高中数学 3.2直线的两点式方程教案学案 新人教A版必修2

山东省泰安市肥城市第三中学高一数学人教A版必修2学案：3.2直线的两点式方程教案

学习内容 即时感悟

【情境导入】

1、直线方程的点斜式、斜截式方程

2、两点确定一直线，那么如何求过两点的直线方程？

【精讲点拨】

一、直线的两点式方程

探究1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点)5,3(),2,1(21PP,求直线l的方程.

（2）已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx，求通过这两点的直线方程。

直线的两点式方程

探究2、若点),(),,(222211yxPxxP中有21xx，或21yy，此时这两点的直线方程是什么？

例1、已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

二、直线的截距式方程

探究3、已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中0,0ba，求直线l的方程。

直线的截距式方程

对截距式方程要注意下面三点：

(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；

(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；

(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

例2、求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

探究4、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的使用范围

写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：

直线方程 形式 限制条件

点斜式

斜截式

两点式

截距式

问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？

三、直线和二元一次方程的关系

探究1、 直线的方程都可以写成关于,xy的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0AxByC（A,B不同时为0）都表示直线吗？

①当0B,0AxByC可化为 ,这是直线的 式.

②当0B,0A时, 0AxByC可化为 .这也是直线方程.

定义：关于,xy的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.

探究2、直线方程0AxByC（A,B不同时为0），A、B、C满足什么条件时，方程表示的直线

（1）平行于在x轴；

（2）平行于y轴；

（3）与x轴重合；

（4）与y轴重合；

（5）与x轴y轴都相交；

（6）直线在两坐标轴上的截距相等；

（7）直线过一、二、三象限。

(2，3)

探究3、证明两直线0111CyBxA，0222CyBxA平行与垂直满足的条件分别为：

（1）平行：01221BABA，且01221CBCB（分母不为0）

（2）垂直：02121BBAA

例3．根据下列条件，写出直线的方程，并把它写成一般式

（1）经过点A(6,-4)，斜率为34；

（2）经过点A(-1,8),B(4,-2)；

（3）在x轴,y轴上的截距分别为4，-3；

（4）经过点(3,0)，且与直线250xy垂直。

例4.把直线l的一般式方程062yx化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴和y轴上的截距，并画出图像。

【当堂达标】

练习：97页1,2,3；练习：99页1,2,3

【总结提升】

1、直线的两点式、截距式、一般式方程

2、直线方程的五种形式各有什么特点？应用的前提分别是什么。

3、、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的互相转化

【拓展·延伸】

1、已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在直线方程为（ ）

A、x+5y-15=0 B、x=3 C、x-y+1=0 D、y-3=0

2、过点P(1，2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是 .

3、经过点A（-1，-5）和点B（2，13）的直线在x轴上的截距式方程为 .

4、求经过点A(-3,8)B(10,6)的直线方程，并求出此直线在两坐标轴上的截距。

5、已知一条直线过点)4,5(P，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程。

平面直角坐标系中，直线320xy的倾斜角为（ ）

A、30 B、60 C、120 D、150

6.过点(1,3)P且垂直于直线032yx 的直线方程为（ ）

A、012yx B、052yx

C、052yx D、072yx

7．直线1yaxa的图象可能是（ ）

8．当0ABC时，直线0AxByC必通过定点____________。

9.设直线l的方程为(2)3mxym,根据下列条件分别求的值.

（1）l在x轴上的截距为2；

（2）斜率为1

10.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0平行，求实数m的值.

【教学反思】

答案解析：

例1利用点斜式得方程：y=-35x+2.x+13y+5=0.

例2.y=23x或x+y=5。

例3.（1）4x+3y-12=0; (2) 2x-y-16+0 (3) 3x-4y-12=0 (4)x-2y-3+0.

例4.y=21x+3.

达标练习：见课本

拓展延伸：1A ,2 .y=2x或x+y=3。3。4略

5.y=52x-2或y=58x+4. D 6.A 7.B 8.(1,1)

9.(1)m=34, (2)m=1.

10.m=0时，适合条件

m≠0时,m=5.

补充：A组：1.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m的值为( )

A.1 B.2

C.- D.2或-

【答案】D

【解析】∵直线在x轴上有截距,∴2m2+m-3≠0,

当2m2+m-3≠0时, yx0（A） yx0（B） yx0（C） yx0（D）

在x轴上的截距为=1,即2m2-3m-2=0,

解得m=2或m=-.

2.已知点A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),若点M(a,b)(a≠0)是线段AB上的一点,则直线CM的斜率的取值范围是( )

A.

B.[1,+∞)

C.∪[1,+∞)

D.

【答案】C

【解析】因kAC==1,kBC==-,且点A,B在y轴两侧.故选C.

3.经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )

A.x+2y-2=0或x+2y+2=0

B.x+2y+2=0或2x+y+2=0

C.2x+y-2=0或x+2y+2=0

D.2x+y+2=0或x+2y-2=0

【答案】D

【解析】设直线在x轴、y轴上的截距分别是a,b,则有S=|a·b|=1,即ab=±2.

设直线的方程是=1,

∵直线过点(-2,2),代入直线方程得=1,即b=,∴ab==±2,解得

故直线方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.

4.有一直线x+a2y-a=0(a>0,a是常数),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,a的值是( )

A.1 B.2 C. D.0

【答案】A

【解析】直线方程可化为=1,因为a>0,所以截距之和t=a+≥2,当且仅当a=,即a=1时取等号.

8.直线2x+3y+a=0与两坐标轴围成的三角形的面积为12,则a的值为

.

【答案】 ±12

【解析】令x=0得y=-;令y=0得x=-.

∴直线与x轴、y轴的交点分别为A,B.

∴S△AOB=··=12.

∴a2=12×12.

∴a=±12.

B组

1.已知A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上移动,则xy的最大值等于 .

【答案】3

【解析】 AB所在直线的方程为=1,

∴·.

∴xy≤3,当且仅当时取等号.

2.(2013届·福建三明检测)将直线l1:x-y-3=0,绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l2,则l2的方程为 .

【答案】x-y-3=0

【解析】已知直线的倾斜角是45°,旋转后直线的倾斜角增加了15°,由此即得所求直线的倾斜角,进而求出斜率和直线方程.直线l2的倾斜角为60°,斜率为,故其方程为y-0=(x-3),即x-y-3=0.如图.

3.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,且过定点A(-3,4),求直线l的方程.

【解】设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴、y轴上的截距分别是--3,3k+4,

由已知,得=6,

解得k1=-,k2=-.

所以直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

拓展延伸