高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式练习(含解
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1 / 4 二 绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
课后篇巩固探究
A组
1.设ab>0,下面四个不等式:
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.
其中正确的是()
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
解析∵ab>0,∴a,b同号.
∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.
答案C
2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()
A.10 B.3 C.7 D.4
解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.
答案D
3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()
A.m>n B.m 解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. ∴≤1≤.∴m≤n. 答案D 4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 () A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定 解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2. 答案B 5.若关于x的不等式|x|+|x-1| A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1, ∴若关于x的不等式|x|+|x-1| 答案C 6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是. 解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5. 答案51 7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是. 解析设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值. word 2 / 4 ∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1, 即f(x)max=1,∴a≥1. 答案[1,+∞) 8.不等式≥1成立的充要条件是. 解析≥1⇔≥0⇔ (|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0). 而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0. ∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|. 答案|a|>|b| 9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2. 证明∵m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m, ∴ ∴ ==2. 故原不等式成立. 10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当函数f(x)的定义域为R时,某某数a的取值X围. 解(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0, 即|x-1|+|x-5|>a. 设g(x)=|x-1|+|x-5|, 由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4, 当a=2时,∵g(x)min=4, ∴f(x)min=log2(4-2)=1. (2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4. ∵|x-1|+|x-5|-a>0, ∴a ∴a<4,即a的取值X围是(-∞,4). B组 1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| =(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|) ≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3, 当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0, 即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. 答案C word 3 / 4 2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于. 解析令y=|2x+1|-|x-4|, 则y= 作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-. 答案- 3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为. 解析=4. 答案4 4.下列四个不等式: ①logx10+lg x≥2(x>1); ②|a-b|<|a|+|b|; ③≥2(ab≠0); ④|x-1|+|x-2|≥1, 其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上) 解析∵x>1,∴lgx>0, ∴logx10+lgx=+lgx≥2,①正确; 当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab≠0,同号, ∴≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知 |x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确; 综上,①③④正确. 答案①③④ 5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证明∵|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)| =|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1| <|x+a-1| =|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1 =2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证: word 4 / 4 (1)|c|≤1; (2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2. 证明(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1, ∴|f(0)|≤1,即|c|≤1. (2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数, ∴g(-1)≤g(x)≤g(1). ∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b =-f(-1)+c ≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2, ∴|g(x)|≤2. 当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1). ∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2. ∴|g(x)|≤2. 当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综上可知,|g(x)|≤2.
