人教A版新课标高中数学必修一 《弧度制》参考课件

根据题意: 1 l R 4 ② 2
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：

（ 1)第一象限角： S | k 360 90 k 360 , k Z
或S
|
2k
2
2k,
k
Z
（ 2)第二象限角： S | 90 k 360 180 k 360 , k Z
或S
角(3)第三象限角：S
|
2
2k
|180 k 360
2k, 270
180º= π rad
把下列特殊角化为弧度数
1°= rad
180
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5
3 46
3
2
2
注：2.角度制与弧度制是两种不同的度量单位， 在表示角时，角度制与弧度制不能混用。
用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集 R之间建立起了一一对应的关系：
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？|
|
l
若弧是一个整圆呢？
r
180 rad 360 2 rad 学以致用：
1°= rad ≈0.01745rad 1.把45 化成弧度
180 1 rad (180)o 57.300 57018'
2.把
2 3
rad化成度
“角化弧”时，将n乘以 180；
正角
正角的弧度负数角 负角的弧度零数角
零角的弧任度意角数的集合
正数
负数 正数 0 负数
实数集R 零
补充练习：
1．α＝－2 rad，则α的终边在( C )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．扇形 AOB，半径为 2 cm，|AB|＝2 所对的圆心角弧度数为________．

明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
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明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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当 r
4
时，S
有最大值
16，此时 l
16 2r
8
，
l r
2
，
当 2 时，扇形的面积最大，最大面积是 16.
本节课学习了弧度制的概念， 角度与弧度的互化，扇形的弧长及 面积公式.
感谢观看
（1）若 60 ， r 3 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为 16，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？
并求出最大面积.
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3 ，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16 ，l 16 2r(0 r 8) ，
因此扇形的面积 S 1 lr 1 (16 2r)r r2 8r (r 4)2 16 ， 22
2π
5π 6
，
2
750
750π 180
25π 6
2
2π
π 6
，
故1
19π 6
，2
25π 6
，1
的终边在第二象限，2
的终边在第一象限.
（2） 1
3π 5
3 180 5
108
， 2
π 3
1 180 3
60
.
设1 108 k1 360k1 Z ，2 60 k2 360k2 Z ，
令 720 1 180 ， 720 2 180 ，
即 720 108 k1 360 180k1 Z ， 720 60 k2 360 180k2 Z ，
得 k1 2或 k1 1， k2 1 .
故在[720, 180) 内，与 1 终边相同的角是 612 和 252 ，

360 2 180
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：

三、度与弧度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意
非零角，单位不同量数也不同. 因为周角的弧度
数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360⁰＝2πrad， 180⁰＝πrad. 1 = π rad 0.01745rad
180
1rad
=
180 π
Q1 P1
P B
A
于是
l = n π 180
r 180
α
O
PQ A
探究！如图，在射线OA上的一点Q(不同于点O)，
OQ=r1. 在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的 长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论?
可以发现，圆心角α所对的弧长 Q1 B
与半径的比值，只与α的大小有关.
P1
也就是说，这个比值随α的确定而
3、利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积 公式得以简化，这体现了弧度制优点.
(1)l = αR ; (2)S = 1 αR2; (3)S = 1 lR.
22ຫໍສະໝຸດ 谢谢！！!唯一确定.O
PQ A
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径
的关系度量圆心角.
B
二、弧度的概念
我们规定：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
r
1rad
Or A
的角，弧度单位用符号rad表示，
读作弧度.
我们把半径为1的圆叫单位圆，在单位圆O
中，弧AB长等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角α rad，那么
l = nπR 180
S = nπR2 360

4
3
6
6
2.将下列各角化成0到2的角加上2k (k Z )
的形式 :
(1) 19 ;(2) 315o;(3) 23 ;(4) 1500o
3
6
(5) 18 ;(6)672o.
7
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应；
（2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位 的角相加、相减时，由于运算进率非十进制， 总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选 择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧 度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
练习
1.计算 : (1) sin ;(2) sin ;(3) cos ;(4) tan
180

度制的换算，提升
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联
数学运算素养.
系．(易错点)
NO.1 情境导学·探新知
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的 过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那 么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？ 什么量没发生变化？由此你能想到度量角的 其他办法吗？
知识点 1 角度制与弧度制
所以角 α 的终边落在直线 y＝x 上，
所以角 α 的集合是αα＝π4＋kπ，k∈Z
.]
(2)[解] 因为 30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 α
＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制
学习任务
核心素养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一
1.通过对弧度制概
对应关系．
念的学习，培养数
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的
学抽象素养．
换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的
2．借助弧度制与角
弧度数．(重点、难点)
3 B [由弧度数公式|α|＝rl，得|α|＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是
3 2 rad.]
1 2 3 45
3．(多选)下列转化结果正确的是( ) A．60°化成弧度是π3 rad B．－130π rad 化成度是－600° C．－150°化成弧度是－76π rad D．1π2 rad 化成度是 15°
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量 r 或 l 的关系 式，并思考最值的求解方法．

小结
很显然，0°-360°角难以满足我们的需要，所以我们需 要对角的概念进行推广.
一、任意角
角度的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转但另一个位置所形成的图形
正角：一条射线绕其端点按逆
时针方向旋转形成的角
正角：一条射线绕其端点按顺
时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有做任何旋
转（始边与终边重合）
一、任意角
随堂练习一：写出象限角和轴线角的集合
随堂练习二：【多选题】下列各角与52°终边相同的有（ ）
A.-308°
B.-232°
C.412°
D.-778°
二、弧度制
角度制：用度为单位来度量角的单位制，叫做角度制。 规定周角的1/360叫做1度的角
弧度制：用弧长来度量角的单位制，叫做弧度制。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度
二、弧度制
例题：已知一个扇形周长是6cm，该扇形的圆心角是2弧度，求该 扇形的面积
二、弧度制
随堂练习：已知扇形的周长是12，面积是8，求扇形圆心角的弧度？
感谢观看
二、弧度制
弧度的计算：正角的弧度数是一个正数，负 角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0， 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值是：
l
r
单位：rad
二、弧度制
随堂思考：表达同一个角，角度和弧度间如何转化？
180°=π
π 1 rad 0.01745rad
Байду номын сангаас180
一、任意角
终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合，常见以 下三种情势：
一、任意角

的弧度数是
2 π ，而在角度制下的度数是360，所以 360 ∘ = 2 πrad ，
180
∘
=
④_______，
1∘
=
π 180
rad
≈
0.01745
rad
，反过来有
1 rad = ⑤________ ≈ 57.30∘ = 57∘18′
要点二 弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;用角度制 和弧度制度量任―非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是 2 π ，而在角度制下的度数是360，所以360 ∘ = 2 πrad ， 180 ∘ = ④___π_r_a_d_， 1∘ = π rad ≈ 0.01745 rad ，反过来有1 rad = ⑤___(1_π8_0_)_∘ _≈ 57.30∘ = 57∘18′
角的弧度数是0
1. 1弧度的角=1度的角，这种说法正确吗?
错误.1弧度的角与1度的角所指的含义不同，大小也不同.
2. 角的大小与圆的半径有关吗?
无关.
要点二 弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;
用角度制和弧度制度量任―非零角，单位不同，量数也不同.因为周角
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做__1__弧__的角，弧度单位用符
号__r_a_d___表示，读作弧度。
度
即在半径为
r
的圆中，弧长为 l
的弧所对的圆心角为 αrad
，那么
|α|
=
l r
，
其
中，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转
为负.一般地，正角的弧度数是一个_____正__数，负角的弧度数是一个______负_，数零