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锐角三角函数(全)

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锐角三角函数（1）

一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为m35，求需要准备多长的水管？

探究：如图，ABCRt与CBARt中，90CC，AA，探究ABBC与BACB的关系

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.

※在ABCRt中，90C，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作Asin

如图，ABBCcaAAA的斜边的对边sin 同理：ABACcbBBB的斜边的对边sin

二．例题与练习：

1.例题：如图，在ABCRt中, 90C，求Asin和Bsin的值.

2.练习：

1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是﹙ ﹚

A．43 B．34 C．53 D．54

2.如图，在ABCRt中, 90C，若5AB，4AC，则Asin的值是（ ）

A．53 B．54 C．43 D．34

3.在ABCRt中，90C，2BC，32sinA，则边AC的长是( )

A．13 B．3 C．34 D．5

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且5AB，3BC．

则BACsin = ；ADCsin = .

5．在ABCRt中，90ACB，ABCD于点D.已知5AC，2BC，那么ACDsin的值为（ ）

A．53 B．23 C．255 D．52 --1--  三．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A的对边与邻边的比是一个固定值，

※在ABCRt中，90C，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.记作Acos

如图，ABACcbAAA的斜边的邻边cos 同理：ABBCcaBBB的斜边的邻边cos

※在ABCRt中，90C，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作Atan

如图，ACBCbaAAA的邻边的对边tan 同理：BCACabBBB的邻边的对边tan

四．例题与练习：

例题：如图，在ABCRt中，90C，6BC，53sinA，求Acos，Btan的值.

练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值

2.如图，在ABCRt中，90C，8AC，43tanA，求Asin、Bcos的值

五．课后作业：

1.在ABCRt中，90C，a，b，c分别是A、B、C的对边，则有（ ）

A．Aabtan B．Acbsin C．Bcacos D．Aacsin

2. 在ABCRt中，90C，如果54cosA，那么Btan的值为（ ）

A．53 B．45 C．43 D．34

3．如图：P是的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos=______.

4.分别求出图中A、B的正弦值、余弦值和正切值

（B层）在ABC中，aAB，bAC，A，求ABC的面积（用含有字母a，b，的式子表示）

--2—

三 角 函 数（2）

一．探究：如图，在ABCRt中，90C.

⑴如图1，30A，求Asin、Acos、Atan的值；

⑵如图1，60B，求Bsin、Bcos、Btan的值；

⑶如图2，45A，求Asin、Acos、Atan的值；

二．结论：1.完成表格：

2.⑴A的正弦值随着A的角度的增大而 .

⑵A的余弦值随着A的角度的增大而 .

⑶A的正切值随着A的角度的增大而 .

三．例题与练习：

例题1：求下列各式的值：

⑴60sin60cos22 ⑵45tan45sin45cos

例题2：⑴如图1, 在ABCRt中，90C,6AB，3BC，求A的度数.

⑵如图2，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍,求.

练习：1.求下列各式的值：

⑴ 30cos30sin21 ⑵ 60sin245tan30tan3 ⑶ 30tan160sin160cos

2. 在ABCRt中，90C,7BC，21AC，求A、B的度数.

--3--

四．课堂检测：计算：45sin30sin245cos60cos22

1.将BBsin23cos21改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ）

A. BBsin30coscos30sin B. BBsin60sincos30sin

C. BBsin30coscos60cos D. BBsin30sincos60cos

2. 在ABCRt中，90C,3:ba，则Asin的值是（ ）

A. 21 B. 22 C. 23 D. 33

3.在ABC中，A、B都是锐角，且21sinA，23cosB，则ABC的形状为（ ）

A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

4.化简2130tan的结果为（

）

A.331 B.13 C. 133 D. 31

5.已知03sin2，则锐角的度数为 .

6.已知B是锐角，若212sinB，则Btan的值为 .

7. 在ABCRt中，90C,23sinB，则Acos的值为 .

8.已知2390sin，则锐角的度数为 .

9. 求下列各式的值：

⑴30cos60tan45tan60sin230tan22 ⑵30sin30cos30tan4345sin60cos222

10. 在ABCRt中，90C,3tanA，且cmAB10，求AC、BC的长.

11.如图，一块为ABC的空地，mAC10，mBC30，150C，现在这块空地上种植每平方米a元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？

（B层）12.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知kmAC10，30A，45B，求开通隧道后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）

--4--

锐角三角函数（3）

一．例题与练习：

例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）

⑴20sin ⑵70cos ⑶2315sin ⑷8274cos ⑸83tan ⑹345280tan

由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想

练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）

⑴35sin ⑵55cos ⑶4237sin ⑷8221cos ⑸0236tan ⑹7175tan

例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角

⑴6275.0sinA ⑵6252.0cosA ⑶8425.4tanA

练习：⑴0547.0sinA ⑵1659.0cosA ⑶8816.0tanA

⑷9816.0sinA ⑸8607.0cosA ⑹1890.0tanA

例题3：如图，要焊接一个高m5.3，底角为32的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）

练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边AD、BC的长分别为cm31.62和cm24.35，它们之间的夹角B为0435，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）

二．课堂检测：

1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：

⑴0325sin= ； ⑵8162cos= ； 0526tan= .

2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角

⑴4723.0sinA，A= ；⑵3812.0cosA，A= ；⑶94.15tanA，A= ；

--5--

三．课后练习：

1．计算30tan360sin2的值为（ ）

A．3 B．32 C．33 D．34

2．在ABCRt中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值（ ）

A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍

3．已知为锐角，3tan，则cos等于（ ）

A．21 B．22 C．23 D．33

4．如果等腰三角形的底角为30，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）

A．4.52cm B．392cm C．3182cm D．362cm

5．ABCRt中，90C，cmb5，cma12，则Bcos等于（ ）

A．125 B．125cm C．1312 D．1312cm

6.已知7415926.0cos，则的度数为（ ）

A．40 B．41 C．42 D．43

7.已知5761.0cosA，则A ；若21.15tanA，则A ；若3562.0sinA，则A ；

8.某人沿倾斜角为25的斜坡前行了100m，则他上升的最大高度为 （精确到0.01m）

9．计算：⑴ 60sin45sin660cos2

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培优讲义03：锐角三角函数(一)

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一点通教育

学习改变命运，勤奋成就未来！ 初三数学冲刺班讲义

让孩子更优秀

第 1 页 共 5 页 第三讲：锐角三角函数（一）

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。

sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

考点一：锐角三角函数的定义

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）

A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）

A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE△DFA≌△；

专题28 锐角三角函数(解析版)

专题28 锐角三角函数(解析版)

专题28 锐角三角函数

知识点一：锐角三角函数

1．三角函数定义

在Rt△ABC中，若∠C=90°

A sinA ac的对边斜边

A cosA bc的邻边斜边

A tanA A ab的对边的邻边

A cotA A ba的邻边的对边

2.同角三角函数的关系

（1）平方关系：22sincos1AA

（2）商数关系： sintancosAAA coscotsinAAA

（3）倒数关系：

tancot1AA

3.互为余角的三角函数关系

sin(90)cosAA，

cos(90)sinAA

tan(90)cotAA，

cot(90)tanAA

或者：若∠A+∠B=90°，则

sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB

4. 特殊角的三角函数值

α sinα Cosα tanα cotα

0° 0 1 0 不存在

30° 12 32 33 3

45° 22 22 1 1

60° 32 12 3 33

5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)

（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。

（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。

6.锐角三角函数的取值范围

0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

知识点二：解直角三角形

1.直角三角形中边角关系

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么

（1）三边之间的关系为222abc（勾股定理）

（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°

（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。 90° 1 0 不存在 0 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

1锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，

∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB

记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAa

A

c

的对边

斜边；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAb

A

c

的邻边

斜边；

AB

Ca

bc

2锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAa

A

Ab



的对边

的邻边.同理sinBb

B

c

的对边

斜边；cosBa

B

c

的邻边

斜边；tanBb

B

Ba



的对边

的邻边．要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA

分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成

，，

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，

但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；

另外，、

、

常写成

、

、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在

0°＜∠A＜90°之间变化时，

，，tanA＞0．

典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2

＝ac，则sinA

的值为．．

【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，

∴c2

＝a2+b2

，

∵b2

＝ac，

∴c2

＝a2+ac，

等式两边同时除以ac得：

＝+1，

令＝x

，则有＝x+1，

锐角三角函数的实际应用

锐角三角函数的实际应用

广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名

授课日期

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第一部分：知识点回顾

1．边与边关系：a2＋b2＝c2

2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°

3．边与角关系，sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cota＝ba

4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角

叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝ACBC，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，

坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

第二部分：自我评测

知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高

特殊三角函数的值

坡度计算

三角函数的实际应用

第三部分：例题剖析

例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m，求AB.

解法：设AB = x，在Rt△BAD中，tantanABxDA，

在Rt△ABC中，tantanABxCA

∵ CA = CD + DA

∴ tantanxxm 通过解方程求出知数x的值 课题 锐角三角函数的实际应用

教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；

2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

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