实对称矩阵可对角化的充要条件

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分类号O15

商洛学院学士学位论文

矩阵的可对角化及其应用

作者单位 数学与计算科学系

指导老师 刘晓民

作者姓名 陈毕

专业﹑班级 数学与应用数学专业07级1班

提交时间 二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用

陈毕

（数学与计算科学系2007级1班）

指导老师 刘晓民

摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.

关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换

Matrix diagonolization and its application

Chen Bi

(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)

Advisor:Lecturer Liu Xiao Min

Abstract: Matrix diagonolization problem is an important

problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of

special matrix, in theory and application has the extremely vital

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实对称矩阵的正交相似对角化

作者：舒阿秀

来源：《教育教学论坛》2017年第12期

摘要：矩阵的对角化问题是高等代数研究的核心问题之一，本文主要针对实对称矩阵，讨论了它既合同又相似于对角阵的三种方法，并具体举例说明.

关键词：实对称矩阵；对角化；正交

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）12-0208-02

矩阵对角化问题是代数学和矩阵论中最基本的问题之一.将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法，即通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相似对角化方法相同，本文不再赘述；下面我们重点研究将一个实对称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种，分别是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法.

一、Schmidt正交法

二、直接正交法

当实对称矩阵A的某一特征根λ为t（t>1）重根时，我们可以求出属于λ的t个特征向量，要得到t个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量.

三、度量矩阵法

使用该方法时，需要对度量矩阵和合同变换有清晰的了解.利用正定矩阵合同于单位矩阵，求的原基与新基之间的“过渡矩阵”是该方法的关键.

参考文献：

[1]北京大学数学系.高等代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007. 龙源期刊网

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实对称矩阵的正交对角化

摘 要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。

关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化

作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。

Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。 下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。

（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。

（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。

Ii：αi1，αi2，…，αini

则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。

令P1=（I1，I2，…，Ik），

则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。

（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。

Ji：ei1，ei2，…，eini

则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。

说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini

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矩阵可对角化的条件

学生：翟亚丽 指导老师：王全虎

一 引言

矩阵可对角化的问题是高等代数和矩阵论最基本的问题之一，也是人们一直研究的问题之一。从矩阵对角化的判别法则到矩阵对角化的方法，从矩阵对角化的方法再到矩阵可对角化的条件，再延伸到矩阵的广义对角化，本文从矩阵可对角化的各种例子和矩阵可对角化的各种定理归纳总结出矩阵可对角化的条件。

二 矩阵可对角化的概念

定义【2】 设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F 上一个n阶可逆矩阵T使得T-1AT具有对角形式100naa那么就称矩阵A可对角化。

三 矩阵可对角化的相关定理

定理1【1】 n阶矩阵A相似对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2【3】 设i是线性变换的特征值，它的代数重数为in，几何重数为im，且1iimn则可对角化的充分必要条件是：每个特征值的几何重数都等于代数重数。

定理 3【3】 A可对角化A的最小多项式没有重根。

四 由矩阵可对角化的定理所引出的矩阵可对角化的条件及其相互之间的关系。

（一）设【12】()nMF，K重根按k个计算，则A可对角化A有n个特征根，

自然会问：A有n个特征根是否也是A可对角化的充分条件？

看例子11()01nMF 则2()(1)Axx于是A有2个特征值为1，但A却不能对角化，故此例告诉我们A有n个特征根只是A可对角化的必要条件，而非充要条件。而且一般形如1,0kkFk的矩阵都不能对角化。在给出A可对角化的充要条件时需对特征根的特征向量要进一步讨论，

若矩阵A有n个线性无关的特征向量则该矩阵可对角化，又有定理

（二）设()nMF，若在F中，A有n个不同的特征根，则A可对角化。 2

因为，不同特征根对应的特征向量必线性无关，则特征向量线性无关时可得出矩阵可对角化。A有n个不同的特征根是不是A可对角化的必要条件呢？