二次函数双图像问题

教案教学内容二次函数y=ax²的图象和性质一、学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；4.领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力．二、知识回顾：1．画函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．2．什么是一次函数？怎么画一次函数y=-x+2的图象？形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数.（1）列表：（2）描点；（3）连线．3．什么叫二次函数？一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．想一想：怎么画二次函数的图象？二次函数有哪些性质？三、知识梳理：1.二次函数y=ax2的图象的画法画二次函数y=ax2的图象，一般用描点法，具体步骤如下：（1）列表：以坐标原点（0,0）为中心，在其左右两边均匀地选取一些便于计算的x值，并计算出对应的y的值，列出表格；（2）描点：把每对x与y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；（3）连线：按自变量的取值由小到大（或由大到小）的顺序，用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的大致图像。

【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y= -2x2，y=x2，y=2x2的图象。

2.二次函数y=ax²的图象和性质：二次函数y=ax²的图象是一条关于y轴对称的抛物线．其图象与性质如下图所示：a的符号a>0 a<0 图象开口方向开口向上开口向下a 的绝对值越大，开口越小顶点坐标（0,0）顶点是最低点顶点是最高点对称轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最值x =0时，y有最小值0 x =0时，y有最大值0【例2】函数y=（k+1）x2（k+1≠0）的图象的顶点是，对称轴是，当k 时，图象的开口向上，这时函数有最值；当k ，时，图象的开口向下，这时函数有最值。

◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。

它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。

方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。

方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。

3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。

三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。

由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。

◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。

题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。

设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。

培思数学-------“二次函数图像形状相同” 问题
1、如果把一个二次函数的图像向上平移a 49个单位（a>0），再向左平移2
5个单位，就得到第二个二次函数2y ax =的图像。

（1）、写出第二个二次函数定点的坐标（可用a 表示）；
（2）若第一个二次函数图像经过A(x 1, 0), B(x 2, 0), C (0, y 3)三点，其中x 1<x 2, 且y 3是x 1与x 2的比例中项，求函数解析式。

2，将抛物线 542y 2+-=x x 作下列移动后，求得到新的抛物线方程。

（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口反向；
（3）以x 轴为对称轴，将原抛物线开口反向。

2、已知抛物线 c bx x a ++=2y 的形状与抛物线 32
1y 2+=x 相同，它的对称轴是x=-2, 它与x 轴两个交点距离为2，求：（1）图像与x 轴两交点坐标； （2）确定二次函数的解析式。

1．已知反比例函数x k
y =
的图象如右图所示，则二次函数2
2
2k x kx y +-=的图象大致为（ ）
2．已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
3．某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管和向外喷水，喷的水流呈 抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，
（如图）如果抛物线的最高点M
离墙1米，离地面40
3
米，则水流下落点B 离墙距离OB 是（
）
（A ）2米 （B
）3米 （C ）4米
（D ）5米
4．函数2
+y ax b y ax bx c =
+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （
）
5
．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c
＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
．
6．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图3所示，则(
)
图3
A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0
C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
D ．a ＜0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
A ． A
B
C D。

图像法解二次函数问题例析在解决二次函数相关问题时，大部分学生想不到用图像法来分析，图像法能让复杂的问题迎刃而解，从而收到事半功倍的效果，利用下面几个例题，体会一下二次函数图像的神奇功效，以飨读者：例1：已知抛物线y=x2-(a+2)x+9 (a为常数).(1)若该抛物线顶点在y轴上，求a值。

(2)若该抛物线顶点在x轴上，求a值。

(3)若该抛物线顶点在x轴上方，求a的取值范围。

(4)若该抛物线顶点在x轴下方，求a的取值范围。

（1）分析：因为抛物线的顶点在y轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：所以，我们发现：抛物线的对称轴一定是y轴，即：直线x=0，对称轴x=-b2a=-(2)2a-+=0，a=-2.(2) 分析：因为抛物线的顶点在x轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：我们发现：抛物线与x轴只有一个交点，所以△=0，即：b2-4ac=0,［-(a+2)］2-4×1×9=0,所以a1=4,a2=-8。

（3）分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴上方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴没有交点，△＜0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9<0,∴a的取值范围是-8＜a＜4.(4) 分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴下方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴有两个交点，△＞0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9＞0,∴a的取值范围是a＜-8或a＞4.例2：某二次函数图像经过点A（2,a）和点B（-4,a），则这个二次函数图像对称轴是直线。

分析：抛物线草图如图所示：因为：抛物线是轴对称图形，观察图像得：对称轴是直线x=422-+=-1，即x= -1.例3：已知抛物线y=x2-2x+c经过点A（-1，y1）和点B（2,y2），比较y1与y2的大小。

分析：根据解析式可得：对称轴为直线x=1，且开口向上，抛物线草图如图所示：观察图像得：y1 ＞y2.例4：若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像如图所示，当x=2时，y的值是。

中考压轴——⼆次函数图像中的动点、极值与存在问题n两点，移，直到点O与点E（P）重合时停⽌，设运动的时间为t，平移后的△O1C1P1与△CEM的重叠部分的⾯积为S，求S与t之间的函数表达式．5.如图，抛物线C1：y=ax2+2ax+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M为此抛物线的顶点，若△ABC的⾯积为12．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终⽌运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD 的中点．①直接写出点P所经过的路线长为；②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最⼩值；（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF=AC，求直线MN的解析式．6.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线y=-49(x-2)2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=255．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂⾜分别为E，F，若HEHF =12时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的⼀动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．7.已知，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点E是线段OB上⼀动点，过点E作DE⊥x轴，交抛物线于点D，若直线CD与以OE为直径的⊙M相切，试求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在⼀点P，过点P作x轴的垂线，垂⾜为F，过点F作FG∥BC，交线段AC于点G，连接FC，使△BCF∽△CFG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知：抛物线y=-（x+1）（x-k）（k＞0）与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上位于第⼀象限上⼀动点，过D作DE⊥x轴于点E．（1）如图⼀，当OC=4时，求此抛物线解析式；（2）如图⼆，过点A作直线l⊥x轴，点F为x轴下⽅直线l上⼀点，连接EF、BD，当∠BDE=∠FEO时，求点F 的坐标．（3）如图三，在（1）的条件下，DE与BC交于点H，过D作DK⊥CH于点K，若点P为x轴上⽅抛物线上⼀动点，连接PC、PE，当DK=12CH，且∠PCO+∠PED=90°时，求点P的坐标．9.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另⼀点B，且点B的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上⼀个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第⼀象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出⾃变量t的取值范围）；②当MN取最⼤值时，连接ON，直接写出sin∠BON的值．10.如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=12x2+bx+c向上平移72个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，直接写出m的取值范围；（3）点P为x轴下⽅的抛物线上的⼀个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的⾯积为S，求出当S取何值时，相应的点P有且只有2个？（4）设点M在x轴上，∠OMA+∠OAB=∠ACB，求BM的长．11.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最⼩，并求出点P的坐标；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．12.如图，抛物线y=33x2+233x-3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求该抛物线的对称轴及△ABC的⾯积．（2）如图1，已知点Q（0，3），点P是直线AC下⽅抛物线上的⼀动点，连接PQ交直线AC于点K，连接BQ、BK，当点P使得△BQK周长最⼩时，请求出△BQK周长的最⼩值和此时点P的横坐标．（3）如图2，线段AC⽔平向右平移得线段FE（点A的对应点是F，点C的对应点是E），将△ACF沿CF翻折得△CFA′，连接A′E，是否存在点F，使得△CEA′是直⾓三⾓形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E时线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．14.如图，在平⾯直⾓坐标系中，以A（3，0）为圆⼼，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另⼀个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正⽅向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，MN?OP的值最⼤，并求出最⼤值；MN+OP（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三⾓形与△OCD相似，求实数t的值．15.如图，已知直线l：y=1x+2与y轴交于点D，过直线l上⼀点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过2x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．C、E两点的抛物线y=-13（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t 秒，△DFH的⾯积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出⾃变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上⽅抛物线上⼀点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直⾓三⾓形时，求四边形PMBE的⾯积．16.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直⾓三⾓形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为⼀边的平⾏四边形时，求m的值．17.如图所⽰，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正⽅向运动，动点B沿y轴正⽅向运动，以OA、OB为邻边建⽴正⽅形OACB，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒：（1）直接写出直线OC的解析式；（2）当t=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在⼀点D，使得S△BCD=6？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，有⼀条平⾏于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F 四个点构成的四边形是平⾏四边形，求点F的坐标；（4）在动点A、B运动的过程中，若正⽅形OACB内部有⼀个点P，且满⾜OP=2，CP=2，∠OPA=135°，直接写出此时AP的长度．18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的⼀个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE⾯积的最⼤值；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上⼀点，当△OMD为等腰三⾓形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，求点N的坐标，并判断点N是否在抛物线上．19.如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）设点P在该抛物线上滑动，若使△PAB的⾯积为1，这样的点P有⼏个？并求出满⾜P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，在该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最⼩？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平⾏线交直线BC下⽅的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上⼀动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直⾓三⾓形时，求点P的坐标．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂⾜为x2+bx+c过点O、A两点．A，OA=5，抛物线y=16（1）抛物线的解析式为；（2）点C是抛物线上的⼀点，且BC=10，连接AC交OB于点D，以BC为直径的⊙O1经过点D，连接DC，求证：OC是的⊙O1切线；（3）设点P是OB上的⼀个动点，是否存在⼀点P，使△PCD与△ABD相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，O为坐标系原点，AD为等腰三⾓形AOC底边OC上的⾼，直线OA的解析式为y=x，抛物线y=a（x-4）2+k的顶点为A，且经过坐标原点．（1）求此抛物线的解析式；（2）有⼀动点P从点O出发，沿射线OA⽅向以每秒2个单位长度的速度运动，连接PD，设△APD的⾯积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的解析式，并直接写出⾃变量t的取值范围；（3）在（2）的情况下，过点D作PD的垂线交射线AC于点E，过点E作OC的垂线交抛物线于点F，问当t为何值时，CE的长为2，并求出此时点F的坐标．23.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），点C为抛物线上⼀点，且点C的横坐标为2，抛物线的对称轴EF交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求点A、B 的坐标和直线AC的解析式；（2）若G是y轴上⼀个动点，当∠AGC=90°时，求点G的坐标；（3）在直线EF上是否存在点P，使⊙P与直线AC和y轴都相切，若存在，求出圆⼼P的坐标，若不存在，请说明理由．24.如图，O为坐标原点，点A在x正半轴上，OA=2，将线段OA绕点O逆时针旋转150°⾄OB的位置，若经过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三⾓形是等腰三⾓形？若存在，求出满⾜条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段OB下⽅抛物线上的动点，求四边形ABDO⾯积的最⼤值．25.如图1，已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H，（1）求⼆次函数的表达式；（2）如图2，若E是线段AD上的⼀个动点（E与A、D不重合），过E点作平⾏于y轴的直线交抛物线与点F，交x轴与点G，设点E的横坐标为m，△ADF的⾯积为S，①求S与m的函数表达式；②S是否存在最⼤值？若存在，求出最⼤值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为对称轴上的点，且△MAB的⾯积是4，求M点的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，在第⼀象限的抛物线上是否存在点N，使得△NCD是等腰三⾓形？若存在，求出符合条件的N点的坐标；若不存在，请说明理由．27.如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=52x-4经过B，C两点．（1）求该抛物线的关系式；（2）若在对称轴右侧的抛物线上有⼀点P，过点P作PD⊥直线BC，垂⾜为点D，当∠PBD=∠ACO时，求出点P的坐标；（3）如图2，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，点F是线段CE上的动点，过点F作FG⊥x轴，交AE 于H，垂⾜为点G，将△EFH沿直线AE翻折，得到△EMH，连接GM，是否存在这样的点F，使△GHM是等腰三⾓形？若存在，求出对应的EF的长度；若不存在，请说明理由．28.已知：⼆次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有⼀动点P，求出PA+PD的最⼩值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．29.如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）点Q是抛物线⼀象限内⼀动点，过点Q作QN∥AD交BC于N，QH⊥AB交BC于点M，交AB于点H（如图1），当点Q坐标为何值时，△QNM的周长最⼤，求点Q的坐标以及△QNM周长的最⼤值；（3）直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上⼀动点，将△AFP沿着FP所在的直线翻折得到△A′FP（如图2），当三⾓形A′FP与△AED重叠部分为直⾓三⾓形时，求AP的长．30.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．（1）求该抛物线解析式；（2）点P是第⼀象限内抛物线上的⼀个动点，设点P的横坐标为m，记△PCD的⾯积为S，是否存在点P使得△PCD的⾯积最⼤？若存在，求出S的最⼤值及相应的m值；若不存在请说明理由．（3）如图2，连接CD得Rt△COD，将△COD沿x轴正⽅向以某⼀固定速度平移，记平移后的三⾓形为△C′O ′D′，当点D′到达B 时运动停⽌，直线BC与△C′O′D′的边C′O′、C′D′分别相交于G、H，在平移过程中，当△O ′GH变为以O′H为腰的等腰三⾓形时，求此时BD′的长．31.如图．在平⾯直⾓坐标系中，直线y=-12x+3的图象与x釉、y轴分别交于点A、点B．抛物线y=14图象经过点A，并且与直线相交于点C，已知点C的横坐标为-4．（1）求⼆次函数的解析式以及cos∠BAO的值；（2）点P是直线AC下⽅抛物线上⼀动点（不与点A、点C重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，作PF⊥AC于点F．当△PEF的周长与△ADE的周长之⽐等于5：2时，求出点D的坐标并求出此时PEF的周长；（3）在（2）的条件下，将△ADE绕平⾯内⼀点M按顺时针⽅向旋转90°后得到△A1D1E1，点A、D、E的对应点分别是A1、D1、E1．若△A1D1E1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点A1的坐标．32.如图，在平⾯直⾓坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式．（2）设直线AB与（1）中抛物线的另⼀个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的⼀个动点，当△PAE的⾯积最⼤时，求点P的坐标．（3）若过点F（-6，0）的直线L上有⼀动点M，当以A，D，M为顶点所作的直⾓三⾓形有且只有三个时，请直接写出点M的坐标．33.如图1，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=12x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接AC．（1）点B的坐标是；点C的坐标是；（2）求抛物线的解析式；（3）设点E是线段CB上的⼀个动点（不与点B、C重合），直线EF∥y轴，交抛物线与点F，问点E运动到何处时，线段EF的长最⼤？并求出EF的长的最⼤值；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，判断直线CD是否是经过A、B、C三点的圆的切线，并说明理由．34.如图，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象于x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，连接BC、BD、AC、CD，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得△MOB．（1）求抛物线解析式及直线BD的解析式；（2）①操作⼀：动点P从点M出发到x轴上的点N，⼜到抛物线的对称轴上的点Q，再回到y轴上的点C，当四边形MNQC的周长最⼩时，则四边形MNQC的最⼩周长为；此时，tan∠OMN=；②操作⼆：将△AOC旋转的过程中，A的对应点为A′C的对应点为C′，当OA′⊥AC时，求直线OC′与抛物线的交点坐标；（3）将△BOM沿y轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM过点D时停⽌平移，设平移的时间为t秒，△BOM与△BCD的重叠部分的⾯积为S，请直接求出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．35.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-5）三点，点P是直线BC下⽅2的抛物线上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有⼀点M，使MA+MC的值最⼩，求点M的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，△PBC的⾯积最⼤，并求出此时P点的坐标和△PBC的最⼤⾯积．36.如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．（1）求A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E（m，n）是线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．37.平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点K是直线AC下⽅的抛物线上⼀点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；（3）如图2若点P是线段AC上的⼀个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．38.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向⽽⾏，当点M到达原点时，点H⽴刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B⽅向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停⽌运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的⾯积S的函数关系式，并求出S的最⼤值．39.如图，已知⼀次函数y1=12x+b的图象l与⼆次函数y2=-x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-5，0）．（1）求⼆次函数的最⼤值；（2）设使y2＞y1成⽴的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的⽅程(1+1a-1)x+3x-3=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为5的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平⾏于y轴，当四边形DEFG的⾯积最⼤时，在x轴上求点P，使PD+PE最⼩，求出点P的坐标．40.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴交于A （-2，0）、B 两点，与y 轴交于C 点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A 、C 的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．41.如图，已知抛物线经过点A （-2，0）、B （4，0）、C （0，-8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）直线CD 交x 轴于点E ，过抛物线上在对称轴的右边的点P ，作y 轴的平⾏线交x 轴于点F ，交直线CD 于M ，使PM=15EF ，请求出点P 的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM 总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．42.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B （2，-43）和点C （-3，-3）两点均在抛物线上，点F （0，-34）在y 轴上，过点（0，34）作直线l 与x 轴平⾏．（1）求抛物线的解析式和线段BC 的解析式．（2）设点D （x ，y ）是线段BC 上的⼀个动点（点D 不与B ，C 重合），过点D作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ．设线段GD 的长度为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最⼤，最⼤长度h 的值是多少？（3）若点P （m ，n ）是抛物线上位于第三象限的⼀个动点，连接PF 并延长，交抛物线于另⼀点Q ，过点Q 作QS⊥l ，垂⾜为点S ，过点P 作PN⊥l ，垂⾜为点N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A （-2，t ）在线段BC 上，点M 为抛物线上的⼀个动点，连接AF ，当点M 在何位置时，MF+MA 的值最⼩，请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最⼩值．43.如图，在平⾯直⾓坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆⼼的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的⼀个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的⾯积最⼤？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最⼤⾯积．。

二次函数双动点面积最值一、问题描述在平面直角坐标系内，给定二次函数 $y=ax^2+bx+c$，且 $a<0$。

定义该二次函数的双动点为其图像上两个不同的点 $(x_1,y_1)$ 和$(x_2,y_2)$，满足 $y=ax^2+bx+c$ 在区间 $(x_1,x_2)$ 内单调递减或单调递增。

现在要求求出所有可能的双动点，并计算出其对应的面积最大值。

二、解题思路本题需要分别考虑二次函数的凸性和双动点的性质。

具体来说，我们可以通过求导数来判断二次函数的凸性，并通过判别式来计算二次方程的根以确定双动点。

然后，我们可以利用双动点的性质，结合微积分知识求出面积最大值。

三、解题步骤1. 求解二次函数的凸性由于$a<0$，因此该二次函数开口向下。

此时，当且仅当$a>0$ 时，该二次函数在整个定义域内为凸函数；当且仅当 $a<0$ 时，该二次函数在整个定义域内为下凸函数。

因此，在本题中，我们可以通过判断 $a$ 的符号来确定该二次函数的凸性。

2. 计算二次方程的根由于$a<0$，因此该二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

此时，该二次函数的双动点必然是两个不同的零点，即 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根。

根据二次方程求根公式可得：$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$由于 $a<0$，因此 $\sqrt{b^2-4ac}$ 为实数。

因此，当 $b^2-4ac>0$ 时，该二次方程有两个不同的实根；当 $b^2-4ac=0$ 时，该二次方程有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，该二次方程无实数解。

在本题中，我们需要计算出所有可能的双动点。

因此，在计算完根之后，我们需要对其进行判断：若两个根均在定义域内，则它们为一个双动点；若其中一个根在定义域内而另一个不在，则不存在双动点；若两个根均不在定义域内，则也不存在双动点。