第十一章 稳恒磁场
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第十一章 稳恒磁场11-1 如图11-1 所示，两根长直导线互相平行地放置，导线中的电流大小相等，均为A I 10=方向相同，求图中M 、N 两点的磁感应强度B 的大小和方向（图中m r 020.00=）。
解：两导线在M 、N 点产生的磁感应强度如图11-1（a ）所示。
在M 点，1B 和2B 大小相等方向相反，由场强叠加原理可知0B B B 21m =-=在N 点，两导线产生的磁感应强度大小为：002122''r IB B πμ==且21''B B ⊥，由场强叠加原理可得T r I B B N 401100.12'2-⨯===πμ，方向水平向左。
11-2 已知地球北极磁场强度为B 的大小为T 5100.6-⨯。
如果想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流大小为多少？流向如何？解：设所求电流为I ，方向如图所示，因为圆形电流在距轴体上的磁感应强度为：232220)(2x R IR B +=μ对于北极点，R x =于是有：RI R R IR B 24)(20232220μμ=+=赤道上的电流强度为：A RBI 91073.124-⨯==μ11-3 如图11-3所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源图11-1图11-2相接。
求环心O 的磁感应强度。
解：设圆环以acb 弧长1l ，其电流为1I ，而adb 弧长为2l ，电流为2I 。
因这两段弧可形成并联电路所以两端电压相等，于是有：2211R I R I =考虑环的截面积和电阻率是一样的，电阻与弧长成正比，所以上式改写为： 2211L I L I =1l 弧：一电流在O 点产生的磁感应强度为：dl RI dB 21014πμ=，方向垂直纸面向里。
整个弧在O 点产生的磁感应强度为： 210021011441RI dl RI dB B l πμπμ===⎰⎰，方向垂直纸面向里。
同理的2l 弧在O 点产生的磁感应强度为：220022022442RI dl RI dB B l πμπμ===⎰⎰，方向垂直纸面向外。
由比奥—萨伐尔定理可知de 、af 段在O 点产生的磁感应强度为0，ef 离O 很远，故ef导体在O 点产生的磁感应强度也为0，所以O 点的总的磁感应强度为：0)(42211221=-=+=l I l I RB B B πμ11-4 如图11-4所示，几种载流导体在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感应强度各为多少？解：（a ）O 点的磁场可由两根“半长直电流”和1/4圆弧电流激发而成，但O 点在两直导线的延长线上，由毕奥—萨伐尔定律可知直线电流对O 点的磁感应强度没有贡献。
故O 点的磁感应强度为：RI R IB 824100μμ=⋅=，方向垂直纸面向外。
（b ）因为直导线在O 点的磁感应强度为,201RIB πμ=方向垂直纸面向外；而圆弧在O 点产生的磁感应强度为,202RIB μ=方向垂直纸面向里。
（c ）O 点的磁感应强度可视为1/2圆电流及两半无限长直电流各自在O 产生的磁感应强度的叠加。
图11-3对于半圆弧在O 点的磁感应强度为,401RIB μ=方向垂直纸面向外，两段半无限长直流导线产生的磁感应强度为,402RIB πμ=,403RIB πμ=垂直纸面向外。
所以整个导线在O 点合场强为： )2(42212212210000321ππμπμπμμ+=⋅+⋅+⋅=++=RI R IR I R I B B B B 方向垂直纸面向外。
11-5 由导线完成的n 边正多边形，其外接圆半径为R ，假设导线电流强度为I 。
（1）证明中心O 处的磁感应强度为：)tan(20nRnIB ππμ=（2）证明当∞→n 时，B 等于载流圆环中心的磁感应强度RIB 20μ=解：（1）由有限长直导线的磁感应强度得第i 条边在O 点产生的磁感应强度为： )cos (cos 42100θθπμ-=r I B i其中，nR r πϕϕϕπθϕπθ2;2cos,22;22021=∆∆=∆+=∆-=根据上面的式子可解得O 点的磁感应强度为： )tan(20nRnInB B i ππμ==，方向垂直纸面向里。
（2）当∞→n 时RI nn nn R InRnIn B 2)()cos()sin(lim2)tan(2lim000μπππμππμ=⋅∞→=∞→=11-6 如图11-6所示，一个半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流强度I（a ）（b ）（c ）图11-4在柱面上均匀分布。
求半圆柱面轴线'OO 上的磁感应强度。
解：将无限长半圆柱面视为许多平行的无限长带电直导体所组成，考虑处于θ角处的长直载流导线，如图11-6（b ）所示。
其电流为：θππd Idl RIdI ==由安培环路定理求得dI 在O 点激发的磁场为 θπμπμd RIRdIdB 20022==，方向如图11-6（b ）所示。
由对称性可知dB 在y 轴上的分量相互抵消，仅有x 分量，但沿着x 的负方向。
故有θπθμθsin 2sin 20RId dB dB x ==所以在轴线上某点O 处的磁感应强度为 RI d RIdB B x 20020sin 2πμθθπμπ===⎰⎰B 的方向指向x 轴的负方向。
11-7 如图11-7所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I 。
求球心O 处的磁感应强度。
解：作截面O-xy 与线圈正交，如图11-7（b ）所示，沿圆周单位长度的线圈匝数为)R 21/(N π，任意一薄片中的电流为I Rd RNIdN dI ⋅⋅==θπ2设圆电流在球心O 处激发的磁场为 232220)(2y x dIy dB +=μ所以球心O 处的磁感应强度为：⎰=dB Bθθsin ,cos R y R x ==由以上各式可得：RNId RNI Rd RNy x Iy dB B 4sin 2)(20220232222μθθπμθπμππ==⋅+==⎰⎰⎰B 的方向根据右手定则给出。
11-8 如图11-8所示，一宽度为b 的薄金属板，其电流为I 。
试求在薄板的平面上，距板的一边为r 的点P 的磁感应强度。
解：以P 点为原点O ，建立Ox 如图11-8（b ）所示，取宽度为dx 的直线电流。
dx bI dI =，其在P 点产生的磁感应强度为：bxIdxxdIdB πμπμ2200==P 点总的磁感应强度为：rb r bIbxIdxdB B br r+===⎰⎰+ln2200πμπμB 的方向垂直纸面向里。
11-9 实验室中常用的所谓赫姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图11-9所示，一个完全相同彼此平行的线圈，它们的半径均为R ，通过的电流均为I ，且两线圈中电流的流向相同。
试证当两线圈中心之间的距离d 等于线圈半径R 时，在线圈中心点附近区域，磁场可看成是均匀的。
证：以两线圈连线中心O 点为原点建立Ox 坐标轴，设P 点为中心点附近区域的一点，坐标为（0，x ），而线圈在P 点产生的磁场方向相同。
其大小为：23222022322201)2(2;)2(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅=x d R IRB x d R IRB μμP 点的总磁感应强度为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅=+=232223222021)2(1)2(12x d R x d R IR B B B μ（a ）（b ）图11-8方向沿x 轴的正方向。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=2722252220)2(2)2(223x d R xdx d R x dIR dx dB μ 当x 等于0时，0=dxdB 说明在O 点B 有极值。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=2522222722222022)2()2(4)2()2(423x d R Rx d x dR R x dIRdxB d μ 当x=0时，2722222022)4()(3dR R d IR dxB d +-=μ当a=R 时，022=dxB d ，说明B 在O 点附近变化极为缓慢，所设区域磁场可近似看作均匀磁场。
11-10 如图11-10 所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量。
解：建立如图11-10（b ）所示的坐标系，对于dx x x +~面元，其面积为ldx ds =由S B ⋅=Φ可得穿过微面元的磁通量为ldx xIds B d πμ20=⋅=Φ。
矩形平面的总的磁通量为 1200ln2221d d IL ldx xI d d d ⎰⎰==Φ=Φπμπμ11-11 在磁感应强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面的夹角为图11-11α，求通过该半球面的磁通量。
解: 由高斯定理⎰=⋅0dS B 得：0'=⋅+⋅⎰⎰S SdSB dS B ，所以，穿过半球面的磁通量为απcos 2'B R dS B S S =⋅-=Φ⎰11-12 已知210mm 裸线允许通过50A 电流而不会使导线过热。
电流在导线横截面上均匀分布。
求（1）导线内、外磁感应强度的分布；（2）导线表面的磁感应强度。
解：取半径为r ，与铜体同轴的圆环 （1）由安培环路定理得∑⎰=⋅=⋅I B r dlB 02μπrIB πμ20∑=方向与电流成右手螺旋关系。
若,R r <则I Rr rRI I ⋅=⋅=∑22222ππ因此在导线内2022022RIr I Rr rB πμπμ=⋅=若R r >，则I I =∑，因此在导线外 rIB πμ20=（2）在导线表面r=R 时，磁场连续分布，由（1）中的公式可得： T RIB 30106.52-⨯==πμ11-13 有一同轴电缆，其尺寸如图11-13所示，两导体中的电流均为I ，但电流方向相反，导体的磁性可不考虑。
试计算以下各处的磁感应强度：（1）。
