2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业4

课时作业(四十五)1．如图是2013年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案 B解析 观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.3．因为对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)是增函数， 而y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数，上面的推理错误的是( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．以上都是答案 A解析 y ＝log a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A. 4．(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.5．(2013·衡水调研卷)已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111 D ．(13)112答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 013(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x 1－x答案 D解析 计算：f 2(x )＝f (1＋x1－x)＝1＋1＋x1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x1－x ，k ∈N *，从而f 2 013(x )＝1＋x 1－x. 7．某纺织厂的一个车间技术工人m 名(m ∈N *)，编号分别为1,2,3，…，m ，有n 台(n ∈N *)织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，定义记号a ij ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定a ij ＝1，否则a ij ＝0，则等式a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3的实际意义是( )A ．第4名工人操作了3台织布机B ．第4名工人操作了n 台织布机C ．第3名工人操作了4台织布机D ．第3名工人操作了n 台织布机 答案 A解析 a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n 表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n 号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．8．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…， 类比有x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝ ( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .9．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点； 命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点； 命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点； ……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为________． 答案 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点解析 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点，观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x .10．(2011·陕西理)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.11．(2013·九江市联考)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 用类比的方法对y 22＝x 2－1两边同时对x 求导得，yy ′＝2x ，∴y ′＝2x 0y0＝2×22＝2.∴切线方程为y －2＝2(x －2)，∴2x －y －2＝0.12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案 28解析 设第n 个图中小正方形个数为a n ，则a 1＝3，a 2＝a 1＋3＝6，a 3＝a 2＋4＝10，a 4＝a 3＋5＝15，a 5＝a 4＋6＝21，a 6＝a 5＋7＝28.答案 a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．14．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________________________________；②式可用语言叙述为_____________________________________________． 答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数15．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0.(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为________．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1(2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－…＋(－1)n C n n a n ＋1＝0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列．答案 T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n }中前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．17．已知函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )，其中a >0，且a ≠1. (1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解析 (1)由已知得f ′(x )＝a ln aa 2－1(a x ＋a－x )>0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)f (2)－2>f (1)－1，f (3)－3>f (2)－2.一般的结论为：f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *)． 证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )>1⇔a 2n ＋1＋1a n ＋1＋an>1⇔(a n ＋1－1)(a n－1)>0，在a>0且a≠1的条件下，(a n＋1－1)(a n－1)>0显然成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立．1．自然数按下列的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为() A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.2．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：则x、y可能满足的一个关系式为________．答案y(108－x)＝2解析将11、12、13、14、15对应的函数值分别写成297、296、295、294、293，观察可得以上函数值的分母依次成等差数列，设所成的等差数列为{a n}，易知分母a n＝a11＋(n－11)·(－1)＝97－n＋11＝108－n，因此y＝2 108－x，即y(108－x)＝2.3.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签2 0132的格点的坐标为________．答案(1 007,1 006)解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1 007,1 006)处标2 0132.4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧35，33＝⎩⎨⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，……仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为________．答案8解析依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n个正整数的立方共用去数列{2n－1}中的项数是n(n＋1)2－1，数列{2n－1}(n∈N)*中的第n(n＋1)2项是n(n＋1)－1.注意到7×8－1<59<8×9－1，因此m＝8.5．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7＋9＋11，我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若n3的一个“数因子”为2 013，则n＝________.13＝123＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19……答案45解析由图可知，n3可表示为n个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个，因为2 013＝2×1 006＋1，故2 013是第1 007个奇数．而44×452＝990<1 007，45×462＝1 035>1 007，所以443的最大“数因子”是第990个奇数，453的最大“数因子”是第1 035个奇数，故第1 007个奇数2 013应是453的一个“数因子”．6．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．答案 R 2tan α2解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2. 7．(2013·哈师大附中)Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体P -ABC (即P A ⊥PB 、PB ⊥PC ，PC ⊥P A )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△P AB 、△PBC 、△PCA 的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1，S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体P -ABC 中可得到正确结论________．(写出一个正确结论即可)答案 S 21＝S 1′S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)解析 空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形；面↔边；体积↔面积；二面角↔平面角；面积↔线段长，……由此，可类比得S 21＝S ′1S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)．8．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.答案 (－1)n ＋1n 2＋n 2解析 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2.9．设数列{a n }是以d 为公差的等差数列，数列{b n }是以q 为公比的等比数列．将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．答案 B n ＝b 1×(q )n －1解析 注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以B n ＝b 1×(q )n －1.10．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.答案 11解析 由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)．由m2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p＝5.故m＋p＝11.。

【与名师对话】2014年高考数学总复习 几何证明选讲配套课时作业 理 新人教A 版选修4-1一、选择题1．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD等于 ( )A.45B.49C.59D.410解析：在AD 上取点G ，使AG ：GD ＝1：4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. 答案：A2．如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A．3 B.15C．3 2 D．3 5解析：由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.答案：D3．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( )A．105°B．115°C．120°D．125°解析：∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又∠ADB＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.答案：B4．如图所示，已知圆O的直径AB＝6，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O 的切线交AC延长线于点D，则DA等于( )A．1 B．2C. 6 D．3解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°又AB＝6，BC＝2，得AC＝2.BD是圆O的切线，则AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.故选D.答案：D5．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC＝23，若∠CAP＝30°，则⊙O的直径AB等于 ( )A．2 B．4C．6 D．2 3解析：连接OC，则由PC是切线知OC⊥PC.由∠CAP＝30°，知∠COP＝60°，故∠CPA＝30°.因为PC＝23，故PO＝4.设半径为r，则PB＝4－r，PA＝4＋r.由PC2＝PA·PB知12＝16－r2，∴r＝2，∴AB＝4.故选B.答案：B二、填空题6．(2012年广东)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：连接OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝ 3.答案： 37．(2012年湖南)如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________．解析：如图，取AB的中点C，连接OB、OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝OP2－CP2＝ 5.∴圆O的半径为OB＝OC2＋CB2＝ 6.答案： 68．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．解析：如图，作圆O 的切线PT ，令PB ＝t ，PA ＝2t ，PC ＝x ，PD ＝3x ，由切割线定理得：PB ·PA ＝PT 2，PC ·PD ＝PT 2，即2t 2＝3x 2，∴t 2x 2＝32，t x ＝62.又易知△PBC ∽△PDA ，∴BC AD ＝PB PD ＝t 3x ＝66. 答案：669．(2012年湖北)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为______．解析：延长CD 交⊙O 于点E ， ∵OD ⊥CE ，∴CD ＝DE .由相交弦定理得CD 2＝AD ·BD ≤⎝⎛⎭⎪⎫AD ＋BD 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4，∴CD ≤2，当且仅当AD ＝BD 时，CD 取最大值2.答案：2 三、解答题10．(2013年宁夏银川月考)在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ～△DBA ，∴PC AB ＝PD BD又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD(2)∵∠ACD ＝∠APC ，∠CAP ＝∠CAP ，∴△APC ～△ACD ∴AP AC ＝AC AD， ∴AC 2＝AP ·AD ＝911．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ， 故△ABE ∽△ADC . (2)因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ，又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.12．(2012年哈三中高三月考)如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AD ·AE 的值．解：连接CE ，∵PA 2＝PB ·PC ，PA ＝10，PB ＝5， ∴PC ＝20，BC ＝15.∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACP ，∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PB PA ＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.可解得AC ＝65，AB ＝3 5.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠EAB ， 又∵∠ABC ＝∠E ，∴△ACE ∽△ADB ， ∴AB AE ＝AD ACAD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.[热点预测]13．如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．(1)求证：DE2＝DB·DA；(2)若BE＝1，DE＝2AE，求DF的长．解：(1)证明：连接OF，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF.∵DF是⊙O的切线，∴DF2＝DB·DA，∴DE2＝DB·DA.(2)设AE＝x，则DE＝2x，DF＝2x. ∵DF2＝DB·DA，∴(2x)2＝3x(2x－1)，解得2x＝3，∴DF的长为3.。

课时作业(三十九)1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7. 又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 27＝16，故选D.2．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 则有a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，q ＝1±2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.选C.3．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9，又因为公差为－2，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，通项公式为a n ＝20＋(n －1)(－2)＝22－2n ，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(20＋2)＝110，故选择D.4．(2013·江苏常州)已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[24,36]B ．[27,33]C ．{a |27≤a ≤33，a ∈N *}D ．{a |24≤a ≤36，a ∈N *}答案 A解析 当a 6为a n 的最小值时，由题意得a 5≥a 6且a 7≥a 6，∴解得24≤a ≤30； 当a 7为a n 的最小值时，由题意，a 6≥a 7且a 8≥a 7，解得30≤a ≤36，∴24≤a ≤36.5．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.6．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________. 答案 2n －1 10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1、4，第3次生成的数为1、2，－4、7，第4次生成的数为－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T 4＝10.7．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________．答案 12或1解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 23＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得(a 1＋4d )d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d .当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1、a 3、a 4分别为－4d 、－2d 、－d ，所以等比数列{b n }的公比为12.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．答案 13解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0.∴q ＝13.9．(2012·海淀区)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．答案 10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.10．等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1)，且a 1＝b 1，a 4＝b 4，a 10＝b 10.(1)求实数a 1和d 的值．(2)b 16是不是{a n }中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 答案 (1)a 1＝32，d ＝－32 (2)b 16为{a n }中的第34项解析 (1)依题意知a n ＝a 1＋(n －1)d ， b n ＝b 1·q n －1＝a 1·d n －1.由⎩⎨⎧ a 4＝b 4，a 10＝b 10，得⎩⎨⎧a 1＋3d ＝a 1d 3，a 1＋9d ＝a 1d 9.即3d ＝a 1(d 3－1)，9d ＝a 1(d 9－1)， 以上两式相除并整理得d 6＋d 3－2＝0. 解得d 3＝1，或d 3＝－2.∵d ≠1，∴d 3＝－2，d ＝－32，代入原方程解得a 1＝32. 故a 1＝32，d ＝－32.(2)由(1)得，数列{a n }，{b n }的通项分别为 a n ＝(2－n )32，b n ＝－(－32)n . 故b 16＝－(－32)16＝－3232. 由(2－n )32＝－3232，解得n ＝34. 故b 16为{a n }中的第34项．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3(a ∈R )，若数列{a n }是递增数列，求λ的取值范围． 答案 (1)a n ＝3n ，b n ＝3n －1 (2)λ<3 解析 (1)由已知可得⎩⎨⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2， ∴q 2＋q －12＝0.解得q ＝3或q ＝－4(舍)． 从而a 2＝6. ∴a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n ，由数列{c n }是递增数列可得： c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *恒成立， 即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n 恒成立， 亦即λ·2n <2·3n 恒成立， 即λ<2·(32)n 恒成立． 由于函数y ＝(32)n 是增函数， ∴[2·(32)n ]min ＝2·32＝3，∴λ<3.12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，那么每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取 1.15＝1.6)解析 (1)第1年末的住房面积a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积(a ·1110－b )·1110－b ＝a ·(1110)2－b (1＋1110)＝1.21a －2.1b (m 2)．(2)第3年末的住房面积[a ·(1110)2－b (1＋1110)]1110－b ＝a ·(1110)3－b [1＋1110＋(1110)2]， 第4年末住房面积为a ·(1110)4－b [1＋1110＋(1110)2＋(1110)3]，第5年末住房面积为a ·(1110)5－b [1＋1110＋(1110)2＋(1110)3＋(1110)4]＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b .依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a20. 所以每年拆除的旧房面积为a20(m 2)．13．(2012·福建)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8.{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得 S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.14．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，所以a n ＝4n －1，n ∈N *. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， 所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1. 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n .所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5. 故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *.1．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．答案33解析 设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33.2．(2011·陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．答案 2 000解析 当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了320米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．3．在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S m ，若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m ＋S 2n <2S m ＋n (m ≠n )恒成立，且2S 6>S 3.(1)设{a n }为等差数列，且公差为d ，求a 1d 的取值范围；(2)设{a n }为等比数列，且公比为q (q >0且q ≠1)，求a 1－q 的取值范围. 解析 (1)∵S 2m ＋S 2n <2S m ＋n ， ∴2ma 1＋2m (2m －1)2d ＋2na 1＋2n (2n －1)2d <2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ]．∴(m －n )2d <0，∴d <0.又2S 6>S 3，∴2(6a 1＋6×52d )>3a 1＋3×22d . ∴9a 1＋27d >0，∴a 1d <－3. (2)∵S 2m ＋S 2n <2S m ＋n ， ∴a 11－q (1－q 2m )＋a 11－q (1－q 2n )<2a 11－q (1－q m ＋n )． ∴a 11－q(－q 2m －q 2n ＋2q m ＋n )<0. ∴－a 11－q (q m －q n )2<0，∴a 11－q>0.又2S 6>S 3，∴2·a 11－q (1－q 6)>a 11－q (1－q 3)．∴2q 6－q 3－1<0，∴－12<q 3<1. 又∵q >0，∴0<q <1. 又∵a 11－q>0，∴a 1>0，∴a 1－q >－1. 4．(2011·陕西理)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.解析 (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x ，得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)．由y ＝0，得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)． 所以|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是 S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 5．某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？ 答案 (1)1 458 (2)2011年底解析 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }， 其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 依据题意，得S n 10 000＋S n>13.于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)．即1.5n >65732，则有n >lg 65732lg1.5≈7.5，因此n ≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.。

一、选择题1．(湖北省襄阳市2012年3月高三调研)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23解析：由题意知：－2(λ＋2)＝2λ，解得λ＝－1，故选C. 答案：C2．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( ) A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2 解析：若a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )， 当a 与b 共线时，mq －np ＝0， 即a ⊙b ＝0，故A 正确；又a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ， 显然a ⊙b ≠b ⊙a .故选B. 答案：B3．与向量a ＝(12，5)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 解析：设e 为所求的单位向量，则 e ＝±a |a |＝±⎝⎛⎭⎫1213，513.故应选C.4．(2011山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1， A 2.已知点C (c ，0)，D (d ，0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0，0)，B (1，0)，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0＜λ＜1，0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ＞1，AD →＝μAB →时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上． 答案：D5．在四边形ABCD 所在的平面内，a ＝(－3，2)，b ＝(2，3)．若AB →＝2a ＋b ，BC →＝2a －4b ，CD→＝－3a ＋b ，则四边形ABCD 必是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a －2b ，∵BC ＝2AD ，∴BC ∥AD 且|BC →|＝2|AD →|， AB →＝2a ＋b ＝(－4，7)， BC →＝2a －4b ＝(－14，－8)，∴AB →·BC →＝0， ∴AB ⊥BC ，故四边形ABCD 为直角梯形． 答案：C 二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．解析：a ＋b ＝(1，m －1)， ∵(a ＋b )∥c ，又c ＝(－1，2)， ∴1×2－(－1)×(m －1)＝0，得m ＝－1. 答案：－17．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC ＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由AB →＝DC →＝(1，1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝2，又BA→|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD →|BD →|，我们知道BA→|BA →|是长度为1，方向与BA →相同的单位向量，用向量的平行四边形法则画图，在画成的三角形中，有两边长度为1，另一边为3，再由余弦定理有cos C ＝12＋12－（3）22×1×1＝－12，∴C ＝120°，∴D ＝60°，可得四边形ABCD 是菱形，所以求得四边形ABCD 的面积为：2×2×32＝ 3. 答案： 38．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1，0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cosα＋3sin α＝2sin (α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：29．在△OAB 中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP →＝mOA →＋nOB→(m ，n ∈R)，则n －m ＝____．解析：AP →＝OP →－OA →＝23ON →－OA →＝23[12(OA →＋OB →)]－OA →＝－23OA →＋13OB →，所以m ＝－23，n＝13，故n －m ＝1. 答案：1 三、解答题10．已知OP →＝(cos θ，sin θ)，OQ →＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求|PQ →|的取值范围及|PQ →|取最大值时θ的值．解析：∵PQ →＝OQ →－OP →＝(1＋sin θ，1＋cos θ)－(cos θ，sin θ) ＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)．∴|PQ →|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2＝[1＋2(sin θ－cos θ)＋ (sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2 θ)]＋[1－2(sin θ－cos θ)＋(sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ)] ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π， ∴－1≤sin 2θ≤1， ∴|PQ →|∈[2，6]．∴当sin 2θ＝－1，即θ＝34π时，|PQ →|取得最大值 6.11．如图，O ，A ，B 三点不共线，OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，AD 与BC 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2xa ＋(1－x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得， OE →＝ya ＋3(1－y )b ，②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，MN →＝ON →－OM →＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10，∴MN →＝6ML →， ∴MN →与ML →共线， 又∵有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．12．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a＋3b ，c )，m ∥n . (1)求cos A 的值； (2)求sin(A ＋30°)的值．解析：(1)因为m ∥n ，所以(3c －b )c －(a －b )·(3a ＋3b )＝0，即a 2＝b 2＋c 2－13bc ，又∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴cos A ＝16.(2)由cos A ＝16得sin A ＝356，sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512.。

课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是 ( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9.3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 ( )答案 D解析 根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13答案 C解析 由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为 ( )A.32B.33C.312D.324答案 D解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324.8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( )答案 A解析由作法规则可知O′A′＝2，在原图形中OA＝22，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()答案 C解析选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析 正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案 22解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案 ①③④⑤解析 由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析 如图所示，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′，则OO ′＝12P A ＝ 6.又∵AC ＝(23)2＋(23)2＝26，P A ＝26，∴PC ＝(26)2＋(26)2＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3.又∵AB ＝23，∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ，∴∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB.∴∠BAC＋∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，故③错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN＝QP＝12AC，NP＝MQ＝12BD.∵BD＝AC，∴MN＝QP＝MQ＝NP.∴四边形MNPQ为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD 可作为△ABC的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．①②B．①③C ．②③D ．①④答案 C 6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是 ( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 ( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析 因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64；(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋(82)2＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋(62)2＝5，因此S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－(23×32×23)2＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

课时作业(六十四)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)答案 C解析 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－63答案 B解析 kx 2－ky 28＝1，焦点在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1.3．已知平面内有一条线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 以AB 中点为原点，中垂线为y 轴建立直角坐标系，P 点的轨迹为双曲线c ＝2，a ＝1.5，∴|OP |min ＝a ＝1.5.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．bC.abD.a 2＋b 2答案 B解析 圆的半径即为双曲线C 的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以r ＝|bc |a 2＋b2＝b .5．(2013·济南模拟)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D.6．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A.52B.32C.355D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±yb ＝0，焦点A (c,0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝53c ，则 c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B.7．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 29－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1答案 A解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→. ∵||MF 1→|－|MF 2→||＝2a ，∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝40. ∴|MF 1→|·|MF 2→|＝20－2a 2＝2，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴所求双曲线的方程为x 29－y 2＝1.8．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 直角三角形斜边为c ， 斜边上的高为ab c ＝34c,4ab ＝3c 2. 结合0<a <b 得a b ＝13.∴e ＝2.9．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45答案 C解析 因为c 2＝2＋2＝4，所以c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34，故选C.10．(2013·潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56答案 C 解析如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6， 由双曲线定义，可得|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.11．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2解析 由题意得m >0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5，得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.12．(2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．解析 方法一 ①当焦点在x 轴上时， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎨⎧b a ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8.∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎨⎧a b ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6.∴双曲线的方程为y 264－x 236＝1.综上，双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1. 方法二 设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ(λ≠0)， 从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576. ∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1.14.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23， ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y22＝1.15．(2012·辽宁)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解析(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.由x209＋y2＝1，得y20＝1－x209，从而x20y20＝x20(1－x209)＝－19(x2－92)2＋94.当x20＝92，y2＝12时，S max＝6.从而t＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝y0x0＋3 (x＋3)，①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．1．(《高考调研》原创题)如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD .若以A 、B 为焦点的双曲线过C 、D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的离心率为________．答案 1＋ 3解析 设圆的半径是R ，∠DAB ＝θ(θ∈(0，π2))，连接BD ，则|AD |＝2R cos θ，|BD |＝2R sin θ，梯形ABCD 的周长等于2R ＋2×2R cos θ＋(2R －2×2R cos θ·cos θ)＝4R ＋4R cos θ·(1－cos θ)≤4R ＋4R ·[cos θ＋(1－cos θ)2]2＝5R .当且仅当cos θ＝1－cos θ，即cos θ＝12，θ＝π3时取“＝”，此时梯形ABCD 的周长最大，该双曲线的离心率等于|AB |||DA |－|DB ||＝2R|2R cos θ－2R sin θ|＝1|cos θ－sin θ|＝23－1＝1＋ 3.2．(2013·浙江调研)若点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．答案10解析依题意得，点F1(－5,0)、F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10.3．设点P到点M(－1,0)、N(1,0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．解析依题意，则|m|≥1时，显然不满足条件．∴|m|∈[0,1)．不妨设m∈(0,1)，则P点的轨迹方程为x2m2－y21－m2＝1(x>0)．依题意存在点(k,2k)在双曲线上，k2(1－m2)－4k2m2＝m2(1－m2)．－5m2k2＋k2－m2(1－m2)＝0为关于k的一元二次方程有实根．∴Δ>0⇒m∈(0，5 5)．同理，m∈(－1,0)时，m∈(－55，0)．∴综上，m∈(－55，0)∪(0，55)．。

课时作业(九)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2；－342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 2．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－x C ．y ＝ (12)x－1D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝(13)x 的值域是正实数， ∴y ＝(13)1－x 的值域是正实数．3．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A ．(－∞，－12)∪(0，12] B ．[－12，0)∪(0，12] C ．[－12，12]D ．[－12，0)∪[12，＋∞) 答案 B解析 ①当a >1时，a 2≤2⇒1<a ≤2；②当0<a <1时，a －2≤2⇒22≤a <1，则g (a )＝log 2a 的值域为g (a )∈[－12，0)∪(0，12]，故选B.4．函数y ＝0.3|x |(x ∈R )的值域是( )A ．R ＋B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}答案 D解析 y ＝0.3|x |∈(0,1]，故选D.5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.6．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是 ( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x ∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．7．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1<x －2<0,1<(12)x －2<2. 8．若函数f (x )＝(a ＋1e x －1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于 ( )A ．－1B ．1C ．－12 D.12答案 D9．函数y ＝的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2013·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1.12．函数y ＝a x －2 009＋2 010(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________． 答案 (2 009,2 011)13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 －2解析 ∵⎩⎨⎧ a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4.∴a ＋b ＝－2.答案解析 由y ＝2x 是增函数，∴；由是增函数，∴，即有.15．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析f (1)＝a 2＝19，a ＝13，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)2x －4， x ≥2，(13)4－2x，x <2.∴单调递减区间为[2，＋∞)．16．已知实数a 、b 满足等式(12)a ＝(13)b，下列五个关系式①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，哪些不可能成立？ 答案 ③④解析 在同一坐标系内，作出函数y ＝(12)x 和y ＝(13)x 的图像(如图)如图：a >b >0时，(12)a ＝(13)b 可能成立． a <b <0时，(12)a ＝(13)b 可能成立．a ＝b ＝0时，(12)a ＝(13)b 显然成立． 0<a <b 时，显然(12)a >(13)b . b <a <0时，显然(12)a <(13)b .综上可知：①②⑤可能成立，③④不可能成立．17．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x ∈[1a ，a ]，即t ∈[1a ，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a )．∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时，t ∈[a ，1a ]．∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上是增函数， ∴y max ＝(1a ＋1)2－2＝14.∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13. 综上，a ＝3或a ＝13. 18．已知函数f (x )＝－2x2x ＋1.(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； (2)若x ∈[1,2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝a2＋f (x )，且当x ∈[1,2]时g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝∴f (x 1)－f (x 2)>0即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为[－45，－23]．(3)当x ∈[1,2]时，g (x )∈[a 2－45，a 2－23]． ∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立， ∴a 2－45≥0，∴a ≥85. 19．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．答案(1)奇函数(2)在R上是增函数(3)(－∞，－1] 解析(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x 为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0.y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.故b的取值范围是(－∞，－1]．1．函数y＝4－2x的定义域是() A．(0,2]B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)答案 B解析由4－2x≥0，得x≤2.2．(2010·重庆)函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C3．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－|x |＋1，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可． 5．若0<a <1,0<b <1，且<1，则x 的取值范围是________．答案 (3,4)解析 log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.6．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 答案 m ≤－27．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝______.答案2解析 由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2. ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)．∴所求为f (12)＋f (1)＝－1＋1＝ 2.8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．答案 m ＜n 解析 ∵0＜5－12＜1，∴指数函数f (x )＝a x在定义域内为减函数，又由f (m )＞f (n )，∴结合图像得m ＜n .9．对于函数f (x )＝a －22x＋1(a ∈R )，是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由．解析 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∵a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， ∴2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x 1＋2x ＝2(1＋2x)2x ＋1＝2.∴a ＝1.10．函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解析 由题意可知，x ≤1时，1＋2x ＋4x a3>0，即1＋2x ＋4x a >0.∴a >－[(14)x ＋(12)x ]在x ∈(－∞，1]上恒成立． ∵(14)x 、(12)x 均为减函数， ∴－[(14)x ＋(12)x ]为增函数． ∴当x ≤1时，－[(14)x ＋(12)x ]≤－34. ∴a 的取值范围为(－34，＋∞)．11．(2011·上海理)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。

课时作业(二十)1．下列命题为真命题的是()A．角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角B．若sinα＝sin π7，则α＝π7C．－300°角与60°角的终边相同D．若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B答案 C2．与－463°终边相同的角的集合是() A．{α|α＝k·360°＋463°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋103°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋257°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－257°，k∈Z}答案 C解析显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°，故选C.3．若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a的值为() A．43B．－4 3C．±4 3 D. 3答案 B解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a－4，∴a＝－4 3.4．sin 2·cos 3·tan 4的值() A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．2sin1C.2sin1D．sin2答案 C解析∵2R sin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1，故选C.6．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案 B解析∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.7．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4 B.3π4C.5π4 D.7π4答案 D解析由sin 3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.8．(2013·临沂模拟)若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B>90°，即A>90°－B.∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，cos A<cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0.∴点P在第二象限．故选B.9．下列三角函数值结果为正的是() A．cos100°B．sin700°C．tan(－2π3) D．sin(－9π4)答案 C解析100°为第二象限角，cos100°<0；700°＝2×360°－20°，为第四象限角，∴sin700°<0；－2π3为第三象限角，tan(－2π3)>0；－9π4＝－2π－π4为第四象限角．∴sin(－9π4)<0.10．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)．∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.11．给出四个命题①若α∈(0，π2)，则sinα<α；②若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1；③若α、β为第一象限角且α>β，则sinα>sinβ；④cos2>0.以上命题为真命题的有________．答案①②12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案25π，910π，75π，1910π解析由已知θ＝2kπ＋8π5(k∈Z)．∴θ4＝kπ2＋2π5(k∈Z)．由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k≤165.∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.13．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．答案－43或－43 3解析方法一依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.方法二∵sinα·cosα＝34>0，∴sinα·cosα同号．∴角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴a<0.根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34，解得a＝－43或a＝－43 3.14．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|，∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z.又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2，∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2.故θ2为第三象限角．15．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．16．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析设内切圆的半径为r，扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝(1＋23)r.∴S扇形S圆＝12·2π3R2πr2＝13(Rr)2＝13(1＋23)2＝7＋439.17．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }． 若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }． ∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z } ＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}． ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.18．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13. 故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知θ是第一象限的角，且|sin θ2|＝－sin θ2，则θ2是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 θ是第一象限的角，∴2k π<θ <π2＋2k π(k ∈Z )． ∴k π<θ2<π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第一象限的角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， π＋2n π<θ2<5π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第三象限的角； 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2≤0. 在θ2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足sin θ2≤0.故选C. 2．已知－360°≤β＜0°且β与α＝70°的终边关于直线y ＝x 对称，则β＝________.答案 －340°3．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________. 答案3解析 ∵cos θ＝－12<0，tan θ<0， ∴θ为第二象限角，则y >0. ∴由－11＋y 2＝－12，得y ＝ 3. 4．表盘上零点时，时针与分针重合，再次重合时时针和分针各转过了多少弧度？答案 分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度 解析 设经过t 小时两针再重合，∵分针每小时转－2π弧度，时针每小时转－π6弧度， ∴－π6t －2π＝－2πt ，解得t ＝1211.∴分针转过了－24π11弧度，时针转过了－2π11弧度．5．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，试判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值． 解析 依题意，P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2， ∴sin α＝y r ＝y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝736．点P 为圆x 2＋y 2＝4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P ′，当转过的弧长为2π3时，求点P ′的坐标．答案 P ′(1，－3)解析 点P 所转过的角POP ′的弧度数为α＝－2π32＝－π3.又|OP ′|＝2， ∴点P ′的横坐标x ＝2· cos(－π3)＝1，纵坐标y ＝2·sin(－π3)＝－3，∴P ′(1，－3)．7．(1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限． (2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是什么？思路 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解析 (1)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0.所以θ为第二象限角． (2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0.sin c osθcos s in2θ<0.∴sin c osθcos s in2θ的符号是负号．∴。

【金版新学案】2014-2015学年高二数学课时作业4（含解析）新人教A版选修2-3一、选择题(每小题5分，共20分)1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A26种排法，所以共有A55·A26＝3 600种排法．答案： B2．(2014·襄阳市普通高中调研高二测试)某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面以及楼的外墙，现有编号为1～6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果种数为( )A．65 B．50C．350 D．300解析：办公室可选用的花色有A15种，其余三个地方的装饰花色有A35种，所以不同的装饰效果种数为A15·A35＝300(种)，故选D.答案： D3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( )A．720 B．144C．576 D．324解析：6个人的全排列数是A66，而甲、乙、丙三人都站在一起的排法是A44A33，故甲、乙、丙不能都站在一起的排法种数是A66－A44A33＝576.故选C.答案： C4．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位上的数字小于十位上的数字的只有( )A．210个B．300个C．464个D．600个解析：没有重复数字的五位数有5×A45＝600(个)，个位上的数字小于十位上的数字的有6002＝300(个)．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种．解析： 课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 答案： 4326．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．解析： 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A 22种放法；第二步，油画内部排列，有A 44种；第三步，国画内部排列，有A 55种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有A 22·A 55·A 44＝5 760(种)．答案： 5 760三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2014·玉溪一中期中)某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有多少种？解析： 首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A 39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A 33＝18种，下午连排3节的有2A 33＝12种，则这位教师一天的课的所有排法有504－18－12＝474种．8．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？ (2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解析： (1)方法一：7人的所有排列方法有A 77种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A 77A 33＝840(种)．方法二(填空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A 47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 77＝2 520(种)．(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A 15种方法．第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A 55种方法． 第三步：甲、乙及中间1人的排列为A 22. 根据乘法原理得A 15×A 22×A 55＝1 200(种)， 故有1 200种排法．(4)第一步安排甲，有A 13种排法；第二步安排乙，有A 14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A 55种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A 13·A 14·A 55＝1 440种．(10分)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ 解析： (1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)： ∵a ≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种， ∴共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)：a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294个不同的二次函数．方法三(间接法)：共可构成A 38个函数，其中a ＝0时有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294个不同的二次函数．(2)直接法：依题意b ＝0，所以共有A 27＝42个符合条件的二次函数.。

课时作业(4)1．(2013·沧州七校联考)下列函数中，不具有奇偶性的函数是()A．y＝e x－e－x B．y＝lg 1＋x 1－xC．y＝cos2x D．y＝sin x＋cos x答案 D2．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为() A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝e x－e－x2，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R答案 B解析由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数，所以选择B.3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于() A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)答案 B解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．4．已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于()A.12B．1C.32D．2答案 C解析令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，即f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴f(1)＝1 2.∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.5．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是() A．1 B．4C．3 D．2答案 B解析由f(2)＝0，得f(5)＝0，∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．讲评本题的易错点是，易忽略条件f(x)是偶函数，而且还易出现漏根的情况．6．(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝()A．e x－e－x B.12(ex＋e－x)C.12(e－x－e x) D.12(ex－e－x)答案 D解析由f(x)＋g(x)＝e x可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝e x－e－x2，选D.7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝() A．1 B．－1C.14D．－114答案 B8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为() A．－4 B．4C．－6 D．69．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且{x |f (x )＞0}＝{x |1＜x ＜3}，则f (π)＋f (－2)与0的大小关系是( )A ．f (π)＋f (－2)＞0B ．f (π)＋f (－2)＝0C ．f (π)＋f (－2)＜0D ．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.10．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2 011)＝－17，则f (2 011)＝________.答案 31解析 f (2 011)＝a ·2 0115＋b ·2 0113＋c ·2 011＋7， f (－2 011)＝a (－2 011)5＋b (－2 011)3＋c (－2 011)＋7， ∴f (2 011)＋f (－2 011)＝14，∴f (2 011)＝14＋17＝31. 11．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像关于________点对称． 答案 (0,1)解析 f (x )的图像是由y ＝x 3＋sin x 的图像向上平移一个单位得到的． 12．(2012·浙江)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f (32)＝________.答案 32解析 依题意，得f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f (32)＝f (－12)＝f (12)＝12＋1＝32.13．(2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2 012)的值为________．解析∵f(x＋10)＝f[(x＋5)＋5]＝－f(x＋5)＋2＝－[－f(x)＋2]＋2＝f(x)，∴f(x)的一个周期为10.∴f(2 012)＝f(10×201＋2)＝f(2)＝2.15．(2011·上海文)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x ＋g(x)在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为________．答案[－2,7]16．(2013·山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f(x)关于直线x＝1对称，②正确．f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．解析由题意知，当x>0时，F(x)≤8.∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.18．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案(1)a＝2，b＝1(2)k<－1 3解析(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1.∴f(x)＝1－2x a＋2x＋1.又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)．因f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3.1．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)<f(lg x)的解集是()A．(0,10) B．(110，10)C．(110，＋∞) D．(0，110)∪(10，＋∞)答案 D2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 依题意得⎩⎨⎧a －1＝－2a ，b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝0.∴a ＋b ＝13＋0＝13.3．对任意实数x ，下列函数中的奇函数是( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝－3x 2C ．y ＝ln5xD ．y ＝－|x |cos x答案 C4．(2011·上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x答案 A5．(2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12答案 A解析 依题意，得f (－52)＝－f (52)＝－f (52－2)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12，选A.6．在R 上定义的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数思路根据函数是偶函数和关系式f(x)＝f(2－x)，可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．答案 B解析方法一由函数是偶函数，知函数的图像关于y轴对称，函数在区间[－2，－1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反，为增函数；由f(x)＝f(2－x)知函数的图像关于直线x＝1对称，故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[－2，－1]上的单调性相反，为减函数．故选B.方法二求解本题的难点在于函数的抽象性，化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理，如根据函数是偶函数可得f(－x)＝f(x)，再根据f(x)＝f(2－x)，把其中的x换成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函数是周期为2的偶函数，再根据f(x)＝f(2－x)推知函数图像关于直线x＝1对称．7．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数答案 D解析由y＝f(x＋1)为奇函数知f(x＋1)＝－f(－x＋1)，①y＝f(x－1)为奇函数知f(x－1)＝－f(－x－1)，②由①，得f(－x)＝－f(2＋x)．由②，得f(－x)＝－f(x－2)．∴f(2＋x)＝f(x－2)．即f(x＋4)＝f(x)．∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数．∴由②知，f(x－1＋4)＝－f(－x－1＋4)．∴f(x＋3)＝－f(－x＋3)．∴函数f(x＋3)是奇函数．8．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)．若y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且f(－1)＝2，则f(2 013)＝()A ．5B ．4C ．3D ．2答案 D解析 y ＝f (x －1)的图像关于x ＝1对称， ∴y ＝f (x )图像关于x ＝0即y 轴对称． ∴f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )． 令x ＝－2，得f (2)＝0.∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )周期T ＝4. ∴f (2 013)＝f (1)．又∵f (－1)＝2，∴f (1)＝2，选D.9．(2013·广东六校)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，f (32)＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 D解析 对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0. 又f (1)＝sinπ＝0；再由T ＝3， ∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0， f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0， f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (2)＝－f (－2)＝0， f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f (32)＝0，所以f (92)＝f (32＋3)＝f (32)＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6共9个，故选D. 10．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0.11．已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (3)＝2时，f (2 013)的值为________．答案 2解析 因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2 013)＝f (－3＋4×504)＝f (－3)＝f (3)＝2.12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.答案 0解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.13．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)．从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②，得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.14．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4) 解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称． 又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)， ∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．15．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为________．思路 由函数联想图像，若x ，x ＋3x ＋4都在y 轴一侧，则这两个式子相等；若在y 轴两侧，则其互为相反数．答案 －8解析 依题意，当满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时， 有x ＝x ＋3x ＋4时，得x 2＋3x －3＝0.此时x 1＋x 2＝－3.又f (x )是连续的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴另一种情形是f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)．有－x ＝x ＋3x ＋4，得x 2＋5x ＋3＝0.∴x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为－3＋(－5)＝－8.16．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数． 解析 (1)∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax ＋b 1＋x 2＝－ax －b1＋x 2.∴b ＝－b ，即b ＝0.∵f (12)＝25，∴12a1＋14＝25，∴a ＝1.∴函数解析式为f (x )＝x 1＋x 2(－1<x <1)． (2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，－1<x 1·x 2<1. ∴1－x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－1,1)上是增函数．。

课时作业(八十四)1．(2012·福建文)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3B．－10C．0 D．－2答案 A解析由程序框图可知，当k＝1时，1<4，s＝1，k＝2；当k＝2时，2<4，s＝0，k＝3；当k＝3时，3<4，s＝－3，k＝4；当k＝4时不满足条件，则输出s ＝－3.2.(2012·天津文)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为() A．8 B．18C．26 D．80答案 C解析程序执行情况为S＝31－30＝2，n＝2；S＝2＋32－31＝8，n＝3；S＝8＋33－32＝26，n＝4≥4，跳出循环．故输出26，选C.3．(2013·沧州七校联考)执行如图所示的程序框图，输出i的值为()A．5 B．6C．7 D．8答案 A解析由程序框图可知，当i＝1，s＝0时，s＝0＋21－1×1＝0＋1＝1；当i ＝2，s＝1时，s＝1＋22－1×2＝1＋4＝5；当i＝3，s＝5时，s＝5＋23－1×3＝5＋12＝17；当i＝4，s＝17时，s＝17＋24－1×4＝17＋32＝49；当i＝5，s＝49时，s＝49＋25－1×5＝49＋80＝129>100，结束循环，所以输出的i＝5.4．(2013·浙江调研)若某程序框图如图所示，则输出的p的值是()A．21 B．28C．30 D．55答案 C解析依题意，注意到1＋22＋32＝14<20<1＋22＋32＋42＝30，因此输出的p 的值是30，选C.5．(2013·大同调研)执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值是126，则①应为( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤8答案 B解析 依题意可知，本题的实质是计算数列{2n }的前多少项之和为126.注意到数列{2n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前6项和为2(1－26)1－2＝126，结合题意可知，选B.6．(2013·孝感统考)右图是某同学为求1 006个偶数：2,4,6，…，2 012的平均数而设计的程序框图，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )A ．i >1 006，x ＝x 1 006B ．i ≥1 006，x ＝x2 012 C ．i <1 006，x ＝x1 006D．i≤1 006，x＝x2 012答案 A解析因为要求的是1 006个偶数的和，且满足判断条件时输出结果，故判断框中应填入i>1 006；因为要求的是2,4,6，…，2 012的平均数，而满足条件的x除以1 006即为所求平均数，故处理框中应填入x＝x1 006.7．(2013·唐山统考)执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，那么判断框中可以是()A．k<4B．k<5C．k<6D．k<7答案 C解析执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4；a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5；a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中可以是“k<6”或“k≤5”，故选C.8．(2013·金华十校联考)如图所示的程序框图，其功能是计算数列{a n}前n 项和的最大值S，则()A．a n＝29－2n，S＝255 B．a n＝31－2n，S＝225C．a n＝29－2n，S＝256 D．a n＝31－2n，S＝256答案 B解析由程序框图可知，该等差数列的首项为29，公差为－2，故a n＝29－(n－1)×2＝31－2n，因为a15＝1，a16＝－1，所以S＝29＋12×15＝225.9．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析根据程序框图易知，S＝－1，n＝2；S＝12，n＝3；S＝2，n＝4，此时循环结束，则输出的结果为4，故选D.10.已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 13 C ．y ＝3x D ．y ＝3－x 答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 的值为5时，x ≤0不成立，所以x 的值为3；x ≤0仍不成立，x 的值为1；…以此类推，当x 的值为－1时，输出y 的值为13，只有C 中的函数y ＝3x 符合要求．11．已知某流程图如图所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝2x 4＋3x 2B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝x 2＋1x D ．f (x )＝x 2＋1答案 C解析对于选项A，因为f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，不合题意；对于选项D，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，不合题意；对于选项B，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2≥0，故函数f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；对于选项C，f(－x)＝(－x)2＋1－x＝－x2＋1x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由f′(x)＝1－1x2＝x2－1x2可知，当x>1或x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<0,0<x<1时，f′(x)<0.故函数f(x)＝x2＋1x在x＝1与x＝－1处取得极值．故选C.12．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为________．答案 6解析i＝1＋1＝2，S＝3×(10＋1)＝33；33<2 012，i＝2＋1＝3，S＝3×(33＋1)＝102；102<2 012，i＝3＋1＝4，S＝3×(102＋1)＝309；309<2 012，i＝4＋1＝5，S＝3×(309＋1)＝930；930<2 012，i＝5＋1＝6，S＝3×(930＋1)＝2 793>2 012，满足输出条件，所以输出的i值为6.13．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的S是________．答案6－1解析根据程序框图并结合1k＋1＋k＝k＋1－k，可知该算法是求数列{k＋1－k}(k∈N*)的前5项和，所以S＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋(5－4)＋(6－5)＝6－1.14．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．答案7解析该程序框图即求这组数据的方差，∵a＝44，S＝(a i－a)2＝18[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7.15．某工厂2007年初有资金1 000万元，技术革新后，该厂资金的年增长率为20%，试写出计算该厂2013年底的资金的算法，并画出程序框图．思路 (1)利用资金的年增长率为20%，可得出求资金的规律； (2)利用循环结构，选择年数为计数变量． 解析 算法如下： 第一步：i ＝1； 第二步：S ＝1 000；第三步：若i ≤7成立，执行第四步； 否则输出S ，结束算法； 第四步：S ＝S ×(1＋0.2)； 第五步：i ＝i ＋1，返回第三步．程序框图，当型循环程序框图： 直到型循环程序框图：1．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子(2tan 5π4)⊗ln e lg100⊗(13)－1的值是( )A.12B.34 C ．－12 D ．－34答案 D解析 ∵S ＝a ⊗b ＝⎩⎨⎧a (b ＋1)，a ≥b ，a (1－b )，a ＜b ，∴(2tan 5π4)⊗ln e ＝2⊗12＝2(12＋1)＝3， lg100⊗(13)－1＝2⊗3＝2(1－3)＝－4. 故(2tan 5π4)⊗ln e lg100⊗(13)－1＝3－4＝－34. 2．(2011·新课标全国文)执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040答案 B解析 由程序框图可得，输出的p ＝1×2×3×4×5×6＝720.3．(2011·福建文)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( )A ．3B ．11C ．38D ．123解析 根据框图可知第一步的运算为a ＝1<10，满足条件，可以得到a ＝12＋2＝3，又因为a ＝3<10，满足条件，所以有a ＝32＋2＝11，因为a ＝11>10，不满足条件，输出结果a ＝11，故选B.答案 B 4.如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是( )A ．n ＝n ＋2，i ＝15?B ．n ＝n ＋2，i >15?C ．n ＝n ＋1，i ＝15?D ．n ＝n ＋1，i >15?答案 B解析 依题意，注意到式子1＋13＋15＋…＋129中的数的变化规律，易知①处应填“n ＝n ＋2”；②处应填“i >15”．由此可知，选B.5．如图所示的程序框图的输出结果为－18，那么在判断框①中表示的“条件”应该是( )A ．i ≥9?B ．i ≥8?C ．i ≥7?D ．i ≥6? 答案 A5题图 6题图 6．已知集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈N *}，如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.答案 11解析 当输入x ＝2时，由于2∈A ，故可得x ＝2×2＋1＝5，而5∉A ，故有x ＝(5－4)2＋2＝3，又3<5，从而可得x ＝2×3＋1＝7.又7∉A ，故可得x ＝(7－4)2＋2＝11.因为11>5，所以输出的值为x ＝11.7．已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值． 解析 由框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n } 是等差数列，设公差为d ，则有 1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)． (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧ a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)可得：b n ＝2a n ＝22n －1， ∴b 1＋b 2＋…＋b m ＝21＋23＋…＋22m －12(1－4m) 1－4＝23(4m－1)．＝。