713]; S(2018)=S(2016)*P 2=[0.3383,0.6617]; S(n)=S(2016)*P n ,当市场继续沿这一趋势发展下去，则马尔科夫链到达平衡，设线上线下的占有率分别为[x ,1-x ]; 按计算公式可得；[]0.980.02,10.080.92x x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 可解得x =0.8,1-x =0.2,可见，如果就目前情况发展下去，2017年线上移动端的市场占有率已达到28.7% 在没有外界因素的干扰下，最终在移动端达到市场占有率的80%. 5. 3问题三的分析与求解： 5.3.1模型建立：(1) 建立层次模型[6]结构图7层次分析图(2) 构造判断(成对比较)矩阵在准则层的对应条件下，我们将方案层与之相对的重要性赋予A 1，…,A n 的相应权重.为了使定性的结果，易于使人接受，我们使用成对比较矩阵A=(a ij )n×n .并采用1~9标度方法.(3) 层次单排序及其一致性检验一致矩阵:对于,,i j k ∀均有ij jk ik C C C •=的正反矩阵，根据矩阵理论,Ax x λλ=代表特征值，对所有的11nii i i a n λ===∑有.当矩阵完全一致时，1max =λλ，其余特征值为0；而矩阵A 不具有完全一致性时，1max =,n λλ>其余的特征值有以下关系：max 2ni i n λλ==-∑.上述结论知道，当判断矩阵不完全一致时，相应的判断矩阵的特征值也发生变化，因此我们引入判断矩阵最大特征值以外的其余特征根的负平均值，作为衡量判断矩阵偏离一致性的指标，即用max =1nCI n λ--,(5-24)1. CI 值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；CI 越小，表明判断矩阵一致性越好.2. 当矩阵具有满意一致性时，max λ稍大于n ，其余特征值也接近于0，下面对满意度一致性给出一个度量.R.I 是多次重复进行的随机判断矩阵特征值的计算后取得算术平均数得到的.下标是1~9维矩阵重复1000次取得的平均随机一致指标.表十三：平均一致性指标(RI)维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R.I 0 0 0.52 0.90 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI 与同阶平均一致性指标RI 之比成为随机一致性比率，记为CR .当0.10CICR RI=<,(5-25) 时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意性满意的一致性.(4) 层次总排序及其一致性检验计算出某层次因素相对于上一层次中某因素的相对重要性，这种排序方式方式称为单层次排序.具体说就是根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言本层次与之有联系元素的重要性次序的权值.1.计算判断矩阵每一行元素的乘积i M()11,2,,ni ij j M a i n ===∏,(5-26)2.计算的i M n 次方根i Wi W =3.对向量12,,,Tn W W W W ⎡⎤=⎣⎦正交化1ii njj W W W ==∑，(5-28)则12,,,Tn W W W W ⎡⎤=⎣⎦即为所求得特征向量.4.计算判断矩阵的最大特征根max λ()max 1niii AW nW λ==∑,(5-29)其中i AW 表示AW 中第i 个元素.5.3.2模型求解：(1)依据层次结构模型，我们以武汉市为例，经过数据调研分析,我们假设对于移动端产品的投放的主要影响是：首先是考研教育情况，其次是社会情况，最后是经济情况.可以构造判断矩阵为 求解为：0.1050.6370.258W ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭λmax =3.308,C.I =0.019,R.I=0.58,C.R =0.033<0.1,将矩阵输入Matlab 运算(详细见附录).(2)第三层相对于第二层元素矩阵判断11234711325=113112114122131********B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 求解为：0.4910.2320.0920.1380.046W ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λmax =5.126,C.I =0.032,R.I=1.12,C.R =0.028<0.1.(3)计算单一准则下元素的相对重要性21171157153=3111351231B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求解为：0.550.5640.1180.263W ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭λmax =4.117,C.I =0.039,R.I=0.90,C.R =0.043<0.1, 311331133=1131111311B ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求解为：0.4060.4060.0940.094W ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭max4λ=,C.I =0,R.I=0.9,C.R =0, 表十六：方案总权重分布表0.1580.1640.3930.1130.172W ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.I =0.028,R.I=0.923,C.R =0.03<0.1， 该计算结果表明，对于武汉市移动端考研产品的投放情况为：考虑该市的经济、社会、考研教育可行性，建立层次分析模型，从经济上的人力投入，软硬件，系统维护，产品生命周期；社会上的宣传，影响力，线下竞争；考研上的关注，认可度等，将这些因素结合权重得出考点类产品、录播课程类产品适合主要投入，而题库/练习类产品、直播类课程产品、单词/词典类产品较次之.六、模型的评价与推广一、模型的评价1.优点(1)本文巧妙运用思路流程图，将建模思路完整清晰的展现出来；(2)利用Excel 软件对数据进行处理并作出各种图表，简便，直观，快捷；(3)利用Spss 软件对挑选出的数据进行各种分析，并作出分析图表，鲜明，清晰；(4)运用多种数学软件(如Matlab 、Excel)，取长补短，使计算结果更加准确、明晰；(5)本文建立的模型与实际紧密联系，充分考虑影响产品投放的不同因素，从而使模型更贴近实际，通用性强.2.缺点(1)对于一些数据，对其进行了一些必要处理，会带来一些误差；(2)第一个模型为使计算简便，使所得结果更理想化，忽略了一些次要影响因素；(3)在马尔科夫预测模型中，由于数据不够充分，因此预测存在误差.二、模型的推广(1)层次分析法被广泛应用于安全科学研究，诸如煤矿安全研究、危险化学品评价、油库安全性评价、城市灾害应急能力、交通安全评价等诸多方面；在于气象相关的环境科学研究中，层次分析法已在大气环境研究、水环境研究、生态环境研究等领域得到了应用.(2)动态定价模型是一种允许企业根据产品要求改变价格的模型，诸如汽车共乘平台优步、美国职业棒球大联盟球票销售、Uber等方面得到了应用.七、参考文献[1]司守奎、孙兆，数学建模算法与应用[M]，北京：国防工业出版社，2016.[2]汪东华，多元统计分析与SPSS应用[M]，上海：华东理工大学出版社，2010.[3]何晓群、闵素芹，实用回归分析[M]，北京：高等教育出版社，2014.[4]王海娟，网络环境下两类易逝品动态定价模型研究[D]，华南理工大学硕士学位论文，2014.[5]张西祥、李陶深，基于云计算的软件网络市场占有率统计与预测模型[J]，第31卷增刊2，2011.[6]AHP方法及其应用，.八、附录A=[1,1/5,1/3;5,1,3;3,1/3,1]%A矩阵运算A=1.00000.20000.33335.00001.00003.00003.00000.33331.0000>>[V,D]=eig(A);>>C=max(diag(D))%最大特征根位置C=3.0385>>f=find(diag(D)==max(diag(D)));%求lamda位置，其中diag为矩阵对角线上的元素>>W=V(:,f)/sum(V(:,f))%归一特征向量W=0.10470.63700.2583>>B=A/sum(V(:,f))%计算权向量B=0.69530.13910.2318。

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。