矩阵可对角化的判定条件及推广

第３４卷　第２期　湖北师范学院学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．２，２０１４　

两个实对称矩阵可同时合同对角化的条件　

罗高骏，周　良　

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）　

摘要：矩阵对角化是高等代数研究的重要课题之一。对于一个矩阵对角化的问题，许多文章已得到了很好　的结果。给出了一系列两个实对称矩阵＂－Ｊ－Ｎ时合同对角化的充分和充要条件。　关键词：实对称矩阵；同时合同对角化；对角矩阵　

中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－２７１４（２０１４）０２—００６１－０４　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９—２７１４．２０１４．０２．０１４　

１引言与引理　

如果矩阵Ａ和它的转置矩阵Ａ　相等，那么就称Ａ为对称矩阵。　

对于数域Ｐ上的两个ｎ级方阵Ａ，Ｂ，如果存在数域Ｐ上的ｎ级可逆方阵Ｃ，使得Ｂ＝Ｃ＇ＡＣ，那么　

称Ａ合同于曰．　

对于复数域Ｃ上１７１，×ｎ矩阵Ａ，定义　（Ａ）＝｛Ｙ∈Ｃ　：），＝Ａｘ，　∈Ｃ“｝为矩阵Ａ的值域。　

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵，可对角化矩阵在线性代数中有重要的应　

用，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到　

同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。　

数域ＪＰ上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵（参看［１］第五章的定理２）。　

对于数域Ｐ上的两个　级方阵Ａ，　，如果存在数域Ｐ上的１７，级可逆方阵Ｃ，使得Ｃ　Ｃ和Ｃ　ＢＣ　

都是对角矩阵，那么称Ａ与曰可同时合同对角化。　

许以超先生在［３］的第十五章的定理４指出：两个ｎ级实对称方阵Ａ，曰构成的Ａ一矩阵Ａ＋　

ＡＢ合同于一个分块对角矩阵，其中的对角块由以及五种标准块构成（参见［３］）。　

由于对角矩阵是最简单的分块对角矩阵，因此本文研究两个ｒｔ级实对称方阵在什么条件下可同　

二ｏ　ｏ二年　第三期　克　山　师专学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｋｅｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ＮＯ．３　２００２　

矩阵可对角化条件的研究　

关宝玲，李立　

（克山师专数学系．黑龙江　克山　Ｉ　６１６０Ｉ）　

摘　要：本文将在高等代数中所给出的矩障可对角化条件基础上，给出另一个充要条件，并给出　

其中一个已知结论的具体证明　

关键词：矩阵对角化：特征根的重数　

中图分类号：Ｏ２４１．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９ｍ３９５８（２００２）０３—Ｏ０２ｏ＿一０３　

矩阵可对角化的条件，在高等代数教材已给出四个，本文给出另一个充要条件及对已给出的一个结论进行　

证明，作以补充．从而使对矩阵可对角化研究更加深入、全面：　

命题，设　是数　上一　阶矩阵，如果Ａ的特征多项式　，Ｆ内　个单根，那么，ｊ可对角化。　

命题　幽是数　上一　阶矩阵．Ａ可以对角化充务必要条件是　

ｒ，，．４的特征根都在　内　

ｒ　２　对于　的每一特征根　，秩ｆ　１－Ａ，＝ｒｔ．Ｓ这里Ｓ是　的重数　

命韪　设　是，　维向量空间『咱々一个线性变换．　的矩阵可以对角化的充要条件是　有，　线性无关的特征　

向量　

命题　设　是　维向量空问『咱々一个线性变换，　

下不变的一维子空间１４＂１、　，…、　的直和：　

证明：ｍ若　可以对角化．则存在一组Ｉ的基　

此基下的矩阵为　的矩阵可以对角化的充要条件是７可以分解为　在　之　

：、”、　使　在　

令　，＝￡，　１，　＝￡，　２，、…、　：￡，　，，　

则７　＝　０Ｗ－＂０…０　

事实一卜：　，Ｖ　７７∈　，贝０　７７：七Ｉ　Ｉ十七２　！＋…＋　

｜口ｌ∈　ｒ　ｆ　｜．２．…一ｎ｝　７７∈ｆｆ　一　十・・・上　ｎ　即７　＝　一肌一・，・十　

２｛　毒∈ｌ１　ｒ、ｆ　。ｔ＋…一　．｝＋Ｗｔ｜上…ｔＷｎ）　ｆ｝＝ｉ　２　…　ｎＪ　

∈　且　∈　一Ｉｊ　一…上　：＋　一　一十　

｛：｛ｔ　＝　一＿‘‘＋｛ｒ．ｒ　｝－－ｔ一一…ｔ｝ｎ　

ｒ　ｆ　∈　／＝，、？、…、月）　

２０１０年第１２卷第６期　总第１０５期　巢湖学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈａｏｈｕ　ＣｏＨｅｇｅ　Ｎｏ．６．，Ｖｏ１．１２．２０１０　Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｓｅｒｉａｌ　Ｎｏ．１０５　

矩阵可对角化的几个判定方法　

贾正华　

（巢湖学院数学系，安徽巢湖２３８０００）　

摘　要：在本文中将给出矩阵对角化的几个判定方法。　

关键字：矩阵可对角化特征根；特征向量最小多项式　

中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—２８６８（２０１０）０６—０００６—０５　

矩阵可对角化即矩阵与对角矩阵相似是矩阵论中一个重要的概念是简化矩阵运算和运用的一个　

重要理论。几年来，本人给本科生上考研高等代数辅导中发现对角化的问题一直困扰着大部分人，为此　

我将这个问题归纳如下。以飨读者。　

命题：Ａ为复数域上一个ｎ阶方阵。则下列条件等价。　

（１　Ｍ可对角化，即存在可逆１７，阶复方阵Ｐ使得Ｐ－￣ＡＰ＝－ｄｉａｇ（Ａ。，Ａｚ，…，Ａ　）．　

（２）　有ｎ个线性无关的特征向量。　

（３）Ｃｎ可分解成　的所有的特征子空间的直和。　

（４）Ａ的初等因子都是一次的。　

（５　的最小多项式无重根。　

（６）对Ａ的每一个特征根均有秩（Ａ　）＝秩（ＡＥ－Ａ）　．　

（７）对Ａ的任一特征根均有秩（ＡＥ．Ａ）＝　—ｋ，其中ｌｊ｝为Ａ的重数。　

（８）Ａ的特征多项式　（Ａ）：ＩＡＥ－Ａ　Ｉ消重因式后，即ｇ（Ａ）　，那么ｇ（Ａ）＝　

下面来证明命题的正确性。　

１．（１）铮（２）见［１］　

２．为证（１）甘（３）　

先证两个引理　

设Ａ的的特征多项式　（Ａ）＝ＩＡＥ．Ａ　Ｉ＝（Ａ—Ａ　）　（Ａ—Ａ。）　…（Ａ—Ａ。）　

其中Ａｉ＃　（ｉ＃ｊ）　ｎｉ￣／＇ｔ．记　为Ａ的属于特征值Ａｉ的特征子空间，　１，２，…，　．　

引理１：Ｖ　。＋Ｖ　＋…＋Ｖ　为直和。　

证：设口１＋ｏａ＋…＋ａｔ＝０，ｑ∈Ｖ＾．ｉ＝１，２，…ｔ．分别用Ａ，Ａ　，…Ａ　左乘上式，并由Ａｑ＝Ａ‘ｑ　ｉ＝１，２，　

1

矩阵可对角化的条件

学生：翟亚丽 指导老师：王全虎

一 引言

矩阵可对角化的问题是高等代数和矩阵论最基本的问题之一，也是人们一直研究的问题之一。从矩阵对角化的判别法则到矩阵对角化的方法，从矩阵对角化的方法再到矩阵可对角化的条件，再延伸到矩阵的广义对角化，本文从矩阵可对角化的各种例子和矩阵可对角化的各种定理归纳总结出矩阵可对角化的条件。

二 矩阵可对角化的概念

定义【2】 设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F 上一个n阶可逆矩阵T使得T-1AT具有对角形式100naa那么就称矩阵A可对角化。

三 矩阵可对角化的相关定理

定理1【1】 n阶矩阵A相似对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2【3】 设i是线性变换的特征值，它的代数重数为in，几何重数为im，且1iimn则可对角化的充分必要条件是：每个特征值的几何重数都等于代数重数。

定理 3【3】 A可对角化A的最小多项式没有重根。

四 由矩阵可对角化的定理所引出的矩阵可对角化的条件及其相互之间的关系。

（一）设【12】()nMF，K重根按k个计算，则A可对角化A有n个特征根，

自然会问：A有n个特征根是否也是A可对角化的充分条件？

看例子11()01nMF 则2()(1)Axx于是A有2个特征值为1，但A却不能对角化，故此例告诉我们A有n个特征根只是A可对角化的必要条件，而非充要条件。而且一般形如1,0kkFk的矩阵都不能对角化。在给出A可对角化的充要条件时需对特征根的特征向量要进一步讨论，

若矩阵A有n个线性无关的特征向量则该矩阵可对角化，又有定理

（二）设()nMF，若在F中，A有n个不同的特征根，则A可对角化。 2

因为，不同特征根对应的特征向量必线性无关，则特征向量线性无关时可得出矩阵可对角化。A有n个不同的特征根是不是A可对角化的必要条件呢？