高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法练习(含解析)新人教A版选修4

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1 / 7 2.绝对值不等式的解法

基础巩固

1不等式|4-x|≥1的解集为()

A.{x|3≤x≤5} B.{x|x≤3或x≥5}

C.{x|-4≤x≤4} D.R

答案：B

2不等式|𝑥+1𝑥-1|<1的解集为( )

A.{x|01}

B.{x|0

C.{x|-1

D.{x|x<0}

解析：|𝑥+1𝑥-1|<1⇔-1<𝑥+1𝑥-1<1

⇔{𝑥+1𝑥-1>-1,𝑥+1𝑥-1<1⇔{𝑥+1+𝑥-1𝑥-1>0,𝑥+1-𝑥+1𝑥-1<0

⇔{2𝑥(𝑥-1)>0,𝑥-1<0⇔x<0.

答案：D

3不等式|2𝑥-1|-2|𝑥+3|>0的解集为( )

A.{𝑥|𝑥>32或𝑥<-12}

B.{𝑥|-12<𝑥<32}

C.{𝑥|𝑥>32或𝑥<-12,且𝑥≠-3}

D.{x|x∈R,且x≠-3}

解析：|2𝑥-1|-2|𝑥+3|>0⇔{|2𝑥-1|>2,𝑥+3≠0⇔{2𝑥-1>2或2𝑥-1<-2,𝑥≠-3⇔{𝑥>32或𝑥<-12,𝑥≠-3.

答案：C

4若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值X围是()

A.[1,+∞) B.[2,+∞) word

2 / 7 C.(3,+∞) D.[4,5]

解析：设f(x)=x+|x-1|,则f(x)={2𝑥-1,𝑥≥1,1,𝑥<1,所以f(x)的最小值为1.所以当a≥1时,f(x)≤a有解,即实数a的取值X围为[1,+∞).

答案：A

5不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是()

A.{𝑥|𝑥>32}B.{𝑥|32<𝑥≤3}

C.{x|x≥3} D.{x|-3

解析：当x≤-3时,有-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,无解.

当-33,则x>32,

∴32<𝑥<3.

当x≥3时,有x+3-(x-3)>3,即6>3,

∴x≥3.

综上可知,原不等式的解集为{𝑥|𝑥>32}.

答案：A

6不等式4<|3x-2|<8的解集为.

解析：由4<|3x-2|<8,得{|3𝑥-2|>4,|3𝑥-2|<8⇒

{3𝑥-2<-4或3𝑥-2>4,-8<3𝑥-2<8

⇒{𝑥<-23或𝑥>2,-2<𝑥<103.

因此-2

故原不等式的解集为{𝑥|-2<𝑥<-23或2<𝑥<103}.

答案：{𝑥|2<𝑥<103或-2<𝑥<-23}

7不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为. word

3 / 7 解析：由{𝑥≤-2,-(𝑥-1)-(𝑥+2)≥5,得x≤-3;

由{-2<𝑥<1,-(𝑥-1)+(𝑥+2)≥5,无解;

由{𝑥≥1,(𝑥-1)+(𝑥+2)≥5,得x≥2.

故所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.

答案：{x|x≤-3或x≥2}

8若关于x的不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=.

解析：由|kx-4|≤2,得-2≤kx-4≤2,

即2≤kx≤6.

∵解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.

答案：2

9已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞),1𝑥+4𝑥≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值X围.

解:因为a>0,b>0,且a+b=1,

所以1𝑥+4𝑥=(𝑥+𝑥)(1𝑥+4𝑥)

=5+𝑥𝑥+4𝑥𝑥≥9,

当且仅当a=13,𝑥=23时,等号成立.

故1𝑥+4𝑥的最小值为9.

因为对任意的a,b∈(0,+∞),1𝑥+4𝑥≥|2x-1|-|x+1|恒成立,

所以|2x-1|-|x+1|≤9.

当x≤-1时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;

当-1

当x≥12时,x-2≤9,所以12≤x≤11.

综上所述,x的取值X围是[-7,11].

10已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).

(1)当a=4时,求不等式的解集; word

4 / 7 (2)若不等式有解,某某数a的取值X围.

解: (1)令f(x)=|2x+1|-|x-1|,当a=4时,f(x)≤2.

当x<−12时,-x-2≤2,得-4≤x<−12;

当−12≤x≤1时,3x≤2,得−12≤x≤23;

当x>1时,x≤0,此时x不存在.

所以原不等式的解集为{𝑥|-4≤𝑥≤23}.

(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|={-𝑥-2, 𝑥<-12,3𝑥,-12≤𝑥≤1,𝑥+2,𝑥>1,

则f(x)∈[-32,+∞),

即f(x)的最小值为−32,

所以f(x)≤log2a有解,则log2a≥−32,

解得a≥√24,即a的取值X围是[√24,+∞).

能力提升

1“a<4”是“对任意实数x,|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的()

A.必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：∵|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-(2x+3)|=4,

∴当a<4时⇒|2x-1|+|2x+3|≥a成立,即充分条件成立;

对任意实数x,|2x-1|+|2x+3|≥a⇒a≤4,不能推出a<4,即必要条件不成立.

答案：B

2若关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值X围为()

A.(-∞,-1]∪[4,+∞)

B.(-∞,-2]∪[5,+∞)

C.[1,2] word

5 / 7 D.(-∞,1]∪[2,+∞)

解析：由绝对值的几何意义,得|x+3|-|x-1|的最大值为4.因此a2-3a≥4恒成立,即a≥4或a≤-1.

答案：A

3已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为()

A.{x|x<-1} B.{x|x<1}

C.{x|x<1,且x≠-1} D.{x|x>1}

解析：因为a>0,且a≠1,

所以函数f(x)=2-ax为减函数.

又因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,

所以0

所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0.

由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,

即x2+2x+1

解得x<1.又x≠-1,且x≠3,

所以原不等式的解集为{x|x<1,且x≠-1}.

答案：C

4若不等式|2a-1|≤|𝑥+1𝑥|对一切非零实数𝑥恒成立,则实数𝑥的取值X围是

.

解析：|𝑥+1𝑥|=|𝑥|+1|𝑥|≥2,

所以由已知得|2a-1|≤2,

即2a-1≤2或2a-1≥-2,

解得−12≤a≤32.

答案：[-12,32]

5不等式|1+𝑥+𝑥22|<1的解集为 .

解析：方法一:|1+𝑥+𝑥22|<1⇔-1<1+x+𝑥22<1⇔{𝑥2+2𝑥+4>0𝑥𝑥∈R,𝑥2+2𝑥<0𝑥-2<𝑥<0.

故原不等式的解集为(-2,0).

方法二:∵1+x+𝑥22=12(𝑥2+2𝑥)+1=12(𝑥+1)2+12>0, word

6 / 7 ∴原不等式可化为1+x+𝑥22<1,

即x2+2x<0.∴-2

答案：(-2,0)

6不等式|2x-1|+x>1的解集是.

解析：方法一:把|2x-1|+x>1移项,得|2x-1|>1-x,把此不等式看作|f(x)|>g(x)的形式得2x-1>1-x或2x-1<-(1-x),解得x>23或x<0.

故原不等式的解集为{𝑥|𝑥>23或𝑥<0}.

方法二:用分类讨论的方法去掉绝对值符号.

当x>12时,2x-1+x>1,解得x>23;

当x≤12时,1-2x+x>1,解得x<0.

综上,得原不等式的解集为{𝑥|𝑥>23或𝑥<0}.

答案：{𝑥|𝑥>23或𝑥<0}

★7不等式1<|2x+1|≤3的解集为.

解析：原不等式可化为{|2𝑥+1|≤3, ①|2𝑥+1|>1.②

解不等式①,得-3≤2x+1≤3,

∴-2≤x≤1.

解不等式②,得2x+1>1或2x+1<-1,

∴x>0或x<-1.

∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤1}∩{x|x>0或x<-1}={x|0

答案：{x|0

8设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式f(x)>2;

(2)求函数y=f(x)的最小值.

解: (1)由f(x)=|2x+1|-|x-4|, word

7 / 7 得f(x)={-𝑥-5, 𝑥≤-12,3𝑥-3,-12<𝑥<4,𝑥+5,𝑥≥4.

作出函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的图象(图象略),它与直线y=2的交点为(-7,2)和(53,2),

所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-∞,-7)∪(53,+∞).

(2)由y=|2x+1|-|x-4|的图象(图略)可知,当x=−12时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值−92.

★9已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立.

(1)请验证a=-2,b=-8满足题意;

(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由;

(3)若对一切x>2,均有关于x的不等式x2+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,某某数m的取值X围.

解: (1)当a=-2,b=-8时,有|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|.

(2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中,分别取x=4,x=-2,得{|16+4𝑥+𝑥|≤0,|4-2𝑥+𝑥|≤0,

∴{16+4𝑥+𝑥=0,4-2𝑥+𝑥=0.∴𝑥=−2,𝑥=−8,

因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.

(3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),

得x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,

即x2-4x+7≥m(x-1).

因此对一切x>2,均有不等式𝑥2-4𝑥+7𝑥-1≥m成立.

∵𝑥2-4𝑥+7𝑥-1=(𝑥−1)+4𝑥-1−2≥2√(𝑥-1)·4𝑥-1−2=2(当且仅当x=3时,等号成立),

∴实数m的取值X围是(-∞,2].