人教新课标版数学高一A版必修2导学案 直线的两点式方程
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精心校对 3.2.2 直线的两点式方程
1．掌握直线的两点式方程和截距式方程，以及各自的适用条件．
2．会选择适当的方程形式求直线方程．
3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式．
1．直线的两点式方程
(1)定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程y－y1y2－y1＝______叫做直线l的两点式方程，简称两点式．
(2)说明：与坐标轴______的直线没有两点式方程．
直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；
当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.
【做一做1】 过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是( )
A.y－5x－6＝y＋1x－2 B.y－62－6＝x－5－1－5 C.2－6y－6＝－1－5x－5 D.x－62－6＝y－5－1－5
2．直线的截距式方程
(1)定义：如图所示，直线l与两个坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程__________叫做直线l的截距式方程，简称截距式． 高中数学-打印版
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(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
【做一做2】 在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.x－3＋y4＝1 B.x3＋y－4＝1 C.x－3－y4＝1 D.x4＋y－3＝1
3．中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有 x＝ ，y＝ .
此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
【做一做3】 点P1(5，－2)，点P2(－7,6)，则线段P1P2的中点M的坐标为__________．
答案：1．(1)x－x1x2－x1 (2)垂直
【做一做1】 B
2．(1)xa＋yb＝1
【做一做2】 A
3.x1＋x22 y1＋y22
【做一做3】 (－1,2)
1．理解直线的两点式方程
剖析：(1)对于直线方程的两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，两点的坐标哪一个为(x1，y1)，哪一个为(x2，y2)，并不影响最终的结果，但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标．
(2)要注意方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 高中数学-打印版
精心校对 2．理解直线的截距式方程
剖析：(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为xa＋yb＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．
(2)直线方程的截距式在结构上的特点：
直线方程的截距式为xa＋yb＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距．如x3－y4＝1，x3＋y4＝－1等就不是直线的截距式方程．
3．求直线方程时方程形式的选择技巧
剖析：一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距；已知直线在两个坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．
题型一：利用两点式求直线方程
【例1】 已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求：
(1)BC边所在的直线方程；
(2)BC边上中线所在的直线方程．
反思：已知两点求直线的方程，可利用两点式直接写出其方程；求中线所在的直线方程，联想到中点坐标公式即可求出中点．在没有特殊要求的条件下，以后求出的直线方程化为Ax＋By＋C＝0的形式，且尽量满足：①A>0；②A，B，C均是整数时，最大公约数为1.
题型二：利用截距式求直线方程
【例2】 已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程． 高中数学-打印版
精心校对 反思：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时，常把直线方程设为截距式，由已知条件建立关于两截距的方程，解得截距的值，从而确定方程．
题型三：易错辨析
易错点 忽视截距为0的情形
【例3】 已知直线l过点P(2，－1)，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
错解：由题意，设直线l的方程为xa＋ya＝1，
∵直线l过点(2，－1)，∴2a＋－1a＝1，
∴a＝1，则直线l的方程为x＋y－1＝0.
错因分析：错解忽略了过原点时的情况．
反思：截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．
答案：【例1】 解：(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得y＋31＋3＝x－0－2－0，化简得2x＋y＋3＝0.
(2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为0－22，－3＋12，即D(－1，－1)．又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得y＋10＋1＝x＋1－4＋1，化简得x＋3y＋4＝0.
【例2】 解：由题意，可设A(a,0)，B(0，b)，
由中点坐标公式，可得 a＋02＝4，0＋b2＝1.
解得 a＝8，b＝2，故A(8,0)，B(0,2)．
由直线方程的截距式得直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0. 高中数学-打印版
精心校对 【例3】 正解：设直线l在两个坐标轴上的截距都为a.
若a＝0，则直线l过原点，其方程为x＋2y＝0；
若a≠0，则直线l的方程可设为xa＋ya＝1，
∵直线l过点(2，－1)，∴2a＋－1a＝1，
∴a＝1，则直线l的方程为x＋y－1＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y－1＝0.
1．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
2．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是__________．
3．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为__________．
4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且经过点A(2,2)．求直线l的方程．
答案：1．A 2.3x＋2y－6＝0 3.2x－y＋4＝0
4．解：(1)若直线l在两个坐标轴上的截距都为0，
则l经过O(0,0)和A(2,2)两点，其方程为x－y＝0.
(2)若截距不为0，可设截距为a，则直线l的方程为xyaa＝1.
∵l过点A(2,2)，∴22aa＝1，解得a＝4.
∴直线l的方程为44xy＝1，即x＋y－4＝0.
由(1)(2)知，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－4＝0.
