2018年北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题及解答

第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。

2018年全国中学生数学能力竞赛（初赛）试题七年级（初一）组（试题总分120分；答题时间120分钟）一、画龙点晴(本大题共8小题，每小题3分，总计24分)1.南海是我国的固有领土，我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米。

194亿立方米用科学记数法表示为（）立方米。

2.当式子|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是（），式子的最小值是（）。

3.已知a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则代数式a（b＋c）＋b（a＋c）+c（a＋b）的值为（）。

4.如图下，已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，…，由此可以推测n棱柱有（）个面，有（）个顶点，有（）条棱.第4题图5.在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为第5题图6.若一个五位的正整数a被4，5，…，9这六个自然数除，所得的余数都为3，则a的最小值是（）。

7.对一切正整数n，有f(n＋1)＝f(n)＋n，且f(1)＝1，则f(n)＝（）。

8.如图所示，在各个手指间标记字母A，B，C，D。

请你按图中箭头所指方向（即A=>B=>C=>D=>C=>B=>A=>B=>C=>…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到15时，对应的字母是（）；当字母B第2001次出现时，恰好数到的数是（）。

(第8题图）二、一锤定音（本大题共4道小题，每小题3分，总计12分）9.已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大排列的顺序是（）。

A. a<ab<ab2B. ab<ab2<aC. ab2<ab<aD. a<ab2<ab10.五位朋友a，b，c，d，e在公园聚会，见面时握手问候。

2018年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）深圳中学 邹新宇1、假定正整数N 的8进制表示为8)43211234567765(=N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ）A 、N 能被7整除而不能被9整除B 、N 能被9整除而不能被7整除C 、N 不能被7整除也不能被9整除D 、N 既能被7整除也能被9整除2、已知数列{}n a 满足)(,2007,2000*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,则2007a 等于（ ） A 、2018 B 、-2018 C 、7 D 、-7 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、231-≤-≥m m 或C 、R m ∈D 、以上均不正确 6、若关于x 的不等式032<+-x xae e有实数解，则a 的取值范围是（ ）A 、()32,-∞-B 、()32,∞-C 、()32,32- D 、),32(+∞二、填空题7、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A ____________________．8、在三角形ABC 中，已知三个内角A 、B 、C 成等差数列，设他们所对的边分别是a 、b 、c ，并且a c -等于AC 边上的高h ，则=-2sin AC ____________________．9、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．10、已知当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，其中πθ20≤≤，则θ的取值范围是____________________．11、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系：()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS SJ =.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =，1b =-或1.若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾.若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能.故1a b +=-或1.当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =.类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-，不动点方程为1x t x =-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时，若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-，以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-，两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--，有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭， 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--，40361α=， 由对称性，不妨设2018ki e πα=，()40362018k ie πβ-=，其中12018k ≤≤.另一方面，当12018i j ≤<≤时，由i j a a ≠知，j i j i a a a a ααββ--≠--， 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时，21t α≠， 即2220181tki t e πα=≠，即对任意12018t ≤<，tk 都不是2018的倍数，即(),20181k =，又因为201821009=⨯，所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个，所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值.3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k 次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位，故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明.当1k =时结论显然成立，故下设2k ≥.构造图G ，共有1k n -个顶点，每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同，则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为n ，我们即证明该图中存在欧拉圈. 为此给出如下引理：若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明，若图G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈.若总边数小于m 时结论成立，考虑总边数等于m 时.考虑图中的最大有向圈Γ，显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈，则从图G 中去掉Γ，得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同（但可以为0）.取G '中的一条边，使其一个顶点在Γ中，沿该边前进，可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾，故此时结论成立. 综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作BDS ∠的平分线交BJ 于P ，以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ，则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线，交直线DS 于S '，则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+，又已知AS DS AE AF AB BD +===+，因此AS DS AS DS ''+=+，故SS AS AS ''=-，由“三角形两边之差小于第三边”可知S '与S 重合，所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切.作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ，以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ，类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切，故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ，因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角，所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束，该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列，故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束，该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列，但M 是BC 的中点，矛盾，所以//PQ BC . 设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥， 再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥，所以MS DH QH====. SJ HJ HJ。

【最新整理，下载后即可编辑】北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系：()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS BD CD SJ ⋅=.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =，1b =-或1.若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1.当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-，不动点方程为1x t x=-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时，若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-，以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-， 两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--，有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭， 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--，40361α=， 由对称性，不妨设2018ki e πα=，()40362018k ieπβ-=，其中12018k ≤≤. 另一方面，当12018i j ≤<≤时，由i j a a ≠知，j i j i a a a a ααββ--≠--， 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时，21t α≠， 即2220181tki t e πα=≠，即对任意12018t ≤<，tk 都不是2018的倍数， 即(),20181k =，又因为201821009=⨯，所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个，所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值. 3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k 次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位，故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明. 当1k =时结论显然成立，故下设2k ≥.构造图G ，共有1k n -个顶点，每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同，则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为n ，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明，若图G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈. 若总边数小于m 时结论成立，考虑总边数等于m 时. 考虑图中的最大有向圈Γ，显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈，则从图G 中去掉Γ，得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同（但可以为0）.取G '中的一条边，使其一个顶点在Γ中，沿该边前进，可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾，故此时结论成立. 综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作BDS ∠的平分线交BJ 于P ，以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ，则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线，交直线DS 于S '，则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+，又已知AS DS AE AF AB BD +===+，因此AS DS AS DS ''+=+，故SS AS AS ''=-，由“三角形两边之差小于第三边”可知 S '与S 重合，所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切. 作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ，以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ，类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切，故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ，因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角，所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束，该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列，故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束，该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列，但M 是BC 的中点，矛盾，所以//PQ BC .设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥，再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥，所以 PH QH MS DH PH QH BD CD BD CD SJ HJ HJ HJ JD JD ⋅⋅====⋅=.。

2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是多少？（请给出详细解题过程）解：设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，即这17个自然数的个位数字之和为765．设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，即这17个自然数的十位数字之和为765．设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，即这17个自然数的百位数字之和为765．由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．一、1.A在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。

2.C将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，3，4）两组可以构成三角形。

由于等腰三角形的两个底角都是锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角。

以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。