婺源天佑中学文科学霸高中文科数学笔记_第十三册_2015高考状元笔记

2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x=3n +2，n ∈N }，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22．（5分）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=（ ） A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）3．（5分）已知复数z 满足（z ﹣1）i=1+i ，则z=（ ） A ．﹣2﹣i B ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110 D ．120 5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．（5分）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．（5分）函数f （x ）=cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（kπ﹣14，kπ+34），k ∈zB ．（2kπ﹣14，2kπ+34），k ∈zC ．（k ﹣14，k +34），k ∈zD ．（2k −14，2k +34），k ∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（5分）已知函数f （x ）={2x−1−2，x ≤1−log 2(x +1)，x ＞1，且f （α）=﹣3，则f （6﹣α）=（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣1411．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）设函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）=1，则a=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n= ．14．（5分）已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．（5分）若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z=3x +y 的最大值为 ．16．（5分）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=√2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD 的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i=1（x i ﹣x ）2 ∑8i=1（w i ﹣w ）2∑8i=1（x i ﹣x ）（y i ﹣y ）∑8i=1（w i﹣w ）（y i ﹣y ）46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中w i =√x i ，w =18∑8i=1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y=c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^=∑n i=1(u i −u)(v i −v)∑n i=1(u i −u)2，α^=v ﹣β^u ． 20．（12分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 21．（12分）设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ．（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=√3CE，求∠ACB的大小．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：A={x |x=3n +2，n ∈N }={2，5，8，11，14，17，…}， 则A ∩B={8，14}，故集合A ∩B 中元素的个数为2个， 故选：D ． 2．【解答】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到AB →=（3，1），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=AC →−AB →=（﹣7，﹣4）； 故选：A ． 3．【解答】解：由（z ﹣1）i=1+i ，得z ﹣1=1+i i =−i(1+i)−i 2=1−i ，∴z=2﹣i ．故选：C ． 4．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ． 5．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2=8x 的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b 2=12，椭圆的标准方程为：x 216+y 212=1，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由{x =−2x 216+y 212=1，解得y=±3，所以A （﹣2，3），B （﹣2，﹣3）．|AB |=6． 故选：B ． 6．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×（16π）2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B ． 7．【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×72×1=4×（4a 1+4×32），解得a 1=12．则a 10=12+9×1=192．故选：B ．【解答】解：由函数f （x ）=cos （ωx +ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54﹣14）=2，∴ω=π，f （x ）=cos （πx +ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k ∈z ，即ϕ=π4，f （x ）=cos （πx +π4）．由2kπ≤πx +π4≤2kπ+π，求得 2k ﹣14≤x ≤2k +34，故f （x ）的单调递减区间为（2k −14，2k +34），k ∈z ，故选：D ． 9．【解答】解：第一次执行循环体后，S=12，m=14，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，m=18，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=18，m=116，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=116，m=132，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=132，m=164，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=164，m=1128，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=1128，m=1256，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C ． 10．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； α＞1时，﹣log 2（α+1）=﹣3，∴α=7， ∴f （6﹣α）=f （﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣74．故选：A ．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：12×4πr 2+12×πr 2+12×2r ×2πr +2r ×2r +12×πr 2=5πr 2+4r 2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr 2+4r 2=16+20π，解得r=2， 故选：B ．12．【解答】解：∵与y=2x +a 的图象关于y=x 对称的图象是y=2x +a 的反函数， y=log 2x ﹣a （x ＞0），即g （x ）=log 2x ﹣a ，（x ＞0）．∵函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称， ∴f （x ）=﹣g （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ）+a ，x ＜0， ∵f （﹣2）+f （﹣4）=1， ∴﹣log 22+a ﹣log 24+a=1， 解得，a=2， 故选：C ．二、本大题共4小题，每小题5分. 13．【解答】解：∵a n +1=2a n ，∴a n+1a n =2，∵a 1=2，∴数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =a 1(1−q n )1−q =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2=126，∴2n +1=128， ∴n +1=7， ∴n=6． 故答案为：6 14．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+x +1的导数为：f′（x ）=3ax 2+1，f′（1）=3a +1，而f （1）=a +2，切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3a +1）（x ﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a ﹣2=（3a +1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0作出可行域如图，化目标函数z=3x +y 为y=﹣3x +z ，由图可知，当直线y=﹣3x +z 过B （1，1）时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 16．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为x−3+6√6=1与x2﹣y28=1联立可得y2+6√6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2√6，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×6√6﹣12×6×2√6=12√6．故答案为：12√6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=1k＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=a2+14a2−a22a×12a=14．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=√2，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=√2．∴S△ABC =12ac=1．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=√32x ，GB=GD=x 2，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG=12AC=AG=√32x ，则BE=√EG 2−BG 2=√22x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V=13×12AC ⋅GD ⋅BE =√624x 3=√63，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×2×2×(−12)=12，即AC=√12=2√3，在三个直角三角形EBA ，EBG ，EBC 中，斜边AE=EC=ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2=AC 2=12， 即2AE 2=12， ∴AE 2=6， 则AE=√6，∴从而得AE=EC=ED=√6，∴△EAC 的面积S=12×EA ⋅EC =12×√6×√6=3，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE=√6，AF=12AD =12×2=1，则EF=√(√6)2−12=√5，∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=12×2×√5=√5，故该三棱锥的侧面积为3+2√5．19．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w=√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^=108.81.6=68，c ^=y ﹣d ^w =563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x ，（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值y ^=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii ）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值z ^=0.2（100.6+68√x ）﹣x=﹣x +13.6√x +20.12， 当√x =13.62=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 20．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx +1，即：kx ﹣y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．故由√k 2+1＜1，故当4−√73＜k ＜4+√73，过点A （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1相交于M ，N 两点．（2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7=0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1•x 2=71+k 2，∴y 1•y 2=（kx 1+1）（kx 2+1）=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=71+k 2•k 2+k•4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2， 由OM →•ON →=x 1•x 2+y 1•y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得 k=1，故直线l 的方程为 y=x +1，即 x ﹣y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN |=2． 21．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2e 2x ﹣a x．当a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故f′（x ）没有零点，当a ＞0时，∵y=e 2x 为单调递增，y=﹣ax单调递增，∴f′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln a2时，且b ＜14，f′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f′（x ）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x=x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0），由于2e 2x 0﹣a x 0=0，所以f （x 0）=a 2x 0+2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2√3，BE=√12−x2，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=√12−x2，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=√3∴∠ACB=60°五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C 3的极坐标方程θ=π4（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2√2，ρ2=√2，∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|=√2，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为12•C 2M•C 2N=12•1•1=12．六、【选修4-5：不等式选讲】 24．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③．解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a ，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6，可得12[2a +1﹣2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2．故要求的a 的范围为（2，+∞）．。

数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。

错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。

{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。

错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。

m ∴的值为2123， ， 。

三、忽视集合中的元素的互异性这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。

2015年高考文科数学试题与答案(全国卷Ⅰ)2015年高考文科数学试题与答案（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试卷上作答，答题无效。

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x=3n-2,n∈N}，集合B={6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为A) 5.(B)。

4.(C)。

3.(D) 22.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(-4,-3)，则向量BC=A) (-7,-4)。

(B) (7,4)。

(C) (-1,4)。

(D) (1,4)3.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=A) -2-i (B) -2+i (C) 2-i (D) 2+i4.如果三个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这三个数为一组勾股数。

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这三个数构成勾股数的概率为A) 3/11 (B) 1/5 (C) 1/2 (D) 2/55.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为1/2，E的右焦点与抛物线C:y=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=A) 3.(B) 6.(C) 9.(D) 126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有______。

2015年全国高考文科数学试题和答案word精校版(新课标1卷)2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文科一、选择题：每小题5分，共60分1.已知集合 $A=\{x|x=3n+2,n\in N\}$，$B=\{6,8,10,12,14\}$，则集合 $A$ 中的元素个数为（）A）5 （B）4 （C）3 （D）22.已知点 $A(0,1)$，$B(3,2)$，向量$\overrightarrow{AC}=(-4,-3)$，则向量$\overrightarrow{BC}$ 为（）A）$(-7,-4)$ （B）$(7,4)$ （C）$(-1,4)$ （D）$(1,4)$3.已知复数 $z$ 满足 $(z-1)i=1+i$，则 $z$ 等于（）A）$-2-i$ （B）$-2+i$ （C）$2-i$ （D）$2+i$5.已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，$E$ 的右焦点与抛物线$C:y=8x$ 的焦点重合，$A,B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $AB$ 的长度为（）A）3 （B）6 （C）9 （D）126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛7.已知 $\{a_n\}$ 是公差为1的等差数列，$S_n$ 为$\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_8=4S_4$，则 $a_{10}$ 等于（）A）17 （B）22 （C）10 （D）128.函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为（）A）$(k\pi-\frac{13}{4},k\pi+\frac{4}{4}),k\in Z$B）$(2k\pi-\frac{1}{4},2k\pi+\frac{3}{4}),k\in Z$C）$(k-\frac{1}{4},k+\frac{3}{4}),k\in Z$D）$(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}),k\in Z$9.执行右面的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的$n$ 等于（）A）5 （B）6 （C）7 （D）810.已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x-1-2,&x\le 1\\ -\log_2(x+1),&x>1 \end{cases}$，且 $f(a)=-3$，则 $f(6-a)$ 等于（）A）$-\frac{7}{4}$ （B）$-\frac{5}{4}$11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=()C）412、设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=()A）-113、数列{an}中a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=6.14.已知函数f(x)=ax+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=3.15.若x,y满足约束条件{x+y-2≤0.x-2y+1≤0.2x-y+2≥0}，则z=3x+y的最大值为5.16.已知F是双曲线C:x-8^2-y^2=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为24.17.（本小题满分12分）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sinB=2sinAsinC.I）若a=b，求cosB;II）若B=90，且a=2，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．116．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．149．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若为a实数，且＝3+i，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai＝（1+i）（3+i）＝2+4i，则a＝4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p），由PA＝PB得|p|＝，得p＝圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体＝V C﹣AOB＝＝＝36，故积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABCR＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，∴OQ＝﹣，∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，∴PA+PB＝，当x＝时，PA+PB＝2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB＝﹣tan x，由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x ﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）﹣，导数为f′（x）＝+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝﹣2．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知双曲线过点且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2＝λ，代入点，可得3﹣＝λ，∴λ＝﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）（2015•新课标Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【分析】求出y＝x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y ＝ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△＝0得到a的值．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC （Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC＝60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B＝sin∠C，∴tan∠B＝，即∠B＝30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（∁A），P（∁B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（∁A）＝（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6得P（∁B）＝（0.005+0.02）×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH＝＝6，AH＝10，HB＝6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．（2015•新课标Ⅱ）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y＝kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8＝0，故x M＝＝，y M＝kx M+b＝，于是在OM的斜率为：K OM＝＝，即K OM•k＝．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）＝lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝﹣a＝，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f（）＝﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）＝lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；﹣S （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC计算即可．△AEF【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM＝MN＝，∴OD＝1，∴AD＝5，AB＝，∴四边形EBCF的面积为×﹣××＝．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2＝a+b+2，（+）2＝c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b＝c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（文科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，），则向量BC =（ ）A （-7，-4）B ．（7，4）C ．（-1，4）D ．（1，4） 3．已知复数z 满足（z -1）i=1+i ，则z=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．1205．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （ ） A ．172B ．192C ．10D ．128．函数=cos(+)x f x ωϕ（）的部分图象如图所示，则f x （）的单调递减区间为 （ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = （ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222, 1,()log (1), 1,x x f x x x -⎧-=⎨-+⎩≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16π20＋，则r = （ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)f f -+-1=，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页）数学试卷 第6页（共15页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =_____.15．若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥则z 3x y =+的最大值为_____.16．已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C的左支上一点，A （.当APF △周长最小时，该三角形的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ； （Ⅱ）若B =90°，且a =ABC △的面积. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -面积.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ω=8ii=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1C x y -+-=：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a+≥.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集； （Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页）数学试卷 第9页（共15页）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{8,14A B =【答案】A 【解析】(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-【考点】向量运算 【答案】C【解析】抛物线，1e 2c a ==代入椭圆E 【解析】公差【解析】()f a =-1a >时，-】12a =，2)1262n -=-数学试卷 第10页（共15页）数学试卷 第11页（共15页）数学试卷 第12页（共15页）【解析】()3f x '=，又(1)f a =(1,2)a +，切线过为4.(0,66)A ∴直线266y y +2290，由勾股定理得120，可得3624AC GD BE x 3，EAD △的面积与c y dw ∴=-576.6z =⨯0.2(100.6z =时，z 12OM ON x x =2(1)8=121k k+++的一元二次方程，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON=，90ACB∠+，90，90∴∠，DE∴.AE x=，由已知得2AB=2x，由射影定理可得，CE BE，x∴60.90，即90∠，CE BE，列出关于【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理1452=.数学试卷第13页（共15页）数学试卷第14页（共15页）数学试卷第15页（共15页）。

高考状元语文笔记高考状元怎样学数学一、背数学日本学者和田秀书原本数学成绩一塌糊涂，甚至都想放弃数学，去参加不要求数学成绩的院校招生。

直至一天他想到“背数学”的学习方法，他写到：这个技巧是：不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。

如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。

各位猜猜看看，从开始背数学后，我的成绩变好了吗结果是，我的成绩进步神速，高中三年级时，数学模拟考试成绩还进入全国排名，并应届考上东京大学医学院。

小我一岁的弟弟采用我的方法，也成为该校创校以来第二位应届考入东京大学文学院的学生。

无独有偶，1995年北京市文科状元、北京大学段楠同学，也有类似的经历。

她在北京四中读书时，高二第一学期期末考试只列上第30名，而且数学还没及格。

那么，她是如何把数学成绩提上来的呢她说：我学习数学有一个自己的小窍门，不一定对每个人有用，说出来仅供参考：我能学好数学是背例题背出来。

我不喜欢题海战术，喜欢从每种类型的题中找出一两道典型题“背”过一两次，理解之后，再看到难题就会拿着例题往里套了。

二、角色互换北京市十三中的高考状元冯平平同学说，她的成绩一直很稳定，但拔不了尖。

为了她很苦恼，不知道怎么做才能打破这一局面。

直至有一天她忽然想到把试卷和教材来个角色互换，具体做法：试卷和教材“角色互换”步骤如下：第一步，把试卷依照教材的顺序清理好，并编上序号。

因为试卷基本都是按教材走的，清理起来并不费劲。

第二步，在试卷的开始处写上一段“导语”。

主要内容有：一是此试卷考什么，二是与考试有关的只是要点。

第三步，在试卷结尾处，写上一段“小结”，总结自己考试情况，写出自己在知识上的缺陷。

冯平平说，将这些试卷装订起来，反复阅读，实在比看教材过瘾。

再说教材与试卷的“角色互换”。

冯平平同学的做法如下：第一步，认真阅读教材。

第二步，阅读一段，就用若干问题以考题形式总结出来。

第三步，将问题和参考答案写在一个本上，至此，教材试卷化工作即已完成。

高考数学文科总复习十三《数系的扩充与复数的引入》讲义第三十三讲 复数的计算一、选择题1．(2018北京)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2018全国卷Ⅰ)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 3．(2018全国卷Ⅱ)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+4．(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --6．（2017新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+B ．2i (1i)-C ．2(1i)+D ．i(1i)+ 7．（2017新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 8．（2017新课标Ⅲ）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．（2017山东）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =A ．-2iB ．2iC ．-2D ．210．（2017北京）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞11．（2016年全国I 卷）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=A ．−3B ．−2C ．2D ．3 12．（2016年全国II 卷）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 13．（2016年全国III 卷）若43i z =+，则||zz = A ．1 B ．1-C ．43i 55+D ．43i 55-14．（2015新课标1）设复数z 满足11zi z+=-，则||z =A ．1BCD ．2 15．（2015广东）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 16．（2015安徽）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．（2015山东）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 18．（2015四川）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i 19．（2015湖北）i 为虚数单位，607i的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-20．（2015湖南）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 21．（2014新课标1）设i iz ++=11，则=||z A ．21 B ． 22 C ． 23 D ． 2 22．（2014新课标1）32(1)(1)i i +-= A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --23．（2014新课标2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 24．（2014新课标2）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i -25．（2014山东）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+ 26．（2014广东）已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ． 34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 27．（2014安徽）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学适用地区：青海/西藏/甘肃/贵州/内蒙古/新疆/宁夏/吉林/黑龙江/云南/广西/辽宁/海南 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =（A ）(1,3)-（B ）(1,0)-（C ）(0,2)（D ）(2,3)（2）若a 为实数，且231aii i+=++，则a = （A ）−4（B ）−3 （C ）3 （D ）4（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 （C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a（A ）-1（B ）0（C ）1（D ）3（5）设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 = （A ）5（B ）7（C ）9（D ）11（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）18（B ）17（C ）16（D ）15（7）已知三点(1,0)A ，(0,3)B ，(2,3)C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为（A ）53（B ）213（C ）253（D ）43（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”。