高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理1．1.1 不等式的基本性质

[对应学生用书P1]

[读教材·填要点]

1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系

设a

，b

∈R，则

①a＞b?a－b＞0；

②a

＝b

?a

－b

＝0；

③a

＜b

?a

－b

＜0.

2．不等式的基本性质

(1)对称性a

＞b

?b

＜a

(2)传递性a

＞b

，b

＞c

?a

＞c

(3)加(减)a

＞b

?a

＋c

＞b

＋c

(4)乘(除)a

＞b

，c

＞0?ac

＞bc

；

a

＞b

，c

＜0?ac

＜bc

(5)乘方a

＞b

＞0?an

＞bn

(n

∈N，n

≥2)

(6)开方

a＞b＞0?n

a＞n

b(n∈N，n≥2)

(7)加法法测a

>b

，c

>a

?a

＋c

>b

＋d

(8)乘法法测a

>b

>0，c

>d

>0?ac

>bd

[小问题·大思维]

1．若x

＞y

，a

＞b

，则在①a

－x

＞b

－y

，②a

＋x

＞b

＋y

，③ax

＞by

，④x

－b

＞y

－a

，⑤a

y＞

b

x这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？

提示：令x

＝－2，y

＝－3，a

＝3，b

＝2，

符合题设条件x

＞y

，a

＞b

，

则∵a

－x

＝3－(－2)＝5，b

－y

＝2－(－3)＝5，

∴a

－x

＝b

－y

，因此①不成立．

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理又∵ax

＝－6，by

＝－6，∴ax

＝by

，因此③也不正确．

又∵a

y＝3

－3＝－1，b

x＝2

－2＝－1，

∴a

y＝b

x，因此⑤不正确．

由不等式的性质可推出②④恒成立．

即恒成立的不等式有②④.

2．若a

a>1

b吗？

提示：不一定．如a

＝－1，b

＝2.事实上，

当ab

>0时，若a

，则有1

a>1

b；

当ab<0时，若a

a<1

b；

当ab

＝0时，若a

，则1

a与1

b中有一个式子无意义．

[对应学生用书P2]

作差法比较大小

[例1] x

∈R，比较x3

－1与2x2

－2x

的大小．

[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代

数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

2.基本不等式

一、选择题

1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为(

)

A.-1

B.+1

C.2+2 D.2-2

解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,

∴(a+b)(a+c)=4-2,

∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,

当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.

∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.

答案:D

2.下列结论中不正确的是( )

A.a>0时,a+≥2 B.≥2

C.a2+b2≥2ab D.a2+b2≥

解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.

答案:B

3.函数y=3x2+的最小值是( )

A.3-3

B.-3

C.6 D.6-3

解析:y=3x2+=3x2+3+-3,

∵3x2+3>0,>0,

∴y≥2-3=6-3,

当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.

答案:D

4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是(

)

A.10 B.6 C.4 D.18

解析:3x+3y≥2=2=2=18.

答案:D

5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )

A.2 B.

C.1+ D.3+2

解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.

答案:C

二、非选择题

6.若a>3,则+a的最小值为

.

解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.

答案:7

7.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .

解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,

得t2≥2t+3,

∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.

∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.

word - 1 - / 4 1.1.1 不等式的基本性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()

A．m>0>nB．n>m>0

C．m

解析：1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)>0⇔mn(m－n)<0.

答案：D

2．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：由a－c>b－d，c>d⇒a>b；

而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足a>b，c>d，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．

答案：B

3．已知实数a，b，c满足c

A．ab>acB．c(b－a)<0

C．ab2>cb2D．a(a－c)<0

解析：由题意，知a>0，c<0，b的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．

答案：A

4．设a，b为正实数，则“a

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：若a0，b>0， word

- 2 - / 4 则1a>1b⇒－1a<－1b，

所以a－1a

若a－1a

且a>0，b>0⇒a2b－b

答案：C

5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()

A.1x－1y＞0 B．sin x－sin y＞0

C.12x－12y＜0 D．ln x＋ln y＞0

解析：函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，所以当x＞y＞0时，12x＜12y，即12x－12y＜0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，所以由x＞y＞0⇒1x＜1y⇒1x－1y＜0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x＞y＞0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x＞y＞0xy＞1 ln(xy)＞0 ln x＋ln y＞0，故D错误．