高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式(第2课时)学案 新人教A版选修4-5-新人
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二 绝对值不等式
2.绝对值不等式的解法
1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题．
2．了解绝对值不等式的几何解法．
1．含有绝对值的不等式的解法(同解性)
(1)|x|＜a ，a>0， ，a≤0.
(2)|x|＞a ，a>0， ，a＝0， ，a<0.
对于不等式|x|＜a(a＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合．如图：
【做一做1】 若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝( )
A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}
2．|ax＋b|≤c(c＞0)，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．
(2)|ax＋b|≥c(c＞0)的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．
【做一做2－1】 若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6，则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【做一做2－2】 |2x＋1|＞|5－x|的解集是__________．
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
有三种不同的解法：
解法一可以利用绝对值不等式的________．
解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的______，进而去掉__________．
解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．
|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的三种解法可简述为：①几何意义；②根分区间法；③构造函数法． 【做一做3】 不等式|x－1|＋|x－2|＜2的解集是__________．
答案：1．(1)－a＜x＜a 无解
(2)x＞a或x＜－a x≠0 x∈R
【做一做1】 B 方法一：由代入选项验证可排除选项A、C、D，故选B.
方法二：M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{0,3}，
∴M∩N＝{0}．
2．(1)－c≤ax＋b≤c
(2)ax＋b≥c ax＋b≤－c
【做一做2－1】 A ∵由p：|x＋1|≤4，得－4≤x＋1≤4，即－5≤x≤3，又q：2＜x＜3，∴p为x＞3或x＜－5，q为x≥3或x≤2. ∴pq，而qp，∴p是q的必要不充分条件．
【做一做2－2】 (－∞，－6)∪(43，＋∞)
∵|2x＋1|＞|5－x|，∴(2x＋1)2＞(5－x)2.
∴3x2＋14x－24＞0.
∴x＜－6或x＞43.
3．几何意义
零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数的图象
【做一做3】 (12，52) 当x≤1时，1－x＋2－x＜2，即2x＞1，∴12＜x≤1；当1＜x＜2时，x－1＋2－x＜2恒成立，即1＜x＜2；当x≥2时，x－1＋x－2＜2，即2x＜5，
∴2≤x＜52.
综上，12＜x＜52.
1．用分段讨论法解含绝对值的不等式
剖析：用分段讨论法解含绝对值的不等式时，先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．
在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集．解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然用的都是分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．
2．几个特殊的含绝对值的不等式的区别
剖析：(1)|x－4|－|x－3|＞a有解，则a的取值范围是______； (2)|x－4|－|x－3|＞a的解集为R，则a的取值范围是______；
(3)|x－4|＋|x－3|＜a的解集为，则a的取值范围是______；
(4)|x－4|＋|x－3|＞a的解集为R，则a的取值范围是______．
处理以上这种问题，我们可以与函数y＝|x－4|－|x－3|，y＝|x－4|＋|x－3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为[－1,1]，而第二个函数的最小值为1，即|x－4|＋|x－3|≥1，所以(1)|x－4|－|x－3|＞a有解，只需a＜1；|x－4|－|x－3|＞a的解集是R，则说明是恒成立问题，所以a＜[|x－4|－|x－3|]min＝－1，即a＜－1；|x－4|＋|x－3|＜a的解集为，说明a≤[|x－4|＋|x－3|]min＝1，所以a≤1；|x－4|＋|x－3|＞a的解集为R，说明a＜[|x－4|＋|x－3|]min＝1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a的范围．而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助．
题型一 解|ax＋b|≥c(c＞0)和|ax＋b|≤c(c＞0)型的不等式
【例1】 不等式|3x－2|＞4的解集是( )
A．{x|x＞2} B．{x|x＜－23} C．{x|x＜－23或x＞2} D．{x|－23＜x＜2}
【例2】 不等式|5x－x2|＜6的解集为( )
A．{x|x＜2或x＞3} B．{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}
C．{x|－1＜x＜6} D．{x|2＜x＜3}
反思：形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即①当a＞0时，|f(x)|＜a－a＜f(x)＜a.
|f(x)|＞af(x)＞a或f(x)＜－a.
②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a|f(x)|≠0.
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞af(x)有意义．
题型二 解|f(x)|＞g(x)型的不等式
【例3】 解不等式|x－x2－2|＞x2－3x－4.
反思：本题形如|f(x)|＞g(x)，我们可以借助形如|ax＋b|＞c的解法转化为f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)，当然|f(x)|＜g(x)－g(x)＜f(x)＜g(x)．而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式．
题型三 解|x＋a|＋|x＋b|≥c(c＞0)型的不等式
【例4】 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．
反思：|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
①分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x|＝ x x≥0－x x＜0，也即x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为－x，即x的相反数．
②|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝ －2x＋a＋b－c x≤ab－a－c a＜x＜b2x－a－b－c x≥b.
这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．
③几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．
题型四 含有参数的绝对值不等式的解法
【例5】 (2010福建高考，理21选做3)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
反思：含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．
答案：
【例1】 C 可以利用|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法．
方法一：由|3x－2|＞4，
得3x－2＜－4或3x－2＞4.
即x＜－23或x＞2.
所以原不等式的解集为{x|x＜－23或x＞2}．
方法二：(数形结合法)
画出函数y＝|3x－2|＝ 3x－2，x≥23，2－3x， x<23的图象，如下图所示：
由|3x－2|＝4，解得x＝2或x＝－23.在同一坐标系中画出直线y＝4，所以交点坐标为(2,4)与(－23，4)．
所以|3x－2|＞4时，x＜－23或x＞2. 所以原不等式的解集为{x|x＜－23或x＞2}．
【例2】 B 可以利用|x|＜a(a＞0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果． 方法一：由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.
∴－6＜x2－5x＜6.
∴ x2－5x＋6>0x2－5x－6<0 x－2x－3>0x－6x＋1<0
x<2或x>3，－1
∴－1＜x＜2或3＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
方法二：作函数y＝x2－5x的图象，如下图所示．
|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合．
解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6.
解方程x2－5x＝－6，得x1′＝2，x2′＝3.
即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
【例3】 解：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，
而x2－x＋2＝(x－12)2＋74＞0，
∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，
故原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4.
∴x＞－3.
∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．
【例4】 解法一：如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－32.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，
