2010概率统计 A卷解答

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安徽工业大学2009—2010学年概率论与数理统计期末考试试卷（A）解答

考试日期：2010年7月5日

一、判断题(每小题3分,共15分,对打√，错打×)

1、设BA,相互独立，则 )()()(BpApBAp

（ × ）

2、设n,,,21是来自总体),(2N的样本,则)1(~)(212nnii（ × ）

3、设, 均服从正态分布，且相关系数 0，则 , 相互独立（ √ ）

4、设 )],,(),,,([,212^,211^nnxxxxxx 是参数 的置信度为95%的一个置信区间，则  落在该区间的概率为0.95（ × ）

5、在显著性假设检验中，显著性水平  就是控制犯弃真错误的概率（ √ ）

二、填空题（每小题 3分，共15分）

1、设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为0.6和0.5,则已命中的目标是被甲射中的概率为 0.75

2、设随机变量的分布列为1.0,,3.0,2.03,2,1,0c则C ＝ 0.4

3、设二维随机变量),(的密度函数为其他020,10),(),(yxyxayxf 则a= 1/3

4、设,为两个随机变量,已知3.0),cov(,3)(,2)(DD则)(D 4.4

5、设n,,,21是来自总体),(2N的样本,

则niiE12)( n-1 。

三、选择题（每小题 4分，共20 分）

1 n 张奖券中有m张是有奖的，k个人购买，每人1张，其中至少有一个人中奖的概率是（ A ）

A. knkmnCC1 B. knCm

C. knkmnmCCC11 D. knrmkrCC1

2、设随机变量的密度函数为)1(1)(2xx，则2 的概率密度为（ D ）

A.)4(12x; B. )1(12x C. xarctan1 D. )4(22x

3、设0，1，0，1，1为来自二项分布),1(PB的样本观察值，则p的矩估计值为（ C ）

A. 51 B. 52 C. 53 D. 54

4、在假设检验中，原假设0H，备择假设1H，则称（ B ）为犯第二类错误。

A. 0H 为真，接受0H B 0H不真，接受0H

C 0H为真，拒绝0H D. 0H不真，拒绝0H

5、设)1,2,(k)1(21}{kkkp则)(DE

A. 0 B . 1 C. 0.5 D. 不存在

四、计算题（每小题10分，共40分）

1罐中有6个红球，4个白球，从中每次任取一球后放入一个红球，直到取得红球为止，用表示抽取次数，求的分布列。

解: (1)因 53)1(p……………………………… (3分)

257)2(p……………………………… (5分)

12512)3(p……………………………… (7分)

125027)4(p……………………………… (8分)

12503)5(p……………………………… (9分)

故 的分布列为

 1 2 3 4 5

p

53 257 12512 125027 12503

……………………………… (10分)

2设服从参数为1的指数分布，即的密度函数为其他00,)(xexfx且题 号 一 二 三 四

五 总分 1 2 3 4

得 分

3e2求D与,E

由)1(~e 则 1,1DE……………………………… (2分)

2)(22EDE……………………………… (3分)

所以

49412)2()2(33dxexeeEExx……………………………… (5分)

2823541718)4(8)4(4)2(063632232dxeexeeeEEeEExxx

……………………………… (9分)

112373)(22EED……………………………… (10分)

3设总体的密度函数为10,)1()(xxxf，求

求参数的矩估计量与极大似然估计量。

解(1).21)1()(10dxxxdxxxfE ………………………

(2分)

记niin11

令21E……………………… (4分)

解得：121ˆ（其niin11）……………………… (5分)

(2) 取)()1()1()(11niinniixxL……………………… (6分)

niixnL1ln)1ln()(ln ……………………… (8分)

令01ln(1)(ln)nixnLi ……………………… (9分)

得)1ln()1ln(nixnixnii 即是的极大似然估计量. ………………………

(10分)

4设随机变量的分布列为,2,1,0,)41()(kCkpk求 （1）C的值，（2）)21(p

解: 由于134)41()41()(000CCCkpkkkkk

所以

43C……………………… (5分)

6415)16131(432)1()21(ppp……………… (10分)

五、证明题（10分）

设总体服从分布，其密度函数为其它,00,)(),(1xxexfx其中为已知常数。设n,,,21为来自总体的一个样本，1)(g试证

是)(g的无偏、有效估计。

证明：（1）dxxeTxdxxxfEx10)(),(…………………

(2分)

易知EE)(（i之间是相互独立的）……………………… (3分)

)(11)(1)(gEE……………………… (5分)

故是)(g的无偏估计

（2）2222)()2(),(TTdxxfxE………………………………

(6分)

222)()()(EED……………………… (7分)

2121)1(1)(nnDDnii……………………… (8分)

取1)(ln),(lnxeTxfx

则xxf()),(ln

222),(lnxf

)),(ln()(22xfEI……………………… (9分)

下界为21)()(nnIg

所以是)(g的有效估计……………………… (10分)