2014初中数学基础知识讲义—分式

七年级分式的知识点总结在七年级的数学学习中，分式是一个非常重要的知识点。

分式可以帮助我们更好地理解数学运算的规律和方法，也是未来数学学习的基础。

下面就让我们来总结一下七年级分式的知识点吧！一、分式的定义分式就是将一个整体分成若干份的一种表示方法。

分式通常由分子和分母两部分组成，中间用分数线隔开，例如：$\frac{1}{2}$，其中1是分子，2是分母。

二、分数的化简化简分数就是将一个分数约分到最简形式的操作。

化简分数有两种方法：1. 找出分子和分母的最大公约数，然后分子和分母同时除以最大公约数即可。

例如：$\frac{24}{36}$可以化简为$\frac{2}{3}$.2. 将分数进行因式分解，然后将分子和分母约掉相同的因数。

例如：$\frac{27}{45}$可以化简为$\frac{3\times 3\times 3}{3\times 3\times 5}$，然后约掉相同的因数得到$\frac{3}{5}$。

三、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法四种。

1. 加法和减法：将两个分式的分母化为相同的，然后将分子相加或相减，最后化简即可。

例如：$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5\times 1}{3\times5}+\frac{3\times 2}{3\times 5}=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$$\frac{5}{6}-\frac{3}{4}=\frac{5\times 2}{6\times 2}-\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}$2. 乘法：将两个分式的分子和分母分别相乘，然后化简即可。

例如：$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3\times 5}=\frac{8}{15}$3. 除法：将两个分式的分子和分母对调，然后进行乘法运算，最后化简即可。

八年级数学知识点分式八年级数学知识点——分式分式在数学中是一个非常重要的知识点。

它常常涉及到计算和应用问题，因此对于学生来说，学习和掌握分式是至关重要的。

本文将为大家详细介绍八年级数学中的分式知识点，包括分式的定义、分式的性质、分式的化简、分式的加减乘除等内容。

一、分式的定义分式是一种表示比例和部分的数学表达式，通常用“a/b”的形式表示。

其中，a表示分子，b表示分母。

分子和分母都是整数，而且分子与分母的最大公约数为1，这种分数称为真分数。

如果分子大于或等于分母，那么这种分数称为假分数。

例如：4/5、1/2、3/4等都是分式。

二、分式的性质1.同分母分式的加减法当分式的分母相同时，可以直接进行加减法运算，即分子相加（减），分母不变。

例如：1/4+3/4=4/4=1；3/5-1/5=2/5。

2.异分母分式的加减法当分式的分母不同时，需要通过通分化简，将分母变成相同的数，然后再进行加减法运算。

通分公式为：a/b+c/d=(ad+bc)/bd。

例如：2/3-1/4=8/12-3/12=5/12。

3.分式的乘除法分式的乘法：分式的乘积等于分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母。

例如：2/3×3/4=6/12=1/2。

分式的除法：分式与倒数的乘积等于分子乘以倒数的分子作为新分子，分母乘以倒数的分母作为新分母。

例如：2/3÷3/4=2/3×4/3=8/9。

三、分式的化简分式的化简是指将一个复杂的分式化简成简单的分式，或将分式化成整数、小数等简单形式。

1.约分约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，得到与原数值相等的最简分数。

例如：6/8可以约分为3/4。

2.分式的化简一些分式可以通过使用公式或分式的性质化简为简单的分式或整数。

例如：(8x+12)/(4x)=(4x(2+x))/(4x)=2+x。

四、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，比如用于计算家庭预算、进行商业比较、计算地图比例尺等。

八年级分式知识点在数学中，分式通常是一个分子除以一个分母的形式。

分式在数学和自然科学中被广泛应用，在八年级的数学学习中也是一个非常重要的知识点，本文将为大家详细介绍八年级分式的相关知识点。

一、分式的定义分式指的是一个数的形式，通常是一个分子除以一个分母。

分数通常用于表示有理数或任何数量，它们可以用作比率，可以扩大或缩小一个数量。

通常，一个分式被写成a/b的形式，其中a和b是整数，b不等于0。

分数还可以有不同的表示形式，例如百分数和小数。

二、分式的化简分式的化简是指让分式变得更简单，更易于计算。

化简分式的方法有很多，其中最常见的方法是约分。

当分式的分子和分母有最大公约数时，可以将分子和分母同时除以最大公约数得到最简分式。

例如，将16/24化简为2/3，可以将分子和分母都除以8。

另外，当分母不是一个完整的数时，分式也可以进行化简。

例如，将3/5化为分数时，我们可以将分母扩大10倍，得到30/50，然后将分子和分母同时除以最大公约数10，得到3/5，这就是化简后的分式。

三、分式的加减乘除分式的加减乘除都是基于两个或多个分式的相应操作来完成的。

对于加法和减法，我们需要将分母约分，然后将分子相加或相减，最后将结果写成最简形式。

对于乘法，我们可以将分子和分母分别相乘，然后将结果写成最简形式。

对于除法，我们需要将被除数与除数的倒数相乘，然后将结果写成最简形式。

例如，将1/2加上1/3，我们需要将两个分母约分，得到6，然后将分子相加，得到5，因此1/2+1/3=5/6。

将1/2乘以2/3，我们需要将分子和分母分别相乘，得到2/6，然后将结果化简为1/3，因此1/2×2/3=1/3。

最后，将1/2除以2/3，我们可以将1/2乘以3/2，得到3/4，因此1/2÷2/3=3/4。

四、分式应用分式在数学中应用广泛，特别是在代数、几何、概率和统计等领域。

在代数学习中，分式通常用于表示未知数的比率，例如，x/3表示x与3的比率。

=
—5 8
02
分式的乘除法
■ 运算法则 ■ 分式的乘方 ■ 经典例题
分
式
分式乘除法运算法则
的
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
乘
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。
除
法
fg·
u v
＝
fu gv
f g
÷
u v
＝
f g
v ·u
＝
fv gu
答：甲广告公司每天能制作20个宣传栏，乙广告公司每天能制作24个宣传栏。
谢谢观赏
幂
am am
＝1
am am
＝am-m ＝a0
a0＝1
负整数指数幂
( ) a-n ＝
1 a
n1 ＝ an
(a≠0,n为正整数)
a-n＝a0-n＝
a0 an
＝
1 an
整
数
科学计数法的定义
指
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式
数
（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
单
的
分 式
例题11、解方程
x
x
3
3 x2
9
1
例题12、解方程 x 2 1
x 1 x
方
解：去分母得： x(x 3) 3 x2 9
解：去分母得： x2 2(x 1) x(x 1)
程
解得： x 2
解得：x 2
把解代入方程检验：
把解代入方程检验，
x2 9 5 0
方程左右两边相等，
初中数学课件 之

八年级下册数学知识点分式八年级下册数学知识点——分式一、定义分式是指由分子和分母以及分割符号（如：横线或斜线等）组成的算式，通常表示为a/b的形式，其中a、b均为整数，b不为0。

二、基本概念1. 真分数：分子小于分母的分式称为真分数，如1/2、2/3等。

2. 假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，如5/3、9/4等。

3. 通分：对于分母不同的分式，将它们的分母约分至相同，即将它们化为相同分母的分式，这个过程称为通分。

4. 约分：对于分子分母有公共因数的分式，可以将它们约分成最简分式，即分子分母同时除以它们的公共因数，得到的分式称为最简分式。

三、分式的四则运算1. 加减法分式的加减法其实就是先通分，再将分子按照加减法的规则相加减，然后将结果约分为最简分式。

例如：7/10 + 5/6 = 21/30 + 25/30 = 46/30 = 23/152. 乘法分式的乘法就是将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分为最简分数。

例如：2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/23. 除法分式的除法相当于将分式的乘数乘上被除数的倒数，即将分子与被除数的分母相乘，分母与被除数的分子相乘，得到的结果再约分为最简分数。

例如：3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用分式在比例问题中的应用非常广泛，例如在解题时需要求出比例中某一部分的值，在这种情况下，就可以通过分式的运算来求解。

例如：若三个数的比例为a : b : c，且a = 3/4，b = 1/2，求c的值。

根据比例的定义，可得a : b = 3/4 : 1/2 = 3/2，那么c : a = 3/2 : 1，即c = (3/2) ÷ 1 × a = (3/2) × (3/4) = 9/8。

因此c = 9/8。

2. 分式在解方程中的应用在解方程中，有时需要将方程变形成分式的形式，然后进行分式的运算，最后再将分式恢复为方程，从而得到方程的解。

七年级上册数学分式知识点分式是数学中的一个重要概念，也是初中数学里的一大难点。

在七年级上册的数学课程中，学生需要掌握分式的基本知识点，为以后的学习打好基础。

本文将围绕七年级上册数学分式的知识点展开阐述。

一、基本概念分式是指一个整体被分成若干份，其中每一份都是整体中的一部分，它由分子和分母两个部分组成，用“分子/分母”的形式表示。

例如，1/2是一个分式，其中1为分子，2为分母。

二、分式的化简1.相除化简如果分子和分母都可以被同一个数整除，那么我们可以利用这个数来将分式进行相除化简。

例如，12/18可以化简为2/3，因为12和18都可以被2整除。

2.分子分母约分分子和分母中存在公因数时，可以将分子和分母同时除以它们的公因数，并保持等式的真实性。

例如，16/24可以化简为2/3，因为16和24都可以被8整除。

三、分式的乘法与除法1.乘法两个分式的乘积可以通过将它们的分子相乘得到新分子，将它们的分母相乘得到新分母。

例如，(2/3)×(4/5)=8/15。

2.除法两个分式的商可以通过取一个分式的倒数，再将另一个分式乘上这个分式的倒数得到。

例如，(2/3)÷(4/5)=(2/3)×(5/4) =10/12 =5/6。

四、分式的加法与减法1.通分对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要将它们通分，即将它们的分母化为相同的数。

例如，1/2+1/3可以化简为3/6+2/6。

在这里，我们需要将两个分式的分母化为6，然后将它们的分子相加。

2.加减通分之后，我们可以将它们的分子相加或相减，并保持相同的分母。

例如，1/2+1/3=5/6，1/2-1/3=1/6。

五、练习题1.将1/3和2/5通分并求和。

2.将2/3和5/6通分并求差。

3.将3/4和4/5相乘并化简。

解答：1. 将1/3和2/5分别乘上5/5和3/3，通分后得到：5/15+6/15=11/15。

2. 将2/3和5/6分别乘上2/2和1/1，通分后得到：4/6-5/6=-1/6。

初中数学知识归纳分式的运算分式运算是初中数学中的一个重要概念，它涉及到分子、分母、约分、通分、加减乘除等运算规则。

在本文中，我们将对初中数学知识归纳分式的运算进行详细讨论。

一. 分式的定义与基本概念分式，又称有理数分式，是指由整数和整式构成的带有分数形式的数。

分式由分子和分母两部分组成，分子表示分子的数值，分母表示分母的数值。

例如，$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$都是分式。

二. 分式的约分与通分1. 约分：分式的约分是指将分子与分母的公因数约去，使其不能再约分为整数或者不含公因数。

例如，$\frac{12}{24}$可以约分为$\frac{1}{2}$。

2. 通分：分式的通分是指使两个或多个分式的分母相等，从而可以进行加减乘除等运算。

通分有两种方式：公倍数通分和分母乘积法通分。

三. 分式的加减运算分式的加减运算要求通分后，将分子进行加减运算，分母不变。

具体步骤如下：1. 确定两个分式的公分母；2. 通分，使分母相等；3. 进行加减运算，分子相加减，分母不变；4. 若结果为真分数，则将其化简为假分式。

四. 分式的乘除运算分式的乘除运算即将两个分式进行乘法或除法运算。

具体步骤如下：1. 乘法运算：- 将两个分式的分子相乘，分母相乘；- 化简结果，约去公因数；- 若结果为真分数，则将其化简为假分式。

2. 除法运算：- 将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘；- 化简结果，约去公因数；- 若结果为真分数，则将其化简为假分式。

五. 分式的运算法则1. 分式加法交换律：$a+b=b+a$；2. 分式乘法交换律：$a \cdot b = b \cdot a$；3. 分式加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；4. 分式乘法结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$；5. 分式加法与乘法的分配律：$a(b+c)=ab+ac$。

1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：找等量关系分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.题型一 解分式方程（注意因式分解）【例题1】（2013南平市）分式方程x x 332=-的解是 【例题2】（2013宜宾）分式方程的解为 题型二 分式方程解的判定【例题1】(福建中考)若关于x 方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 关键：把使最简公分母为0的x 值代人化简的一元一次方程后即可求出。

【例题2】（2013牡丹江）若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是 关键：这类题型解法是化简后求出x 值（其中x 是含字母的值），再用不等式解法求解。

初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用题型三 分式方程应用（找等量关系）【例题1】（2013河北省）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是A ．120x ＝100x －10B ．120x ＝100x +10C ．120x －10＝100x D ．120x +10＝100x 【例题1】(2013嘉兴）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为1、（2013黄石）分式方程3121x x =-的解为（ ） A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x = 2、（2013襄阳）分式方程的解为（ ） A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=﹣13、（2013吉林省）分式方程132+=x x 的解为x = 4、（2013铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原 D10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需 +=1 +8（+）=1 D ）台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器7、（牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = 8、（湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程213x m x +=--无解. 9、（2013绥化）若关于x 的方程=+1无解，则a 的值是 10、（2013威海）若关于x 的方程无解，则m= 11、（2013大兴安岭）若关于x 的分式方程112=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是 12、（2013武汉）解方程：x x 332=-13、（2013龙岩）解方程：412121x x x =+++14、（2013漳州）解方程：2112-=-x x 15、（2013宁夏）解方程：16、（2013红河）解方程 212xx x +=+17、（2013宁波）解方程：=﹣518、（2013南京）解方程 2x x -2 =1- 12-x 19、（2013珠海）解方程：20、（2013深圳）解方程：0)1x (x 2x 1x 3=-+--21、（2013泰州） 解方程：22222222x x x x x x x ++--=--22、（2013十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？23、（2013泰州）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.24、（2013长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．25、（2013三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）。

分式的概念和性质基础学习目标1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质将分式恒等变形,进而进行条件计算. 要点梳理要点一、分式的概念一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.要点诠释：1分式的形式和分数类似,但它们是有区别的.分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.2分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.3分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,如a是整式而不能当作分式.4分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式不能先化简,如2x yx是分式,与xy有区别,xy是整式,即只看形式,不能看化简的结果.要点二、分式有意义,无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：1分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义,就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零.2本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式中分母的值不等于零.3必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，其中M是不等于零的整式.要点诠释：1基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调M≠0这个前提条件.2在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：,在变形后,字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变；改变其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b ba a-=-,b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b ba a a-==--.分式ab与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分,最简分式与分数的约分类似,利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式1除外,那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：1约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分母再没有公因式.2约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分.分式的乘除基础学习目标1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义,能根据乘方的法则,先乘方,再乘除进行分式运算.要点梳理要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=,其中a b c d、、、是整式,0bd≠.2.分式的除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=,其中a b c d、、、是整式,0bcd≠.要点诠释：1分式的乘除法都能统一成乘法,然后约去公因式,化为最简分式或整式.2分式与分式相乘,若分子和分母是多项式,则先分解因式,看能否约分,然后再乘.3整式与分式相乘,可以直接把整式整式可以看作分母是1的代数式和分式的分子相乘作为分子,分母不变.当整式是多项式时,同样要先分解因式,便于约分.4分式的乘除法计算结果,要通过约分,化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方,用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭n 为正整数. 要点诠释：1分式乘方时,一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分式乘方时,要首先确定乘方结果的符号,负数的偶次方为正,负数的奇次方为负.3在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分.4分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 分式的加减基础学习目标 1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．要点梳理要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：1“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减,即各个分子都应用括号,当分子是单项式时,括号可以省略；当分子是多项式时,特别是分子相减时,括号不能省,不然,容易导致符号上的错误.2分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似,利用分式的基本性质,使分式的分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：1通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.2如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后再找最简公分母.3约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：1异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后,异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.2异分母分式加减法的一般步骤：①通分,②进行同分母分式的加减运算,③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样,分式的加、减乘、除混合运算,也是先算乘、除,后算加、减；遇到括号,先算括号内的,按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简,能约分的要约分,保证结果是最简分式或整式.要点诠释：1正确运用运算法则：分式的乘除包括乘方、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础,要牢牢掌握..2运算顺序：先算乘方,再算乘、除,最后算加、减,遇有括号,先算括号内的. 3运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律,乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律,将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用基础学习目标1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．要点梳理要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：1分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.2分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数不是一般的字母系数.分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.3分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母.在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：1方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程注意：当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母；2解这个整式方程,求出整式方程的解；3检验：将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：1增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以或除以同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.2解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：1审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系；2设未知数；3找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程；4解这个分式方程；5验根,检验是否是增根；6写出答案.分式全章复习与巩固基础学习目标1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想．知识网络要点梳理要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子,B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B ≠0时,分式A B才有意义. 2.分式的基本性质M 为不等于0的整式.3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:1加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. ；异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.2乘法运算 a c ac b d bd⋅=,其中a b c d 、、、是整式,0bd ≠. 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.3除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=,其中a b c d 、、、是整式,0bcd ≠.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.4乘方运算分式的乘方,把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.。

分式定义及性质知识点一、分式分式的概念：一般地，形如BA 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。

分式是否有意义的识别方法：分式无意义的条件： ；分式值为1的条件： ； 分式有意义的条件： ；分式值为-1的条件： ； 分式为0的条件： ；二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能为0；（2）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误；（3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意一个，分式的值不变；（4）因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，将多项式的各项都变号。

三、约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

分式约分的步骤：先把分式的分子与分母分解因式，再约去分子与分母的公因式。

（1）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母系数的最大公约数和相同因式的最低次幂；（2）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式；（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

（分子、分母都是乘积形式时，才能约分）四、通分：（1）分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（2）通分的关键是确定几个分式的公分母。

（3）取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母。

确定公分母时应注意：系数取各分母系数的最小公倍数，字母因式取各分母所有字母因式的最高次幂的积。

（4）约分是对一个分式而言，是将分式简化；通分是对几个分式而言，是将分式化繁。

根据分式的基本性质，将分式的分子和分母都乘以同一个数，就可以使它们各项的系数化为整数；这个数显然应取分子、分母中各项系数的最小公倍数。

分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。

分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。

下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。

一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。

那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。

同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。

二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。

三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。

需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。

以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。

在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。

当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。

而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。

通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。

八年级数学分式入门知识点分式是数学中一个非常重要的概念，涉及到分数、整式、多项式的运算和化简等知识点。

作为八年级数学的学生，学好分式入门知识点是打好数学基础的关键。

本文将针对八年级数学分式入门知识点进行讲解，并详细介绍分式定义、分式化简、分式运算、分式方程等几个主要知识点。

一、分式的定义分式是由分子和分母两部分组成的数式。

分子和分母都是整式，分母不能为零。

例如，a/b，(a+b)/(c-d)都是分式。

分式中的分数线表示分子和分母之间的相除关系，分子上方的横线表示除数，下方的横线表示被除数。

二、分式的化简化简分式是指将分式化为最简形式，即分子和分母互质，不能再约分。

常用的化简方法有约分和通分。

1、约分当分子和分母有公因数时，可以将分子和分母同时除以这个公因数，使分式化为最简形式。

例如，将12/16化为最简形式，可先将12和16都除以它们的最大公因数4，得到3/4。

2、通分通分是将两个或多个分式的分母化为相同的因式，然后将它们的分子相加或相减。

例如，将1/2和3/4通分，可将它们的分母都化为4，即得到2/4和3/4，然后相加得到5/4。

三、分式的运算分式的运算包括加、减、乘、除等。

在进行分式的加减运算时，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式即可。

在进行分式的乘除运算时，需要将分式约分后再进行乘除运算，最后再化简分式。

1、加减运算将两个分式相加或相减，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式。

例如，将1/2和3/4相加，可先将它们通分为2/4和3/4，然后相加得到5/4，最后将5/4化为最简形式5/4。

2、乘除运算将两个分式相乘或相除，需要将它们的分子和分母进行约分，然后再进行乘除运算，最后化简分式。

例如，将1/2和2/3相乘，先约分为1/3，然后相乘得到1/6，最后将1/6化为最简形式1/6。

四、分式方程分式方程是指含有至少一个分式的方程。

解分式方程的方法是通分化简、移项和化为一元方程组等。

八年级分式知识点总结ppt 分式是初中数学中的一大重点，它在高一乃至高二的学习中经常出现。

分式的概念、性质、化简方法，以及在各种题型中的运用都需要我们重点关注。

一、分式的基本概念1.分式的定义：分式就是分数形式，它是指两个整数之商的形式，其中分母不为零。

2.分式的结构：分式由分子、分母和分数线组成，如：$\frac{a}{b}$。

3.分式的值及其意义：分式的值是一个实数，其意义是表示将分子a等分成分母b份后的每一份的大小。

二、分式的性质1.分式的基本性质：①如果分子和分母同时乘以同一个非零数，那么这个分式的值不变。

②如果两个分式的分母相同，那么它们的和（差）的分子就是原来两个分式的分子的和（差），分数线不变。

③如果两个分式的分母互为相反数，那么它们的和为0。

④相邻两项交换、增减的分式必须化为相同的分母，然后才能运算。

2.分式的约分和通分①约分：将分子、分母同除以它们的最大公约数，使分式的值不变。

②通分：将两个（或多个）分式的分母相同，化成相等分式。

③通分的方法: ⑴因数分解法；⑵公因法；⑶通分的公式。

三、分式的化简1.基本方法（1）因式分解法（2）通分法（3）求幂法（4）约分法（5）借公式法（6）分子分母同时乘上或除去同一个量等。

2.注意事项（1）多项式除以单项式的分式，一般要把多项式按照单项式的因式进行分解后再约分。

（2）多项式分式的化简，要先分解因式，然后按照约分的原则进行化简。

四、分式方程1.基本概念：含有分式的方程叫做分式方程。

2.分式方程化简的步骤（1）分子分母同时乘以分母的最小公倍数。

（2）两侧约通分母。

（3）把含有变量的式子化为通分后的分式。

（4）把分式两侧同时乘以分母，得到一个整式方程。

（5）解出这个整式方程。

五、分式的应用1.分式数值的大小比较（1）同分母分式比较大小时，比较分子大小即可。

（2）异分母分式比较大小时，先通分，再比较分子大小即可。

2.分式在解题中的应用（1）求实际问题中两个或两个以上量之间的比值时。

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分式有关概念:
一、分式的有关概念
一、分式的概念：
基本知识
1、分式的概念：一般的，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。

2、小结：
1、分式的分母中必须含有字母，若分母中没有字母则不是分式，分子可含有字母，也可不含字母。

2、在分式里，只有当分母不为0时，才有意义，否则分式无意义。

3、若分式的分子或分母是多项式，运用分式的性质时应把分式的分子或分母放在括号内。

4、分式中分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变。

八年级数学分式课件
目录
• 分式的概念 • 分式的运算 • 分式方程 • 分式的化简与证明 • 分式在实际生活中的应用
01
分式的概念
分式的定义
分式是数学中一种基本的代数 形式，表示两个整式相除的关 系。
分式由分子、分母和分数线组 成，其中分子是整式相除的结 果，分母是两个整式的除数。
分式可以表示为分数形式，如 $frac{a}{b}$，其中$a$是分子， $b$是分母。
长度计算
在建筑、测量等领域中，常常使用分数来表示长 度，如1/10米、1/20米等。
3
重量计算
在商业交易中，有时会使用分数来表示重量，如 1/2千克、3/4千克等。
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密度计算
密度是物质的质量与其体积的比值， 以克/立方厘米或千克/立方米等分 数形式表示。
压强计算
压强是压力与受力面积的比值，通 常以帕斯卡(Pa)为单位，实际上也 是分数的形式。
分数在化学中的应用
化学反应速率
化学反应速率通常表示为反应物 的消耗或生成速率与反应时间的 比值，以单位时间内反应物或生 成物的摩尔数变化来表示，也是
假设结论不成立，通过推理导 出矛盾，从而证明结论成立。
归纳法
通过对一系列具体例子进行观 察和分析，归纳出一般性结论 。
构造法
根据题目的特点，构造适当的 数学模型或实例来证明结论。
分数证明的步骤和技巧
仔细审题
明确题目要求和已知条件，弄清题目的类型 和特点。
组织证明
按照证明计划，逐步展开推理和计算，确保 每一步都符合逻辑。
联系
分式方程的解法和整式方程的解法有一定的联系，如去分母 、移项与合并同类项等步骤在两种方程中都有应用。

初中数学知识点概括分式初中数学知识点归纳：分式四、分式的约分1.定义：依据分式的基天性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2.步骤：把分式分子分母因式分解，而后约去分子与分母的公因。

3.注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大条约数，而后约去分子分母同样因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式确实定方法：1) 系数取分子、分母系数的最大条约数作为公因式的系数.2) 取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)假如分子、分母是多项式 ,则应先把分子、分母分解因式 ,而后判断公因式 .五、分式的通分1.定义：把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

(依照：分式的基天性质!)2.最简公分母：取各分母全部因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母确实定方法：1. 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2. 取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3.假如分母是多项式 ,则应先把每个分母分解因式 ,而后判断最简公分母 .八、分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

(产生增根的过程)⑵解整式方程，获得整式方程的解。

⑶查验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：假如最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根; 假如最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是获得的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0 。

九、列分式方程——基本步骤：①审—认真审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—依据等量关系列出方程(组 )。

④解—解出方程(组)。

注意查验⑤答—答题。

第十五章分式1、分式的定义及性质1)分式的定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子图片叫做分式，A为分子，B为分母；2)与分式有关的条件(1)分式有意义：分母不为0（B不等于0）；(2)分式値为0：分子为0且分母不为0.(A=0,且B不等于0). 1）分式的基本性质：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的値不变。

图片2）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。

3）最简分式：分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

4）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

5）最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积叫作公分母，即最简公分母。

2、分式的计算1)分式乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，图片2)分式的除法法则：把除式的分子、分母项颠倒位置后，与被除式相乘，图片3)分式的乘方：把分子、分母分别乘方，图片4)分式的加減法则：(1)同分母分式加减法：分母不变，分子相加减图片(2)异分母分式加减法，=：先通分，化为同分母的分式，再加減，图片5)分式混合运算的运算顺序：先乘方、再乘除、后加减；同级运算中，按照从左到右的顺序进行；有括号的先算括号里面的。

3、分式方程1)分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；2)解分式方程的步骤：(1)去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母；(2)解整式方程：得到整式方程的解；(3)检验：把所得的整式方程的解代入最简公分母中，a.若最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的値是原方程的增根；b.若最简公分母不为0，则是原方程的解。