2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题含答案
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一、设正整数3n ≥,证明:北京大学2023
年中学生数学科学夏令营测试题
1arccos π是无理数.二、对于正整数n ,定义()S n 为0到1n -中所有整数在十进制中数码和之和,证明:若正整数m n ≥,则
()()()S m n S m S n n +≥++.
三、如图,在ABC D 中,BC 是最长边.设AC 的中垂线与直线,BC AB 分别交于点,D E ,B 关于此中垂线的对称点为F .设AB 的中垂线与直线,BC AC 分别交于点,J K ,C 关于此中垂线的对称点为L .设,BL CF 交于点N ,BJL D 的外接圆与直线JN 交于另一点R .CDF D 的外接圆与直线DN 交于另一点Q .过N 作BC 的平行线交直线EK 于点P ,设M 是,FL BC 的交点,l 是ABC D 外接圆平行于BC 的直径,证明:,,QR MP l
交于一点.
四、将20232023⨯的方格表黑白染色,使得每个22⨯的小正方形中均有至少一个黑色单位方格,且每个黑色方格均在一个22⨯的黑色小正方形(四个单位方格均为黑色)中.记i a 为第i 行中的黑色方格数,i b 为第i 列中的黑色方格数,求 2023221()i i i a b =-∑最大值.。
第1页(共1页)一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.(1)19×11=12׿èöø19-111;………………………………………………………………………………5分(2)1()2n -1()2n +1;12׿èöø12n -1-12n +1;…………………………………………………………………………………………………………10分(3)a 1+a 2+a 3+…+a 100=12׿èöø1-13+12׿èöø13-15+12׿èöø15-17+12׿èöø17-19+⋯+12׿èöø1199-1201=12׿èöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12׿èöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.(1)130°.…………………………………………………………………………………………………5分(2)∠APC =∠α+∠β.理由:过点P 作PE ∥AB ,交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ,所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ,∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分(3)当点P 在BD 延长线上时,∠APC =∠α-∠β;……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时,∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.(1)根据题意,得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答:三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分(2)有,设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米,放下乙后骑摩托车返回,此时丙已经从A 地出发步行至点E ,继续前行后与甲在点F 处相遇,甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意,得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答:有,方案如下:甲从A 地出发载乙,同时丙步行前往B 地,甲载乙行驶101.5千米后放下乙,乙步行前往B 地,并甲骑摩托车返回,与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地,恰好与步行的乙同时到达,所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
【最新整理,下载后即可编辑】北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题,每题30分,满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数,且对任意正整数m 、n ,存在整数x 满足如下关系:()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同,存在t 满足11i i a t a ++=(1,2,,2018i =,并规定20191a a =).求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁,它有n 个按钮,编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时,密码锁会被打开.(例如3n =,2k =,密码为13时,依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁,按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.)要保证把这个密码锁打开,至少需要按动多少次按钮?4.如图,ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上,且满足AS DS AE +=.求证:MS BD CD SJ ⋅=.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++,注意()()()mod f x f x n n ≡+,故本题只需对任意正整数n ,()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =,1b =-或1.若0,1a b +≠±,取n a b =+,则()()()01mod f f n ≡,矛盾. 若0a b +=,则()2f x ax ax c =-+,此时()()01f f =,这也不可能. 故1a b +=-或1.当1a b +=时,0a ≠,则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+,则()()()04mod f f n ≡,矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时,取164n a b =+,可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ,同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -,k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-,不动点方程为1x t x=-,化为210x tx -+=,设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时,若2t =,则1112i i i a a a +--=-,111111i i a a +=---,2019111201811a a =---,矛盾. 若2t =-,同理可得2019111201811a a =+++,也矛盾. 所以αβ≠,可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-,以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-, 两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--,有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭, 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--,40361α=, 由对称性,不妨设2018ki e πα=,()40362018k ieπβ-=,其中12018k ≤≤. 另一方面,当12018i j ≤<≤时,由i j a a ≠知,j i j i a a a a ααββ--≠--, 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时,21t α≠, 即2220181tki t e πα=≠,即对任意12018t ≤<,tk 都不是2018的倍数, 即(),20181k =,又因为201821009=⨯,所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个,所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值. 3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个,要保证打开密码锁,必须全部试过一遍.从第k 次按键开始,每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位,故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明. 当1k =时结论显然成立,故下设2k ≥.构造图G ,共有1k n -个顶点,每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ,B ,若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同,则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图,且每个顶点的入度和出度均为n ,我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理:若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同,则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明,若图G 每个顶点出入度为1,且该图中存在圈,再由连通性可得该圈为欧拉圈. 若总边数小于m 时结论成立,考虑总边数等于m 时. 考虑图中的最大有向圈Γ,显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈,则从图G 中去掉Γ,得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同(但可以为0).取G '中的一条边,使其一个顶点在Γ中,沿该边前进,可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边,故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾,故此时结论成立. 综上,引理得证.由引理,我们即可得到本题存在性证明.4.如图,作BDS ∠的平分线交BJ 于P ,以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ,则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线,交直线DS 于S ',则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切,由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+,又已知AS DS AE AF AB BD +===+,因此AS DS AS DS ''+=+,故SS AS AS ''=-,由“三角形两边之差小于第三边”可知 S '与S 重合,所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切. 作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ,以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ,类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切,故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ,因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角,所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束,该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列,故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束,该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列,但M 是BC 的中点,矛盾,所以//PQ BC .设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥,再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥,所以 PH QH MS DH PH QH BD CD BD CD SJ HJ HJ HJ JD JD ⋅⋅====⋅=.。
2018年北京大学金秋营数学试题
1、设△ABC 的垂心为H ,中点三角形的内切圆为T ,圆心为S 。
直线l ‖AB ,m‖AC ,且都与T 相切(AB,l ;AC,m 分别在S 同侧),l 与m 交于T 。
射线AT 上一点N 满足AN=2AT ,Q 是优弧(BAC )的中点,点R 让四边形AHRQ 成为平行四边形。
证明:HR ⊥RN 。
2、给定整数k >3.证明:方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+34
3k ⎢⎥+⎢⎥
⎣
⎦+1组整数解(m, n, r ).
3、给定正整数k. A,B,C 三个人玩一个游戏(A 一边,B 和C 一边):A 先从集合{1,2,…,n}中取k 个数交给B ,B 从这k 个数中选择k-1个有序地给C ,若C 能够确定B 没给C 的数是什么,则B,C 赢了,求最大的正整数n ,使B,C 有必胜策略。
4、确定全部f ∈Z[x](deg f≤2),使存在g ∈Z[x],满足x 3-1|f(x)g(x)-1.
6、平面上是否存在某个有限点集A 和某个有限直线集B ,满足A 中的每个点恰好在B 中三条直线上,且B 中每条直线恰好经过A 中的三个点。
8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+ ,n)|m+
2
k, n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k, 使得存在
a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
【部分试题参考解答】
第1题参考解答
第2题参考解答
第5题参考解答。
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)2,3,4,5,6,7,8,9中的一个,且这些自然数的和为2018.请问这个学生写出的这17个自然数中,最小的数是多少?(请给出详细解题过程)解:设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17,则有:a1+a2+…+a17=2018由于每个自然数的个位数码只能是1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个,所以每个自然数的个位数字之和一定是45,即这17个自然数的个位数字之和为765.设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字,则有:b1+b2+…+b17=765由于每个自然数的十位数字也只能是1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个,所以每个自然数的十位数字之和一定是45,即这17个自然数的十位数字之和为765.设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字,则有:c1+c2+…+c17=765由于每个自然数的百位数字也只能是1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个,所以每个自然数的百位数字之和一定是45,即这17个自然数的百位数字之和为765.由此可得,这17个自然数中最小的数为100+10+1=111.一、1.A在1到100这100个自然数中,有25个质数,分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此,质数在这100个自然数中所占的百分比是25%。
2.C将10分拆成三个正整数之和,共有8种情况:1+1+8、1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据“三角形两边之和大于第三边”的原则,只有(2,4,4)和(3,3,4)两组可以构成三角形。
由于等腰三角形的两个底角都是锐角,因此以2、4、4为边的等边三角形中,最小边2对的顶角也是锐角。
以3、3、4为边的等腰三角形中,由3的平方加3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。
对每个人而言,至少需要对外发一条短信告知自己的信息,共n条.而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息,此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学,于是短信总数不少于2n−2。
另一方面,n−1名同学都将信息发送给最后一名同学,然后由这名同学再给n−1名同学回复,就可以用2n−2条短信完成任务。
综上,最小的短信条数总数为2n−2。
2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ,其中R 是外接圆的半径,且∠A 为钝角;A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ,若△ABD 的内切圆半径为1,求△ADC 的内切圆半径。
2、证明:若a,b 是正整数,则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。
3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数,求证:2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ,使得f(n)是素数5、对正整数n ,称正整数组(12s ,,...λλλ)为n 的一个(无序的)分拆,如果12s ++...+=n λλλ,12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。
计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合,()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合,试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。
6、设d 是一个大于100的整数,M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合,a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数,求证:存在无穷多个n ,使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1(因为AB=AC 时答案是1),然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等,然后由于sinC+sinB=2,而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示,所以用三角算一算就可以了,另外,A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出,所以是多余的条件。
北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题
2018年6月23日
本试卷共4题,每题30分,满分120分.考试时间180分钟.
1.已知a、b、c为整数,且对任意正整数m、n,存在整数x满足如下关系:
2
ax bx c 三m mod n .
求所有满足要求的三元整数组a,b,c .
、,1
2.已知头数a1,a2,11 (, a2018两两不同,存在t满足a i t (i = 1,2,11丨,2018,并规定
a i
a2019 =印).求实数t的可能取值的个数.
3.给定正整数n、k.有一个密码锁,它有n个按钮,编号分别为1L n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时,密码锁会被打开.(例如n=3 ,
k =2,密码为13时,依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁,按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.)要保证把这个密码锁打开,至少需要按动多少次按钮?
4.如图,AABC中AB = AC .点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于
点D、E、F .点M是线段BC的中点.点S在线段JM上,且满足AS D^ AE.求证:
MS BD CD
SJ 一JD
本试卷共4题
1.设f x = ax 2 bx c ,注意f x 三f x • n mod n ,故本题只需对任意正整数
n ,
f 0 ,f 1 n -1组成模n 的完全剩余系.
下证 a =0, b 二「1 或 1.
若 a +b 式0, ±1,取 n = |a +b ,则 f (0)三 f (1modn ),矛盾• 若a • b = 0,则f x 二ax 2 - ax • c ,此时f 0二f 1,这也不可能• 故 a • b = -1 或 1.
当 a+b=1 时,a^0,贝U 16a+4b|z12a —4a + bK12 — 4= 8. 取 n = 16a 4b ,则 f 0 三 f 4 mod n ,矛盾.故 a = 0. 类似当a b - -1时,取n = 16a 4b ,可得a = 0. 故 a,b 二 0,1 或 0,-1 .
注意对任意正整数 m 、n ,同余方程 x • c 三m mod n 和- x • c 三m mod n 显然有解.
故(a,b, c )=(0,1, k 或 (0,—1,k ), " Z .
1 一 、 1 2
2.由已知有a i 1
,不动点方程为x
,化为x - tx ■ 1 = 0 ,设此一元二次方程的
tp
t —x
两根为:•与1
. 当,--时,
所以「= 1 ,可得 a : 1 _「=「,以及 ai
■ aL ^-
试卷答案
1
a i -1
1
a 2019 - 1
2018,矛盾.
6 T
若t 二-2,同理可得
—-2018,也矛盾.
a 「1
若 t = 2,则 a i ,
2 p
1
a 2019
1
a : —a a —ct 另一方面,当1叮门空2018
时,由a=a j 知,」
虫
aj _ P a - P
而 a ^ = /2 .1.所以当仁— 2018 时,〉2t ",
a j -】 4——
2「tki
即:.2t 乂罰 -1,即对任意1 <t :: 2018,tk 都不是2018的倍数, 即 k,2018 =1,又因为 2018=2 1009,
f 1 \ f 1 、 kr 所以这样的 k 有 2018 汇 1—— 1x11— --- 1(=1008 个,所以 t =a+P=2cos ——有 1008
V 2 八 1009 丿 2018
个取值.
3.最少需要按n k k -1次.
不同的密码共有n k 个,要保证打开密码锁,必须全部试过一遍
.从第k 次按键开始,每次按动 按
钮都可以视为一个长为 k 的序列末位,故至少需要 n k k -1次. 下面给出按动n k k -1次可以满足要求的存在性证明 . 当k =1时结论显然成立,故下设 k _ 2.
构造图G ,共有n k ‘个顶点,每个顶点对应为一个长为 k-1的序列.
对顶点A ,B ,若点A 所对应序列的后k-2位与点B 所对应序列的前k-2位相同,则在AB 之间连一条由 A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边 .注意 图G 为连通图,且每个顶点的入度和出度均为 n ,我们即证明该图中存在欧拉圈 . 为此给出如下引理:
若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同,则该图中存在欧拉圈 对图G 的总边数进行归纳证明,若图 G 每个顶点出入度为1,且该图中存在圈,再由连通性
可得该圈为欧拉圈.
两式相除得「7
- ai ■'
,有 ai 1 _ -
q …. 2i a-i -:- ---------------------- —=a ------ -----------------------------
a i 1 —
从而 a2019 ■-
4036 =a
a 2019 -'
4036 ‘ : =1,
由对称性,不妨设〉二e 翻,[二
二 4036 _k i
,其中1 Ek 乞2018.。