运筹学复习重点

运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。

（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。

（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。

（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。

（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。

（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。

第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。

（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。

（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。

（4）M/M/1模型、M/M/c模型的状态转移图，概率平衡方程，以及了解系统状态概率、基本性能指标的计算过程。

第一章线性规划与单纯形法一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：必考知识点，30分以上,非常重要！二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．三、本章重难点：重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模．难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模．四、本章要点精讲：·要点１化标准型·要点２图解法·要点３单纯形法的原理·要点４单纯形法的计算步骤·要点５单纯形法的进一步讨论1）要点１化标准型线性规划的数学模型：Z=CX （C：价值系数） Ax=b （a：工艺或技术系数 b：资源限制）复习思路提示：化标准型按“目标函数—资源限量—约束条件—决策变量”的顺序进行。

2）要点２图解法线性规划解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；3）要点３单纯形法原理解的概念与关系:基：设A是约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n>m），其秩为m，B是A 中的一个m*m阶的满秩子矩阵（B≠0的非奇异子矩阵），称 B是线性规划问题的一个基．设除基变量以外的变量称为非基变量。

基解：在约束方程组中，令所有的非基变量=0，可以求出唯一解X。

基可行解：变量非负约束条件的基解．可行基：基可行解的基．几个定理：１线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量是线性独立的．２线性规划问题的基可行解Ｘ对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点．３若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解．最优解唯一时，最优解也是基最优解；当最优解不唯一时，最优解不一定是基最优解．基最优解基可行解集解最优解可行解线性规划解的判别：①最优解：全部σｊ≤ 0，则X(0)为最优解．②唯一最优解：全部σｊ＜0，则X(0)为唯一最优解．③无穷多最优解：全部σｊ≤0，存在一个非基变量的σ＝0，则存在无穷多最优解．④无界解：若有一个非基变量的σ＞0，而其对应非基变量的所有系数ａ′≤0，则具有无界解。

运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。

这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。

本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。

1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。

在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。

考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。

2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。

整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。

3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。

在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。

考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。

4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。

在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。

5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。

效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。

6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。

在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。

7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。

在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。

8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。

在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。

以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。

《运筹学基础》复习要点一、基本概念与理论1．任意多个凸集的交集还是凸集。

2．任意多个凸集的并集不一定是凸集3．给定1R b ∈及非零向量n R a ∈，称集合}|{b x a R x H Tn=∈=是nR 的一个超平面。

4．由超平面}|{b x a R x H Tn=∈=的两个半平面}|{b x a R x H T n ≥∈=+和}|{1b x a R x H T n ≤∈=都是凸集。

5．设S 是凸集，S x ∈。

若对任何z y S z S y ≠∈∈,,，以及任何10<<λ，都有z y x )1(λλ-+≠，则称x 为S 的顶点。

6．如果一个LP 问题无界，则它的对偶问题必无可行解。

7．设w x ,分别为原始LP 问题、对偶问题的可行解，若b w x c T T =，则原始LP 问题、对偶问题的最优解分别为w x ,。

8.可行解x 是基本可行解的充分必要条件是x 的正分量，所对应的A 中列向量线性无关。

9.写出LP 问题的对偶问题0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T的对偶问题是： 0..min ≥≤⎪⎩⎪⎨⎧w c w A w b t s TT10．设一个标准形式的LP 问题的基为B ，右端向量为b ，则对应的基本解是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-01b B x 。

11．线性规划问题的可行域是凸集。

12．设线性规划问题LP 为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s x c T B 为一个基，对应的典式为0..min 111≥=+⎪⎩⎪⎨⎧-=---x b B Nx B x t s x b B c z N B T TB ζ 其中),0(1T N TB Tc N B c -=-ζ。

13.线性规划问题的规范形式为0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T14. 线性规划问题的标准形式为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s xc T15.线性规划问题的一般形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==≥+=≥==n q j x qj x m p i b x a p i b x a t s x c j ji Ti i Ti T ,,1,,2,10,,1,,2,1..min 为自由变量16.对线性规划问题，关于它的解分三种情况：问题无解、问题无界和问题有最优解。

运筹学复习要点1．线性规划部分（1）会求一般线性规划问题的标准形式。

要求见38页表格。

（2）了解线性规划的可行解、基解、基可行解、最优解、基变量、非基变量等概念。

（3）知道单纯形法的几个基本定理。

（4）掌握大M法与两阶段法求解线性规划问题的方法步骤。

（5）知道线性规划问题唯一最优解，有无界解，无穷多最优解，无可行解的判别方法。

（6）了解单纯形法的矩阵表示方法，会找出B-1 。

2．对偶理论（1）会求原规划问题的对偶问题。

（2）了解对偶原理。

（3）知道对偶单纯形法的迭代步骤。

（4）灵敏度分析部分：会对增加变量与增加约束条件情况进行分析。

3．运输问题（1）知道运输问题的数学模型。

（2）掌握运输问题的表上作业法（初始方案的确定，最优性检验，调运方案的调整）。

（3）会处理产大于销的运输问题。

4．指派问题（1）知道匈牙利法解决分配问题的理论依据，掌握匈牙利法求解指派问题的方法。

（2）知道人多任务少时的处理方法及人比任务少时的处理方法。

5．整数规划（1）会用割平面法求解整数规划问题6．目标规划（1）会建立目标规划数学模型，会解释目标约束的意义。

（2）会用图解法求解目标规划。

7．图论部分（1）了解图的基本概念：简单图、完全图、偶图、子图、部分图等，次（度）、链、路、圈、回路等。

（2）知道树的概念和基本性质。

知道求图的最小部分树的理论依据和方法。

（3）会求最短路。

（4）会求网络的最大流与最小割。

（5）会求最小费用流。

8.动态规划（1）了解动态规划的基本概念及最优化原理.（2）知道动态规划的基本方程与求解方法.9．决策分析（1）掌握不确定型决策分析条件收益矩阵与机会损失矩阵建立方法及相关决策准则。

（2）会运用决策树方法解决简单的序贯决策问题。

（3）掌握AHP法的分析问题步骤，会用和法求判断矩阵的特征向量。

运筹学复习题一、填空题1．在线性规划标准形式中，要求约束条件右侧常数),,2,1(m i b i =为_____ 数。

运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。

2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。

3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。

线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。

4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。

10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。

11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。

12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。

14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。

15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。

16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。

《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。

确定决策变量 确定目标函数 确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。

都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。

问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。

问题中用一组决策变量来表示一种方案。

3. 线性规划问题标准型的特征。

4. 化标准型的方法。

123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。

6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。

7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。

8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。

9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。

10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。

（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。

（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。

（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。

运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。

二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。

根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。

四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。

如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。

再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。

五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。

无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。

运筹学复习提纲第一章线性规划1、线性规划的三个要素目标函数、决策变量、约束条件一般形式，标准形式（转化）2、求解线性规划的图解法3、线性规划解的可能性唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解(原因)4、单纯形法（必考点）基，基变量，基本解，基本可行解，可行解，最优解，最优基单纯形法解题思路、步骤，最优解的判定定理，单纯形法的管理启示大M法的可能结果图解法。

大M法。

线性规划数学模型的建立？（建模）第二章线性规划讨论1、线性规划灵敏度分析价值系数、资源向量第三章 对偶规划 1、对偶模型 2、对偶性质对称性定理，弱对偶定理，强对偶定理，互补松驰定理 3、影子价值对偶问题的最优解，影子价值的经济含义 （课后习题69页，5）1、 求该问题产值最大的最优解和最优值2、 求出该问题的对偶问题和最优值3、 给出两种资源的影子价格，说明其经济含义：第一只能够资源限量由2 变为4 ，最优解是否改变？4、 代加工产品丁，每单位产品需要消耗第一种资源两单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？ 解：1、先转化成标准型：利用单纯形法求解：123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩1234512341235max 4200832..680;1,2,,5jZ x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩该问题有唯一最优解： 2、利用对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值：第一种资源影子价格为2，表明第一种资源增加1个单位，产值(或利润)增加2个单位，即第一种资源为紧缺资源(x 4 = 0)； 第二种资源影子价格为0，表明第二种资源增加1个单位，产值(或利润)增加0个单位，第二种资源有剩余(x 5 = 6) 。

3、对偶问题数学模型：其对偶模型为：*(0,0,2,0,6)TX =*4Z =*(2,0,12,5,0)Y =*4Z =123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩121212min 2886431W y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪，根据题意：(4)设产品丁的产量为x6第四章整数规划1、整数规划的含义2、整数规划的类型及求解方法3、整数规划问题建模 0-1规划建模4、分枝定界法第五章目标规划1、目标规划问题建模2、目标规划图解法（满意解）问：在材料不能超用的条件下，企业如何安排生产计划？要求尽可能满足下列目标：(1)力求使利润指标不低于80元；(2)考虑到市场需求, 两种产品的产量需保持1:1的比例；(3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；(4)设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少。

2014-2015复习一、名词解释（5道，15分）1.优化2.线性规划生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。

3.可行解:满足约束条件解为可行解。

4.可行域所有可行解的集合为可行域。

5.基:设A为约束条件②的m× n阶系数矩阵(m<n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣ B∣≠0），称B是规划问题的一个基。

6.基本可行解:满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。

7.影子价格在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。

8.灵敏度分析:当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。

可以改变的参数有：bi ——约束右端项的变化，通常称资源的改变；cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变化；pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变化；其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工序等。

9.运输问题10.整数规划要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。

11.0-1规划决策变量只能取值0或1的整数规划。

12.松弛问题13.目标规划目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。

14.偏差变量15.链图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意vi,t-1和vit均相邻称为链。

16.路链中所有顶点不相同，这样的链称为路17.最小生成树如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树（或支撑树）。

树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树（或最小支撑树）。

18.PERT网络图注重于对各项工作安排的评价和审查。

19.关键路线法各弧权重总和最大的路线，或称主要矛盾路线，它决定网络图上所有作业需要的最短时间。

运筹学考研备考要点整理运筹学（Operations Research）是一门应用数学学科，研究如何在面对复杂决策问题时，通过建立数学模型并应用优化技术来优化决策方案。

在运筹学考研备考过程中，有一些重要的要点需要整理和掌握。

本文将对运筹学考研备考要点进行整理，帮助考生提高备考效率和准备水平。

一、线性规划线性规划是运筹学的重要分支，研究目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。

在运筹学考研中，线性规划是最为基础和常见的内容，考生需要掌握以下要点：1. 理解线性规划基本概念：包括目标函数、约束条件、可行解、最优解等概念的定义和意义。

2. 理解线性规划的图像解释：掌握如何将线性规划问题转化为几何空间中的图形，并通过图形分析来求解线性规划问题。

3. 理解线性规划的求解方法：包括单纯形法、对偶理论、内点法等方法，并能够应用这些方法解决线性规划问题。

4. 掌握线性规划的常见变形和应用：如混合整数线性规划、多目标线性规划、灵敏度分析等，并能够应用这些知识解决实际问题。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，研究目标函数和约束条件中的变量只能取整数值的优化问题。

在运筹学考研备考过程中，整数规划是一个重点内容，需要注意以下要点：1. 理解整数规划的基本概念和性质：包括整数规划问题的定义、可行解的定义、整数规划问题的NP难度等。

2. 掌握整数规划的求解方法：包括分支定界法、割平面法、列生成法等方法，并能够应用这些方法解决整数规划问题。

3. 研究整数规划的特殊结构和应用：如0-1整数规划、图论中的整数规划、车辆路径问题等，并能够应用这些知识解决实际问题。

三、动态规划动态规划是一种通过递推和记忆化搜索的方法，解决具有重叠子问题性质的优化问题。

在运筹学考研备考中，动态规划是一个需要重点掌握的内容，需要注意以下要点：1. 理解动态规划的基本思想：包括最优子结构、边界条件、状态转移方程等概念的理解和应用。

2. 掌握动态规划的问题分类和求解方法：包括线性动态规划、区间动态规划、背包问题等，以及基于动态规划的近似算法。

1. 简答题（1） 运筹学的工作步骤提出和形成问题：即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量以及相关的参数，搜集相关资料；建立模型：即把问题中可控变量，参数，目标与约束之间的关系用模型表示出来；求解：用各种手段将模型求解，解可以是最优解，次优解，满意解。

复杂模型的求解需用计算机，解得精度要求可有决策者提出；解的检验：首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题；解的控制：通过控制解的变化过程决定对解是否做一定的改变； 解的实施：是指将解用到实际中必须考虑的实际问题，如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。

（2）退化产生原因及解决办法单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。

勃兰特规则：1.选取cj-zj ＞0中下标最小的非基变量xk 为换入变量，即k=min(j ｜cj-zj ＞0)2. 当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。

（3）对偶问题的经济解释• 这说明yi 是右端项bi 每增加一个单位对目标函数Z 的贡献。

• 对偶变量 yi 在经济上表示原问题第i 种资源的边际价值。

• 对偶变量的值 yi*所表示的第i 种资源的边际价值，称为影子价值。

∑∑=====n j mi i i j j y b x c Z 11ωiiy b Z=∂∂若原问题的价值系数Cj 表示单位产值，则yi 称为影子价格； 若原问题的价值系数Cj 表示单位利润，则yi 称为影子利润。

影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。

（4）分枝定界法步骤a) 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， b) 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP 的最优解； c) 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。

一、线性规划问题约束条件：不超过各工序可用时间非负约束1）0.7x1+x2≤6302) x1,x2≥0图解法：设定Z值然后带入值取各个公式的两个端点描点画图二、单纯形法步骤：标准化目标函数最大约束条件等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e 右端非负Max Z=x1+x2. x1+2x2≤6 ,2x1+x2≤16,x1,x2≥0z−x1−x2=0 x1+2x2+s1=6 ,2x1+x2+s2=16 ,x1,x2,s1,s2 ≥0两组约束四个变量故有2个非基本变量，2个基本变量进入变量与离开变量的确定从非基本变量中找一个进入变量（进入到基本变量中），从基本变量中找一个离开变量（作为非基本变量）在Row 0 中，从左往右选择非基本变量中系数最小的作为进入变量（前面化为单位矩阵，为最优解）大M法：步骤同上，约束等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e+人工变量a（=也是加a）min z=4x1+x2. s.t 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6, x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−4x1−x2−Ma1−Ma2(M=100) s.t 3x1+x2+a1=3 , 4x1+3x2−e2+a2=6, x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2 ≥0M假定为无限大正值1.判断是否为最优解ROW a1 a2 系数化为0. 由于此时ROW 0 非基本变量的系数不全为非负数，因此，并非最优解。

进入变量与离开变量的确定重复以上步骤化为单位矩阵取得最优解。

两阶段法：第一阶段：引入人工变量a1,a2 min z=a1+a2 , max z=−a1−a2 min z=4x1+x2, s.t. 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6 ,x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−a1−a2 s.t.3x1+x2+a1=3,4x1+3x2−e2+a2=6x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2≥0经过前面变换单位矩阵得到最优解的单纯形表第二阶段：min z=4x1+x2→max z=−4x1−x2将第一阶段最后最优解的单纯形表Row 0 替换为z+4x1+x2=0的系数然后重复上述步骤得到最优解。

第一章线性规划问题知识重点：1 ．将给定的线性规划问题化为标准型2 ．能根据简单的实际问题，建立线性规划问题的数学模型，并用单纯形法求解3 ．几个重要结论1 ）若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。

2 ）若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。

3 ）线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点。

4 ）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。

第二章对偶理论与灵敏度分析知识重点：1 ．对于给定的线性规划问题，能写出它的对偶问题2 ．给定原问题（或对偶问题）的最优解，求对偶问题（或原问题）的最优解。

3 ．对偶单纯形法4 ．对偶问题的经济解释，影子价格5 ．几个重要结论1 ）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。

2 ）若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。

3 ）若线性规化的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解。

4 ）当对偶问题无可行解时，其原问题无最优解。

5 ）若线性规划问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定具有无限最优解或有限最优解。

第三章运输问题知识重点：•平衡问题的求解方法————表上作业法•不平衡问题的求解方法：先将其转换为平衡问题，然后用表上作业发求解。

3 ．表上作业法分三个步骤：1 ）确定初始方案————最小元素法2 ）进行最优性检验—————位势法3 ）调整、改进非最优方案——闭回路法4 ．几个重要结论•运输问题是一种特殊的线性规划问题，它一定有最优解•用表上作业法求解运输问题时要求：产、销平衡•当所有产地的产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解也为整数值•表上作业法与单纯形法在求解最优解的问题上没有本质的区别第四章目标规划知识重点：•根据简单的实际问题，建立目标规划模型•目标规划模型的求解方法：图解法，单纯形法•分析目标规划的优先因子变化对原满意解的影响•重要结论线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。

1. 运筹学 诞生于 20 世纪 30 年代。

2. 运筹学是一门研究如何有效地组织和管理人机系统的科学。

3. 对管理领域，运筹学也是对管理决策工作进行决策的计量方法。

4. 运筹学为管理人员制动决策提供了定量基础。

5. 运筹学利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型。

6. 在当今信息时代，运筹学和计算机方法的分界线将会消失，并将脱离各自原来的领域，组合成更通用更 广泛的管理科学的形式。

7. 决策方法的分类 ：定性决策 ：基本上根据决策人员的 主观经验或感受到的感觉或知识 而制定的决策。

定量决策 ：借助某些正规的计量方法而做出的决策。

混合性决策 ：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策。

8. 作为运筹应用者，接受管理部门的要求，去收集和阐明数据，建立和试验数学模型，预言未来作业，然 后制定方然，并推荐给经理部门。

9. 运筹学 ： Operations Research,简称 OR ，是一门研究如何有效地组织和管理人及系统的科学。

运筹学利用 计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成 数学模型 ，其目的就是通过 定量分析 为决策和揭露 新问题提供数量根据 10. 应用运筹学进行决策过程的几个步骤1、观察待决策问题所处的环境问题域的环境有 内部环境和外部环境内部环境 ：问题域内部人、财、物之间的交互活动。

外部环境 ：问题域界面与外界的人、财、物之间的交互活动。

注意两者的区别。

2、分析和定义待决策的问题3、拟定模型： 这个工作是 OR 项目中最费时的部分4、选择输入资料5、提出解并验证它的合理性敏感度实验 ：一旦有了模型的解答， 就要试图改变模型及输入， 并注视将要发生什么样的输出， 一般把这样的过程叫做敏感度实验。

6、实施最优解1. 预测就是对未来的不确定的事情惊醒估计或判断。

预测是决策的基础 。

2. 预测方法的分类。

宏观经济是指国民经济范围的经济预测。

微观经济预测经济预测 3—5 年的为长期，1—3年的为中期，年内的为短期。