24山东建筑大学复变函数期末考试复习题 函授期末考试试卷及参考答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

复变函数论期末考试试题-A 卷答案一、 选择题每小题4分,共20分⒈ 21|z |<z >且Im 表示的轨迹为 BA 、有界闭区域B 、有界开区域C 、无界开区域D 、无界闭区域 ⒉ 右半平面Re z ＞0 在映射 ω＝i z +i 下的象为 DA 、ωIm ＞0B 、ωRe ＞0C 、ωRe ＞1D 、ωIm ＞1 ⒊ )43(i Ln +-= CA 、)34(5ln arctg i -+πB 、)342(5ln arctg k i -+πC 、)342(5ln arctg k i -++ππD 、)342(5ln arctg k i +++ππ ⒋()=f z DA 、1,2,=∞zB 、0,1,2=zC 、0,1,2,=z ∞D 、0,=z ∞ ⒌ 0z = 0 为函数 21cos ()z f z z -=的 A A 、可去奇点 B 、本性奇点 C 、一阶极点 D 、二阶极点二、填空题每小题4分,共36分⒈设ω=则()i ω-=⒉ 设 ⎰=-++=32173)(z z z f ξξξξd ,则 )1('i f +＝)136(2i +-π 3. ⎰=+1)2ln(z z dz = 0 4. ⎰=++2234sin z z z z πdz = 0 5. 10⎰423z =3(2)()z dz z +z -2= 2i π 6.将函数21()(2)f z z =+展成1z -的幂级数,则其收敛圆为|1|3z -<.7.||z e 在闭圆|1|1z -≤上的最大值为 2e8. 级数 ∑∞=+12)1sin(n n n n i ＿＿＿绝对收敛发散,收敛,绝对收敛 9. 函数 2()f z z = 在z i = 处的伸缩率为＿2＿ 三、8分求函数221()(4)z f z z z -=+的所有奇点,并确定它们的类型；如果是孤立奇点,计算其留数 四、7分 将函数 ()12nn z f z =+z在环域 r ＜z ＜∞r ＞1 内展成Laurent 级数,并由此计算积分3=⎰d 12nn z z z +z ; 解:在环域(1)r z <<<∞内,由于1z >,从而11z<,因此 当n=1时, 33(6')π==⎰⎰d d 112n2n z z z z z =z =2i --------+z +z 五、8分计算积分 0()()+∞⎰cos d 1922x x x +x + ; 解: 由于22cos ()(1)(9)x f x x x =++ 为偶函数, 因此22220cos 1cos (1)(9)2(1)(9)xdx xdx x x x x +∞+∞-∞=++++⎰⎰-----------1 ()()+∞-∞⎰cos d 1922x x x +x + 为()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +的实部,-------2 22()(1)(9)ize f z z z =++ 在上半平面有两个一级极点z i =和3z i = --------3且 1Re [(),]16e s f z i i -=,---5 3Re [(),3]48e s f z i i--=--7利用留数定理在实积分中的应用定理有 ()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +=1322312Re [(),]2()(31)164824i i e e i s f z z i e i i e πππ--==-=-∑-----------------------9 从而 0()()+∞⎰cos d 1922x x x +x +=23(31)48e eπ- ----------10 六、7分验证函数22),(y xy x y x u -+= 为调和函数,并求),(y x v ,使iv u z f +=)( 为解析函数,且 i i f +-=1)(;⑴证明:2,22222-=∂∂=∂∂yu x u 02222=∂∂+∂∂∴y u x u 即),(y x u 为调和函数.--------------3’⑵ 解: y x u y x u y x 2,2-=+=----------------6’ 由i i f +-=1)(, 可得21=c ----------------7’ 212)(22++=∴z i z z f ----------------8’ 七、7分设 )(z f 在区域D 内解析,且)(z f 在D 内为常数,证明)(z f 在D 内为常数;证明:设),(),()(y x iv y x u z f +=即 222C v u =+上式两边分别对x,y 求导,有022,022=+=+y y x x vv uu vv uu ①)(z f 在D 内解析,又有x y y x v u v u -==, ②由①② 解得 0,0====y x y x v v u u故 ),(),,(y x v y x u 为常数,分别记为 21,c v c u ==所以,21)(ic c iv u z f +=+=为一复常数.八、7分 试证：当 |a |>e 时,方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根;证明：在单位圆周=||1z 上,有>||||>=|n z Rez z |-az =|a e =ee |e ----------4 而函数z e 和-n az 均在单位闭圆≤1|z |上解析,故由儒歇定理 即方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根; ---------7。

1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz

一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。