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第41讲逻辑推理与证明复数框图高三新数学第一轮复习教案〔讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图〕一．课标要求：1．常用逻辑用语〔1〕命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；〔2〕简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
〔3〕全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，明白得全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．推理与证明〔1〕合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
〔2〕直截了当证明与间接证明①结合差不多学过的数学实例，了解直截了当证明的两种差不多方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点；②结合差不多学过的数学实例，了解间接证明的一种差不多方法--反证法；了解反证法的摸索过程、特点；〔3〕数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；〔4〕数学文化①通过对实例的介绍〔如欧几里德«几何原本»、马克思«资本论»、杰弗逊«独立宣言»、牛顿三定律〕，体会公理化思想；②介绍运算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入〔1〕在咨询题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；〔2〕明白得复数的差不多概念以及复数相等的充要条件；〔3〕了解复数的代数表示法及其几何意义；〔4〕能进行复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
高考数学二轮复习精品资料专题10推理证明复数算法框图（学生版）【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。
2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。
【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。
趣味逻辑推理100题第41－50题答案某电子商场销售量最高的三款相机分别产自美国、中国和德国。
已知：B相机不是中国生产的；中国生产的相机在销售时赠送了一张大容量存储卡；C相机在销售中没有任何赠品，它与产自德国的那款相机同是金属外壳。
请问，这三款相机分别产自哪里？解：已知：1、B相机不是中国生产的；2、中国生产的相机在销售时赠送了一张大容量存储卡；3、C相机在销售中没有任何赠品，它与产自德国的那款相机同是金属外壳。
推理：一、根据已知条件1、2、3推出，中国生产的相机不是B和C,只能是A；二、根据已知条件3知道，C相机不是德国产的，从推理一也知道不是中国产的，推出是美国生产的；三、综上，余下的B相机是德国生产的。
结论：A相机产自中国B相机产自德国C相机产自美国里奥去旅行，在森林里迷了路。
他终于找到一座小木屋，门口有一个孩子在玩耍，“你知道今天是星期几吗？”里奥问孩子。
“哎呀，我可不知道，你可以去问问我的爸爸妈妈。
不过，我爸爸在星期一、二、三说谎话，妈妈在星期四、五、六说谎话，星期日他们倒都说真话。
”小孩回答。
里奥问小孩的父母询问今天是星期几，孩子爸说：“昨天是我说谎的日子。
”孩子妈也说：“昨天是我说谎话的日子。
”里奥想了一会儿同，终于正确地判断出了这一天是星期几。
解：已知：1、孩子爸爸在星期一、二、三说谎话，2、孩子妈妈在星期四、五、六说谎话，3、星期日他们倒都说真话。
4、孩子爸说：“昨天是我说谎的日子。
”5、孩子妈也说：“昨天是我说谎话的日子。
”推理一、根据已知条件1――3，如果这天是星期一，那么昨天是星期日，爸妈都说真话，根据已知条件5，孩子妈妈星期一、二、三说真话，她说昨天说谎，但是星期日她是说真话，与此有矛盾，不成立；二、如果这天是星期二，那么昨天是星期一，孩子的妈妈星期一、二、三说真话，她说昨天说谎，与此有矛盾，不成立；三、同理，星期三也不成立；四、如果这天是星期五，孩子的爸爸星期四、五、六说真话，他说昨天说谎，与此有矛盾，不成立；五、同理，星期六也不成立；六、如果这天是星期日，孩子的爸爸星期六和星期日都说真话，他说昨天说谎，与此有矛盾，不成立；七、只有星期四，孩子的爸爸星期三说谎，星期四说真话，他说昨天说谎是相符的；孩子的妈妈星期三说真话，星期四说谎话，他说昨天说谎，说谎的负判断就是真话，也相符，因此成立。
高三新数学第一轮复习第四十一讲逻辑、推理与证明、复数、框图一．知识整合：1．常用逻辑用语（1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
（2）复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：“p且q“p且q注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
（3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
（4）条件一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：（1）充分不必要条件，即p⇒q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q⇒p；(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p。
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。
p⇔q表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
推理与证明复数框图介绍“推理与证明、复数、框图”简介人民教育出版社宋莉莉推理与证明“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明．“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次．通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法．在本套教科书中，“推理与证明”分别是《选修1-2》和《选修2-2》中的一章，二者在内容和要求上基本相似，但不尽相同．相似之处是都将通过生活实例和数学实例，介绍合情推理和演绎推理的涵义，以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论，等等．本章还将介绍证明的两类基本方法——直接证明和间接证明，通过数学实例说明它们的思考过程和特点等．不同之处是《选修2-2》设置的例题、练习和习题的难度要求较高，而且在《选修2-2》中，学生还将了解数学归纳法的原理和简单应用．一、内容与要求1. 合情推理与演绎推理⑴结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．⑵结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．⑶通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．2. 直接证明与间接证明⑴结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．⑵结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．3. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）．4. 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．二、内容安排及说明1. 在《选修1-2》中，全章共有2个小节，教学时间约需10课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理约5课时1.2 直接证明与间接证明约4课时小结约1课时在《选修2-2》中，全章共有3个小节，教学时间约需8课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理约3课时1.2 直接证明与间接证明约3课时1.3 数学归纳法约2课时证明直接证明 间接证明综合分析法反证数学归纳法（理科） 推 理 合情推理 演绎推理 归纳 类比 小结2．知识结构框图3．对内容安排的说明⑴ 本章将介绍推理中的合情推理和演绎推理．数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要角色．因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的．合情推理常用的思维方法是归纳和类比．归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．与合情推理一样，演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式．特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行．演绎推理的一般模式是“三段论”．⑵数学内部规律的正确性必须通过逻辑推理的方式证明，这正是数学区别于其他学科的显著特点．本章学习两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明．这部分的内容实际上是对学生已学过的基本证明方法的总结，因此学生并不陌生．本章介绍了直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，间接证明的一种基本方法：反证法．⑶数学归纳法是理科学生学习的内容，它也是一种直接证明的方法．与以往教科书不同的是，本章设置了相应的内容以帮助学生了解数学归纳法的原理．三、编写时考虑的几个问题1.以变分散为集中，变隐性为显性的方式讲推理和证明．总体说来，本章的内容属于数学思维方法的范畴．教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们．因此教科书尽量结合学生已学过的数学实例和生活实例，从中挖掘、提炼出推理和证明的含义，给出了一般性的定义，并画出流程图描绘推理和证明的过程，同时纠正可能犯的典型错误，为学生正确运用推理和证明解决问题做出示范．2．紧密结合已学过的数学实例，避免空泛地讲数学思想方法．这样的编写意图贯穿本章内容始终，具体体现在以下几个方面：⑴以具体的例子为载体，讲推理的含义、方法，纠正典型错误等．例如，教科书以数学史上著名的哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理．哥德巴赫猜想的提出过程是一个典型的运用归纳推理的过程，教科书详细分析了猜想的提出过程，同时分析了其中的思维方法（即通过对有限的资料进行观察、分析、归纳整理，提出带有规律性的结论（猜想）），并从中提炼出了归纳推理的含义．又如，为了说明运用类比推理发现数学结论的一般步骤，教科书设置了类比平面内直角三角形的勾股定理，猜想空间中四面体性质的例题．为了让学生充分感受和体验这一类比过程，教科书对推理的过程进行了详细的、有条理的分析．首先，分析勾股定理和直角三角形的特征及其之间的关系，以明确直角三角形和3个面两两垂直的四面体的相似特征，并画出表格将其列举出来；然后，类比勾股定理的结构，猜想对3个面两两垂直的四面体成立的等式S2＝S21＋S22＋S23．⑵回忆遇到过的证明过程，挖掘出证明方法的一般定义和特点．例如，教科书先回顾了《数学5》中证明基本不等式的过程，然后总结了这类证明方法的特点，即从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，直到找到一个明显成立的条件为止，在此基础上，给出了分析法的定义和描述分析法证明过程的框图．⑶例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法或证明方法，详细分析推理的思路，体验证明方法的思考过程和特点．例如，“证明函数f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数”是学生熟悉的证明问题，教科书的编写意图是挖掘其中所包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．应当说，许多学生能写证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此他们在表述证明过程时，往往显得随心所欲、杂乱无章．教科书试图通过这样的例题使这种状况得到改善．3. 通过剖析生活实例中蕴涵的思维过程揭示数学思想方法．推理与证明是人们在现实生活中必不可少的思维活动，因此除了数学实例外，教科书也列举了人们在生活中的某些思维过程并加以剖析，来帮助学生的理解．例如，数学归纳法的原理对于学生来说较为抽象，教科书就从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系．四、对教学的几个建议1. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．2. 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．3. 讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题．4. 注意文理差异．数系的扩充与复数的引入数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充．在本章中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用．一、内容与要求1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示法及其几何意义．4. 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1 数系的扩充和复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时小结2．知识结构框图数系复数的复数代3．对内容安排的说明⑴与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义．⑵本章还研究了复数系中的运算问题，分别规定了加减乘除运算的运算法则，考察了加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对复数代数形式的加减运算，讨论了其几何意义；对复数代数形式的除法运算，说明了一般的运算过程．三、编写时考虑的几个问题1.充分展现了从实数系到复数系的扩充过程．复数系是在实数系的基础上扩充而得到的，数系扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用．为了自然、充分地展现这个过程，教科书以一个具体问题“方程x2＋1＝0在实数集中无解．联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗”引发学生的思考，同时将方程求根与数系的扩充联系起来，然后在回顾了从自然数系到实数系的扩充过程之后，类比这个过程完成了从实数系到复数系的扩充过程．2.从多元联系的角度认识复数．考虑到学生初学复数，对这个新的数系会感到不习惯，教科书设置了“探究”“思考”栏目，引导学生将复数系与实数系联系起来，将复数的几何意义与实数的几何意义做类比，将复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其加减运算联系起来，从而加深学生对复数系的认识．四、对教学的几个建议1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用．2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系．3.削减传统内容（复数的三角形式、乘法的几何意义），避免繁琐的计算与技巧的训练．框图框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系．框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式．本章的教学目标可以分为两个方面．一方面在知识内容上，让学生理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法；另一方面在思想方法上，帮助学生体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，以及清晰地表达和交流的能力．一、内容与要求1. 通过具体实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图．2. 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．3. 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．4. 结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1 流程图约3课时4.2 结构图约2课时小结约1课时2．知识结构框图 3．对内容安排的说明⑴ 本章介绍的框图包括两类——流程图和结构图．流程图是一种动态图示，通常用来描述一种过程性的活动．《数学3（必修）》“算法初步”一章介绍的程序框图就是流程图的一种．教科书在回顾和进一步认识程序框图，以及介绍生活中其他形式的流程图（如图书借阅流程图、诊框图流程图 结构图流程图程序框图其他流程图 生活中的流程图数学中的流程图 画流程图读流程图 描述数学计算或证明过程 流程图的一般形式、特征和作用 结构图知识结构图 组织结构图 其他结构图读知识结构图 画知识结构图 整理资病流程图）的基础上，描述了流程图的一般形式、特征和作用；然后结合生活、生产中的具体例子，说明了画流程图和读流程图的一般方法；最后，教科书说明了流程图在表示数学计算或证明过程中的主要思路与步骤中的应用．⑵结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．例如，本套教科书各章之后的知识结构图就是结构图的一种．教科书首先通过对知识结构图的回顾和进一步认识，说明了结构图的一般形式，以及读知识结构图和画知识结构图的一般方法和需要注意的问题（即在梳理知识内容的基础上，正确描述要素间的“从属关系”和“逻辑先后关系”）；接着通过具体实例介绍了组织结构图的特征和作用；最后，教科书说明了结构图在梳理已学过的知识方面的应用．三、需要说明的问题1.本章对程序框图的进一步认识主要体现在，将绘制程序框图表达算法的过程看成对算法步骤的细化过程，并用具体例子详细说明了这个过程，同时对程序框图描述的算法和自然语言描述的算法步骤进行了比较，说明了框图的优越性．2.本章所介绍的框图不仅包括“算法初步”中的程序框图，还包括日常生活和各门学科中的框图．与程序框图不同的是，这些框图没有一定的规范和标准，而是根据实际情况绘制，不必拘泥于一定的形式，可以使用不同的色彩，也可以添加一些生动的图形元素．。
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图一．课标要求：1．常用逻辑用语（1）命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
（3）全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．推理与证明（1）合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；（4）数学文化①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想；②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；（3）了解复数的代数表示法及其几何意义；（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
