恒定电流的磁场(一)答案

《电磁场与电磁波》试题1一、填空题（每小题1分，共10分）1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B 和磁场H满足的方程为： 。

2．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为 方程。

3．时变电磁场中，数学表达式H E S⨯=称为 。

4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。

5．矢量场)(r A穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。

6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。

7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。

9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表示。

二、简述题 （每小题5分，共20分）11．已知麦克斯韦第二方程为t B E ∂∂-=⨯∇ ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。

12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题 （每小题10分，共30分）15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz ey B ˆˆ2+-=是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。

16．矢量z y x e e eA ˆ3ˆˆ2-+=，z y x e e e B ˆˆ3ˆ5--=，求 （1）B A+ （2）B A⋅17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为()jkz y x e E e E eE --=004ˆ3ˆ（1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向；四、应用题 （每小题10分，共30分）18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。

试求 （1） 球内任一点的电场强度（2） 球外任一点的电位移矢量。

19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。

第十一章 恒定电流的磁场11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。

（1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。

（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。

…解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离为13OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应强度的大小为012(cos cos )4πBC I B dμββ=-^IB21图11–2图11–1…B（a ）AE（b ）0(cos30cos150)4π/3Ih μ︒︒=-=方向垂直于纸面向外。

另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。

因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即3BC B B ===方向垂直于纸面向外。

（2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。

由载流直导线的磁感强度一般公式012(cos cos )4πIB dμββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为01(cos0cos30)4cos60)IB R μ︒=︒-︒π(0(12πI R μ=-031(cos150cos180)4πcos60IB B R μ︒==︒-︒0(12πI R μ=-】方向垂直纸面向里。

半径为R ，圆心角α的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为04πI B Rμα=圆弧bcd 占圆的13，所以它在圆心O 处产生的磁感强度B 2的大小为00022π34π4π6II I B R R Rμμαμ===方向垂直纸面向里。

因此整个导线在O 处产生的总磁感强度大小为000012333(1)(1)0.212π22π26I I I I B B B B R R R Rμμμμ=++=-+-+=方向垂直纸面向里。

考点09磁场1．（2021·贵州贵阳市·高二期末）如图所示，在光滑的水平桌面上，a和b是两条固定的平行长直导线，通过的电流强度相等。

一矩形线框通有逆时针方向的电流，位于两条导线所在平面的正中间，在a、b产生的磁场作用下静止。

则a、b的电流方向可能是（）A．均向左B．均向右C．a的向右，b的向左D．a的向左，b的向右【答案】CD【详解】A．若a、b电流方向均向左，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框上边所在处的磁场方向垂直纸面向外，在线框下边所在处的磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则知，线框上边所受的安培力方向向上，下边所受的安培力方向向上，则线框不能处于静止状态，故A错误；B．若a、b电流方向均向右，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框上边所在处的磁场方向垂直纸面向里，在线框下边所在处的磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则知，线框上边所受的安培力方向向下，下边所受的安培力方向向下，则线框不能处于静止状态，故B错误；C．若电流方向a的向右，b的向左，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框上边所在处的磁场方向垂直纸面向里，在线框下边所在处的磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则知，线框上边所受的安培力方向向下，下边所受的安培力方向向上，根据对称性，线框可以处于平衡状态，故C正确；D．若电流方向a的向左，b的向右，根据安培定则以及磁场的叠加知，在线框上边所在处的磁场方向垂直纸面向外，在线框下边所在处的磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则知，线框上边所受的安培力方向向上，下边所受的安培力方向向下，根据对称性，线框可以处于平衡状态，故D正确。

故选CD。

2．（2021·全国高二专题练习）某型号的回旋加速器的工作原理图如图甲所示，图乙为俯视图．回旋加速器的核心部分为D形盒，D形盒置于真空容器中，整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒面垂直．两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．质子从粒子源A 处进入加速电场的初速度不计，从静止开始加速到出口处所需的时间为t ，已知磁场的磁感应强度大小为B ，质子质量为m 、电荷量为＋q ，加速器接一高频交流电源，其电压为U ，可以使质子每次经过狭缝都能被加速，不考虑相对论效应和重力作用．则下列说法正确的是（ ）A ．质子第一次经过狭缝被加速后，进入D 形盒运动轨迹的半径r =1B B ．D 形盒半径RC ．质子能够获得的最大动能为22q BUtmπD ．加速质子时的交流电源频率与加速α粒子的交流电源频率之比为1：1 【答案】AB 【详解】A ．设质子第1次经过狭缝被加速后的速度为v 1，由动能定理得qU =2112mv 由牛顿第二定律有qv 1B =m 211v r联立解得r 1故A 正确；B ．设质子从静止开始加速到出口处运动了n 圈，质子在出口处的速度为v ，则2nqU=12mv 2 qvB=m 2v R质子圆周运动的周期T =2mqBπ 质子运动的总时间t =nT联立解得R 故B 正确； C ．根据qvB=m 2v R解得v =BRqm带电粒子射出时的动能E k =212mv =2222B R q m=2BUq t m π故C 错误。

5 恒定电流的磁场5.1 填空题5.1.1 一切磁现象，其本质起源于( )。

5.1.2 磁感应线是（ ）曲线，或从无限远伸向无限远。

5.1.3电流元l Id在坐标原点沿x 轴正方向，则在以原点为圆心，R 为半径的圆周上，与x 轴相交点处的磁感强度的大小为（ ）。

5.1.4正交的两个等大同心单匝圆线圈（半径为R ）中均通有电流I ，则在圆心处的磁感应强度B 的大小为（ ）。

5.1.5 两个通有同向电流的等大圆形环路平行放置，则二者将会（ ）。

5.1.6一束质子流发生了侧向偏转，表明该空间内存在着电场或磁场。

若轨迹是圆周曲线，表明是（ ）场，若轨迹是抛物线，表明是（ ）场。

5.1.7电子枪射出速度分别为v 和2v 的两个电子，初速度方向为x 方向，进入位于yz 平面的匀强磁场中，则两电子回到出发点的时间（ ）。

5.1.8 边长为a 的正方形导线回路中载有电流I ，则其中心处的磁感应强度为( )。

5.1.9 把构成回路的导线扭在一起，其周围的磁场为( )。

5.1.10圆形无限长载流螺线管内的磁场强度大小为( )。

正方形无限长载流螺线管内的磁场强度大小为( )。

5.1.11计算有限长的直线电流的磁场( )用毕奥-萨伐尔定律求之，而( )用安培环路定律求得。

(填能或不能)。

5.1.12 静磁场的高斯定理0=⋅⎰s d B 和环路定理I l d B 0μ=⋅⎰说明静磁场是（ ）场。

5.1.13氢原子的电子以速率v 作半径为R 的圆周运动，则电子在轨道中心的磁感应强度B=（ ）。

5.1.14 无限长载流直导线产生的磁场对自身任一电流元产生的作用力为（ ）。

5.1.15电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周，电场力做功为（ ）。

电荷在静磁场中沿任一闭合曲线移动一周，磁场力做功（ ）。

5.1.16一质量为m 、带电为q 的粒子垂直射入匀强磁场B 中作半径为R 的匀速圆周运动，若该粒子的动能为E k ，则B ＝（ ）。

磁 场一、恒定电流的磁场1、直线电流的磁场通有电流强度为I 的无限长直导线，距导线为R 处的磁感应强度为：RIB πμ20=；如下图距通有电流强度为I 的有限长直导线为R 处的P 点的磁感应强度为：)cos (cos 40βαπμ+=RIB ----------------------------------①若P 点在通电直导线的延长线上，则R=0 α=0 β=π 无法直接应用上述式子计算，可进行如下变换lR d d 21)sin(2121=+βα 上式中1d 、2d 分别为P 点到A 、B 的距离，l 为直导线的长度所以：l d d R )sin(21βα+=代入①式得：)sin(cos cos 4210βαβαπμ++=d d Il B令2sin2cos2cos 2sin 22cos2cos2)sin(cos cos βαβαβαβαβαβαβαβα+-=++-+=++=y将α=0 β=π代入上式得0=y所以：在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为0=B2、微小电流元产生的磁场微小电流元的磁场，根据直线电流的磁场公式)cos (cos 40βαπμ+=rIB得：Ⅰ若α、β都是锐角，如左图，有：)cos (cos 40βαπμ+=r I B =)sin (sin 4210θθπμ∆+∆rI因1θ∆、2θ∆0→，所以≈∆+∆=)sin (sin 4210θθπμr I B )(4210θθπμ∆+∆rI所以：θπμ∆=rIB 40Ⅱ若α、β中有一个是钝角，如β（右图），则：]sin )[sin(cos 4)cos (cos 400000θθθθπμβαπμ-+∆=+=r Id I B -------------①00000sin sin cos cos sin sin )sin(θθθθθθθθ-∆+∆=-+∆因0→∆θ，所以：0000cos cos sin sin )sin(θθθθθθθ∆≈∆≈-+∆--------------------------------②②式代入①式得：θπμ∆=rIB40总上所述，电流元I 在空间某点产生的磁场为：θπμ∆=rIB 40，式中r 为电流元到该点的距离，θ∆为电流元端点与该点连线张开的角度。

思考题9-1 为什么不能简单地定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向? 答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B 的方向有关，还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。

如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。

9-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。

为什么?答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。

管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。

因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。

9-3 长为L 的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为L /4的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L 的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。

解：在本题图 (a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。

所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。

由教材例题6-1可知，其大小应为0214(sin sin )4I B r μββπ=- 将/8r L =，1/4βπ=-，2/4βπ=代入上式得()00042sin 4 3.604I I IB r L Lμμπππ=== 在图6-2(b)中，通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题6-2可知为0'2I B Rμ=其中，/2R L π=。

则00' 3.14I I B L Lμμπ==比较得'B B >。

9-4 在载有电流I 的圆形回路中，回路平面内各点磁场方向是否相同?回路内各点的B 是否均匀?答：根据毕奥一萨伐尔定律，用右手螺旋关系可以判定：载流圆形回路平面(a) (b)思考题9-3内各点的磁感应强度B 方向相同，都垂直于回路平面，但回路平面内各点．B 的大小不同，即B 的分布非均匀。

一、选择题1．一根无限长细导线载有电流I，折成图6-1所示的形状，圆弧部分的半径为R，则圆心处磁感应强度B的大小为：A．B．C．D．（）2．如图6-2所示：圆形回路L和圆电流I同心共面，则磁感应强度沿L的环流为：A．，因为L上H处处为零；B．，因为L上H处处与d l垂直；C．，因为L包围电流I；D．，因为L包围电流I且绕向与I相反。

（）3．对于安培环路定理的理解，正确的是：(所讨论的空间处在稳恒磁场中)A．若，则在回路L上必定是H处处为零；B．若，则回路L必定不包围电流；C．若，则回路L所包围传导电流的代数和为零；D．回路L上各点的H仅与回路L包围的电流有关。

（）4．一无限长薄圆筒形导体上均匀分布着电流，圆筒半径为R，厚度可忽略不计，如图6-3所示。

在下面的四个图中，r轴表示沿垂直于薄圆筒轴线的径向，坐标原点与圆筒轴线重合，则这四个图中那一条曲线正确地表示出了载流薄圆筒在空间的磁场分布：r ()5．如图6-4所示，将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与该磁场垂直向内。

现已知载流平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2，则该载流平面上的电流密度j为：A．B．C．D．（）6．一根半径为R的无限长直铜导线，载有电流I，电流均匀分布在导线的横截面上。

在导线内部通过中心轴作一横切面S(如图6-5所示)，则通过横切面S上每单位长度的磁通量Φm 为：A．B．C．D．（）7．一线圈载有电流I，处在均匀磁场B中，线圈形状及磁场方向如图6-6所示，线圈受到磁力矩的大小和转动情况为：(转动方向以从O1看向O1′或O2看向O2′为准)A．，绕O1 O1′轴逆时针转动；B．，绕O1O1′轴顺时针转动；C．，绕O2O2′轴顺时针转动；D．，绕O2O2′轴逆时针转动。

（）8．如图6-7所示，通有电流I的金属薄片，置于垂直于薄片的均匀磁场B中，则金属片上a、b两端点的电势相比为：A．B．C．D．无法确定。

（）9．如图6-8所示，均匀磁场的磁感应强度为B，方向沿y轴正向，要使电量为q的正离子沿x轴正向作匀速直线运动，则必须加一个均匀电场E，其大小和方向为：A．，E沿z轴正向；B．，E沿y轴正向；C．，E沿z轴正向；D．，E沿z轴负向。