2014初中数学基础知识讲义—有理数1练习

教师: 学生: 学科: 日期: 年月日星期: 时段:课题第1讲有理数学习目标与考点分析1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法。

3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算4、会用科学记数法表示数(包括负指数幂的科学记数法)5、了解近似数，在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值。

学习重点难点1、有理数的实际意义。

2、求一个数的相反数、绝对值、倒数；在数轴上找出相应的数；数的比较大小。

3、用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。

4、有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。

5、有理数的运算。

教学方法讲练结合教学过程【知识网络】1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生。

“+”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。

它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加 “-”也是德国数学家魏德美创造的。

它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“⨯”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。

它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的。

它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。

列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

第一章有理数知识点提要1.1正数和负数0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数，其余叫做正数。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

a－b＝a＋(－b)1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

人教七年级数学上册1.2有理数基础知识概括及同步练习题知识点1：有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。

注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

整数包括正整数、零、负整数。

例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。

知识点2：有理数的分类(1) 按整数、分数的关系分类：(2) 按正数、负数与0的关系分类：注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。

知识点3：数轴数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。

正如华罗庚教授诗云：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数是难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：(1) 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；(2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

2.数轴的画法：(1) 画一条直线（一般画成水平的直线）。

(2) 在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

人教版七年级数学第一章有理数梳理同步练习重点讲解练习题分析：这是一个数学教材的练习题，需要整理出重点解题方法和讲解。

文章应以教学的方式呈现，帮助读者理解、掌握有理数的概念和解题技巧。

———正文———一、有理数的概念有理数由整数和分数两部分组成。

整数是正整数、负整数和0，分数可以表示为两个整数的比值。

在数轴上，有理数可以用有限小数或无限循环小数表示。

例如：-5，0，2，1.5，-1/2，0.3333...都是有理数。

有理数的加减规则：同号相加减，异号相减取异号。

二、重点讲解练习题D1. 两个数的和是-10，其中一个数是-2，那么另一个数是多少？解析：根据题意得到一个方程，表示两数相加等于-10。

-2 + x = -10将方程变形，得到：x = -10 + 2 = -8答案：另一个数是-8。

D2. 一个负整数和一个正整数相加，它们的和有可能是正数吗？为什么？解析：一个负整数和一个正整数相加，它们的和一定是负数。

在数轴上，负整数代表向左移动，正整数代表向右移动，它们的和必然是向左移动的结果，即负数。

答案：不可能是正数。

D3. 现有三个数-5，7/3和2/3，请问最小的数是多少？解析：将三个数转化为相同的分母，然后比较大小。

-5 = -5/1，7/3 = 7/3，2/3 = 2/3，分母取3。

-5/1 < 7/3 < 2/3答案：最小的数是-5。

D4. 计算下列各式的值：5.2 - 3.7 + 1.5。

解析：按照加减法的运算规则进行计算。

5.2 - 3.7 + 1.5 = 1.5 + 5.2 - 3.7 =6.7 - 3.7 = 3答案：计算结果是3。

D5. 求下列各数的相反数：-8，0，2/5。

解析：一个数的相反数是它和0之间直线对称的点的标志数。

相反数的特点是两数相加等于0。

-8的相反数是8，0的相反数是0，2/5的相反数是-2/5。

答案：-8的相反数是8，0的相反数是0，2/5的相反数是-2/5。

【关键字】练习第一讲有理数的认识一.有理数的概念1.像5,1.2，，......这样的数叫做正数。

它们都比0大。

在正数前面加上“-”号的数叫做负数。

2. 0既不是正数，也不是负数。

0是正数与负数的分界点3. 我们把整数和分数统称有理数。

4. 有理数的分类:（i)按定义分类：（ii)按性质分类：注意：1、（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

2、整数包括正整数、零、负整数。

3、分数包括正分数和负分数。

第一课时1、下列说法错误的是（）A、数轴上，原点位置的确定是任意的B、数轴上，单位长度是固定不变的C、数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取D、数轴的两个方向均可以无限延长2、若有理数A>b,在数轴上点A表示的数A，点B表示的数B，则有（）A、点A在点B的左边B、点A在点B的右边C、点A在原点的右边，点B在原点的左边D、点A和点B均在原点左边3、一、填空1.在-3，，-0.5，11中，正数是________________；负数是________________.2.如果+350米表示高于海平面350米,那么低于海平面200米，记作_______________.3.如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示______，物体原地不动记作________.二.选择1.小亮的爸爸开的商店昨天获利120元，他在账本上记下“120元”.今天小店亏了20元，他应记作( )A.20元B.-20元C.-20D.100元2.下列说法正确的是（）A．有理数分为正数和负数 B. 有理数分为整数和小数C．有理数分为正数.负数和0 D. 有理数分为整数和分数3.下列说法正确的个数是（）①0不是非负数；②-5.2不是整数；③正数和负数统称为有理数；④非正整数包括0和负整数；⑤没有最大的有理数也没有最小的有理数；⑥ 0是最小的有理数。

b a 0七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题姓名 班级考点一、1、下列语句：①带“-”号的数是负数；②如果a 为正数，则-a 一定是负数；③不存在既不是正数又不是负数的数；④00C 表示没有温度，正确的有（ ）个A.0 B.1 C.2D.3 2、如图：下列说法正确的是（ ） A.a 比b 大 B.b 比a 大 C.a 、b 一样大 D.a 、b 的大小无法确定3、若｜a ＋b|＝－（a ＋b ）,下列结论正确的是（ ）A.a ＋b ≤0 B.a ＋b<0 C.a ＋b=0 D.a ＋b>04、下列说法：①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是( )A.3个 B.2个 C.1个 D.0个5、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）A.+a 与-(-a)互为相反数B.+a 与-a 一定不相等C.-a 一定是负数D.-(+a)与+(-a)一定相等6、已知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ）A.a 、b 中一定有一个是负数B.a 、b 都为0C.a 与b 不可能相等D.a 与b 的绝对值相等7、下列说法正确的是（ ）A.-|a|一定是负数B.只有两个数相等时，它们的绝对值才相等.C.若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数.D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数.8、给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③ 若|m|>m ，则m<0；④ 若|a|>|b|，则a>b ，其中正确的有（ ）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念1、练习：电梯上升到四楼记为+4，下降到负二楼记为2、若a 与b 互为相反数，则下列式子：①a+b=0；②a=-b ；③|a|=|-b|；④a=b ，其中一定成立的序号为3、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是4、绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的整数是 ；|3.14－π|= _________5、写出所有不小于-4并且小于3.2的整数：6、绝对值小于6且大于3的整数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7、下面关于0的说法：① 是整数，也是有理数；② 是正数，不是负数；③ 不是整数，是有理数；④ 是整数，也是自然数，正确的是（ ） A.①② B.②③ C.①④ D.①③8、在15，38-，0.15，-30，-12.8，-227，-1.010010001，π7-，-3.12112111211112……，-3.141414……中，负分数的个数是（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个9、一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数点的个数是（1）判断墨迹盖住的整数共有多少个？并说明理由。

板块一:代数知识点1 有理数１．（ 2014·安徽)（﹣２）×３的结果是( )A．﹣5 Ｂ. 1ﻩC．ﻩ﹣6 D．6解:原式＝﹣2×3＝﹣6．故选:C.2．( 201４·广西贺州）在﹣1、０、1、2这四个数中，最小的数是( ）A．0 B．﹣1 C．１D．2解:﹣1<0<1<2,故选:B．3.（２0１４·温州)计算:(﹣3)+4的结果是( )Ａ．﹣7 ﻩ B.﹣1 C．１ﻩD．7解：原式=+（4﹣3）=１，故选：Ｃ.4．（２014·泰州）﹣２的相反数等于（)A.﹣２ B．2 C.D．解:﹣2的相反数是﹣(﹣2）=2．故选B.5.(２014·滨州)计算：﹣3×２+（﹣２)2﹣5=（).Ａ.-6 B. -7 C．0 D.-2解:原式=﹣3×2+４﹣5=﹣6+4﹣5=﹣7.故答案为B：﹣7．6．(２０14·武汉）在实数﹣2，０,2，3中,最小的实数是( ）Ａ.﹣２ B. 0 Ｃ. 2 D．３解:﹣２＜０＜2＜３,最小的实数是﹣2，故选Ａ.７.(2014·湘潭）下列各数中是无理数的是( )A． B.﹣２ C.0Ｄ．解:A.正确；Ｂ．是整数，是有理数,选项错误；C．是整数，是有理数，选项错误；D.是分数，是有理数,选项错误.故选A.８．(２014·益阳)四个实数﹣2,0,﹣，１中，最大的实数是( )A．ﻩ﹣2ﻩ B. 0 C.ﻩ﹣Ｄ．1ﻩ解:∵﹣２＜﹣＜0＜1,∴四个实数中，最大的实数是1．故选D.９.(2014·孝感）计算:（﹣）﹣2+﹣|１﹣|．解：原式=+2﹣|﹣２|=4＋2﹣2 =４．1０．(2014·株洲)计算：+（π﹣３)0﹣tan45°．解：原式=4+1﹣１=４.11．( 2０14·安徽)下列四个多项式中，能进行因式分解的是（ )Ａ．ａ２+1 B. a2﹣6ａ＋９ﻩＣ. x２＋5yﻩ D. ｘ2﹣5y解：Ａ、Ｃ、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、Ｄ不能进行因式分解;B是完全平方公式的形式,故B能分解因式；故选：B．１２.（2０１４·福建泉州)分解因式x２ｙ﹣y3结果正确的是（）A.y(ｘ+y)２B.ｙ(x﹣y)2C.y（x２﹣ｙ2）D.y（x+ｙ)(x﹣y）解：x2y﹣y3=y（ｘ２﹣y2)=y（x+y)（x﹣y）.故选D.1３．（ 2014·广东）计算３ａ﹣２ａ的结果正确的是( ）Ａ.1 B．a C．﹣a Ｄ.﹣５a解:原式=（３﹣2）a=ａ，故选B．14．(２014·温州)计算m6•ｍ3的结果是（ )A． m1８ﻩB．ﻩｍ9 C．ｍ3 D．m2解:m6·m３＝m9．故选B．15．（ 20１4·福建泉州)先化简，再求值:(a+２）2+a（a﹣４)，其中a=．解:（a+２)２+a（a﹣4)＝ａ2+4ａ+4+a2﹣4ａ＝2a2＋４,当a=时,原式=２×()2＋4=1０．1６．(20１4·滨州）方程2x﹣1=３的解是( )A.﹣１Ｂ．C．１ D.2解:2x﹣1＝3,移项,得２ｘ=4，系数化为1得x=2.故选Ｄ.17．(２0１４·浙江湖州)方程2x﹣1＝0的解是（)．A.x=B．x=Ｃ.x=1 Ｄ.x=０解:移项得：2x=1,系数化为1得：ｘ＝.18．（2014·湘潭)七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共５89人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多5６人.设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为( ).A.2x-5６＝589﹣ｘB.2x+５6=５８９﹣x Ｃ．2x＋５6=589＋x Ｄ.２x＋58９=56＋x解:设到雷锋纪念馆的人数为x人,则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣ｘ)人，由题意得，２x+5６=５89﹣x．故答案为B:２ｘ＋5６=589﹣x．1９．(2014•株洲）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验,他获得如下信息：（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米;(２)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米;(３)抄近路下山,下山路程比上山路程近2千米;（4)下山用１个小时；根据上面信息，他作出如下计划：(１）在山顶游览1个小时;（2）中午12：０0回到家吃中餐．若依据以上信息和计划登山游玩，孔明同学应该在（ )从家出发。

复习练习： 1、下面关于有理数的说法正确的是（ ） A.整数集合和分数集合合在一起就是有理数集合 B.正数集合与负数集合合在一起就构成整数集合 C.正数和负数统称为有理数 D.正数、负数和零统称为有理数 2、如果两个数的有理数的和是正数，那么这两个数（ ） A.一定都是整数 B.一定都是负数 C.一定都是非负数 D.至少有一个数是正数 4.下面说法正确的有（ ） ①一个有理数不是整数就是分数 ②一个有理数不是正数就是负数 ③一个整数不是正数就是负数 ④一个分数不是正数就是负数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、数轴 1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度,缺一不可. 3、在数轴上比较两个有理数大小的法则：①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大。

②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

考场_____________ 班级________________ 姓名________________ 学号______________ ………密…………………封…………………装…………………订…………………线…………1、如果在数轴上点A 表示－4，将A 向右移动7个单位长度,那么终点B 表示的数为________， 那么AB 间的距离为______。

与点A 相距7个单位长度的点所表示的数为_____或_____。

2、如果点A 表示－4，将A 向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，那么终点B 表示的数为______.3、下面语句正确的是（ ）A.数轴上的点都只能表示整数B.两个不同的有理数可以用数轴上的同一个点表示C.数轴上的一个点，只能表示一个数D.数轴上的点所表示的数都是有理数三、相反数：只有正负号不同的两个数叫做互为相反数。

注意:①相反数是成对出现的.②若a 和b 是互为相反数，则a+b=0③我们规定:零的相反数仍然是零.复习联系：1、判断下面句子的对错：①符号不同的两个数是相反数。

《有理数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π.（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a的绝对值记作a.（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0.（4）÷b=a ·1b(b ≠0) . （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0.(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3.（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)(3)分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒要点四、科学记数法1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法.例如：200 000=5210⨯.2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0.000 27有两个有效数字：2，7.注意：万=410，亿=108【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数专题复习357133 概念的理解与应用】【变式】(1)321-的倒数是；321-的相反数是；321-的绝对值是. -（-8）的相反数是；21-的相反数的倒数是_____ (2)_；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.(3) 某某浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m ／min.(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____. (5)位，有 个有效数字;近似数 5.47×105精确到位，有个有效数字;位，有个有效数字.(6) 3.4030×105保留两个有效数字是，精确到千位是.【答案】（1）35-；213；213；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）万分，4；千，3；千，2 （6）3.4×105，0×1052．如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005的值为( )．A．1 B．-1 C．22006 D．32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出y,x的值再代入计算．【答案】A【解析】因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0，所以由非负数的性质先求出x=2，y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1．【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.3.在下列两数之间填上适当的不等号：2005 2006________20062007．【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法由于20052006200520072006200610 200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007<法二：倒数比较法：因为2006112007 11 2005200520062006 =+>+=所以20052006 20062007<【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.举一反三：【变式】比较大小：(1)199-； (2)23-【答案】（1）＜（2）＞类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133有理数的混合运算】4．(1)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211143623324 (2)()(.)()-÷⨯-÷-5153151244 ()()()⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭23541324121522(4).⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1377751112534812863 (5)()⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯1003221511221132 【答案与解析】（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=- （3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=- （4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-= （5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等.举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯-； （2）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）原式3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭ 12705633012540=-++-+1391211204040=-+= 类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系.A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：31 35()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭【答案与解析】（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a.所以正确选项为：D（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索6. (2009·某某聊城)将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．。

一．正数和负数具有相反意义的量，一个规定为____数，另一个就是_____数。

在一个数前加一个_____（也可以不加）,这个数叫_______；在一个数前加一个______，这个数叫________。

★0既不是_______，也不是________写出一些正负数：正数__________________________负数______________________二、有理数的概念（一）有理数的定义与分类（1）整数和分数统称为有理数。

目前学过的数，除了______________________________外，都是有理数。

①无限不循环小数的类型1：:π和包含π的算式，例如：3π，π+2②无限不循环小数的类型2：2.010010001……，0.415115111511115……1.有理数的分类：第一种分法：先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”的属性分，第二种分法：先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”的属性分，想一想：①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？2.把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

例如：①所有正数组成的集合，叫做正数集合； ②所有负数组成的集合叫做负数集合；还记得吗？完成下面知识点的问题：初中数学基础知识讲义—有理数③所有整数组成的集合叫整数集合； ④所有分数组成的集合叫分数集合；⑤所有有理数组成的集合叫有理数集合； ⑥所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

⑦非正数， ⑧非负数， ⑨非正整数， ⑩非负整数（2）数轴1.____________________________________________叫数轴。

★数轴的方向通常习惯指向_________方或上方。

2.整数与数轴（1）任何一个整数都可以用________表示。

① 0用_______表示。

第一章有理数知识网络构造图第1页知识点1：有理数的基本观点中考要求：有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数会用有理数表示拥有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会务实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会务实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点总结：正数、负数、有理数跟着同学们视线的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不可以知足认知需要了.譬如一些拥有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C和零下4C等等，它们不只意义相反，并且表示必定的数目，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像 1、、17、2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.5负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前方的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前方的“＋”能够省略，注意3与3表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：假如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.比如：用正数表示向南，那么向北3km能够用负数表示为3km.“相反意义的量”包含两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数.正整数整数自然数零有理数(按定义分类)负整数分数正分数负分数正整数正有理数正分数有理数(按符号分类)零(零既不是正数,也不是负数)负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.板块一、基本观点例题解说第2页1、选择下边是对于0的一些说法，此中正确说法的个数是（）0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.2、下边对于有理数的说法正确的选项是（）．A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 .正整数会合与负整数会合合在一同就组成整数会合整数和分数统称为有理数D.正数、负数和零的统称为有理数板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值3、a和b是知足ab≠0的有理数，现有四个命题：a2的相反数是2a；②ab的相反数是a的相反数与b的相反数的差；2424b bab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．此中真命题有()个个个个4、一个数的绝对值大于它自己，那么这个数是( )A、正有理数B、负有理数C、零D、不可以能5、数轴上走开原点2个单位长度的点表示的数是____________；6、有理数-3，0，20，，，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个，非负数有______个；7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______；绝对值等于自己的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值必定是________数。