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电磁学第三版（梁灿彬）思考题与习题解答第一章 静电场的基本规律思考题1.1答案： （1） ×,正的试探电荷； （2） √ ；（3）× 在无外场是，球面上E⃗ 大小相等。
1.2 答案： 利用对称性分析，垂直轴的分量相互抵消。
1.3答案：（1）× 没有净电荷 ；（2）×； （3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×。
1.4答案：无外场时，对球外而言是正确的。
1.5答案：（1）无关 （2） 有关 （3）不能（导体球）、可以（介质球）。
场强叠加原理应用到有导体的问题时，要注意，带电导体单独存在时，有一种电荷分布，它们会产生一种电场；n 个带电导体放在一起时，由于静电感应，导体上的电荷分布发生变化，这时，应用叠加原理应将各个导体发生变化的电荷分布“冻结”起来，然后以“冻结”的电荷分布单独存在时产生的电场进行叠加。
1.6答案：（a 图） 能 ，叠加法（补偿法）； （b 图） 不能 。
1.7答案：222121q q φφφφεε-==+，；113131+ -q q φφφφεε==，；134410+0 -q φφφφε==，。
1.8答案：（1）× ；（2）×； （3）×；（4）×；（5）√；（6）×。
1.9答案：n VE en∂=-∂ ，例如匀强电场；E 大，电势的变化率就大，并非一定121122010101.+.=4424R q E dl E dl rR R R πεπεπεπε∞⎝⎰⎰.0E dl =，0n VE e n∂=-=∂。
1.14证明：设s 面上有场强平行于分量，补上另一半球后球内各点的总场强应为零，可见s 面上不能有场强的平行分量，s 面上只有场强垂直分量，故s 面上应为等势面。
习题1.2.1解：（1）设一个电量为q 1，则q 2=4q 1，由公式12204q q F r πε=可以得到： ()2122041.64 5.010q πε-=⨯解之得： q 1=±3.3×10−7(C)， q 2=1.33× 10−6(C) （2）当r=0.1时，所受排斥力为：12204q q F r πε==0.4（N ） 1.2.2解：设其中一个电荷电量为q ，则另一个电荷电量为Q -q ，由库仑力 ()2q Q q F k r -= 可知，当()220dF k Q q dq r =-=，即：2Qq = 时两电荷间的斥力最大，所以两者电量均为2Q。
第二章静电场习题解答2-1.已知半径为F = Cl的导体球面上分布着面电荷密度为A = p s0 cos的电荷，式中的炖0为常数，试计算球面上的总电荷量。
解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。
由球面积分，得到2用打Q =护= J j p50cos OrsmOd Od(p(S) 0 0In x=j j psQSefsinGded00 0In n=PsF j J cos ageded(p0 0丸=sin20d0 = 0o2-2.两个无限人平面相距为d,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。
解对于单一均匀带电无限人平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和卞半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。
由高斯定理，可得电场大小为E = ^-2e0对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到E] = E“耳=E3题2-2图因此，有2-3.两点电荷q、= 8C和q2 = -4C ,分别位于z = 4和),=4处，求点P(4,0,0)处的电场强度。
解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度矢量为点Si和Si处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即E r = Qi 弘 | ① R?4T V£0/?/ 4TT£0R] = r — r L = 4e v — 4e., R 、= J 4-0 " + 0-4 ~ = 4>/2 R 2 =r —r 2 =4e v -4e v , R 2 = J 4-0 ' + 0-4 ' = 4>/22-7. 一个点电荷+q 位于（-a, 0,0）处，另一点电荷-2q 位于（a,0,0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？解根据点电荷电位叠加原理，有々)=丄]鱼+鱼4矶丄忌」式中Rj =r-r L = x-\-a e v + ye v +e. R i = yl x + a 2 + r+^2 R 2 =r-r 2 = x ~a e v + )，e y+e r R? — yj x — ci + )r +代入得到式中代入得到心孟 _______ 1^x + a)2+ y 2+ z 22JaS+b+z 2（3x+d ）（x+3a ） + 3），+3z ，=0根据电位与电场强度的关系，有电位为零，即令简化可得零电位面方程为要是电场强度为零，必有E x = 0, E y = 0, E : = 0一 (x+ d)[(x + d)2 + y 2 + ^2p + 2(—d)[(—d)2+ y 2 + 疋 -)^(x+n)2 + y 2 + z 2 2 +2y^(x-a)2 + y 2+ z 2丄-z[(x + d)2 + + 疋 2+2z[(x-d)2 +)*此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。
第二章静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。
通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。
关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可 以从简。
重要公式真空中静电场方程：qE d SE d l 0积分形式： SlEE 0微分形式：已知电荷分布求解电场强度：1(r )1，E (r )(r )；(r )d V4|rr|V 02， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 |dV qE d S 3，高斯定律S1介质中静电场方程：E d l0积分形式：D d S qS l 微分形式：DE0线性均匀各向同性介质中静电场方程：qE d SE d l0积分形式：S l微分形式：EE0静电场边界条件：1，E1t E2t。
对于两种各向同性的线性介质，则D 1tD t2122，D2n D1ns。
在两种介质形成的边界上，则D 12nnD对于两种各向同性的线性介质，则E2n1 12nE3，介质与导体的边界条件：e n E0；e n DS若导体周围是各向同性的线性介质，则SSE；n n静电场的能量：221Q1 孤立带电体的能量：WQe2C2离散带电体的能量：n1W e Qi12ii111分布电荷的能量：WVSledddSlVSl2221静电场的能量密度：DEwe2对于各向同性的线性介质，则we 12E2电场力：库仑定律：Fqq4r2 e rd We常电荷系统：Fq常数d ldWeF常电位系统：常数d l题解2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
十年高考分类汇编专题10静电场2（2011—2020）目录题型一、带电粒子在复合场中的运动 ................................................................................................ 1 题型二、带电粒子在纯电场、复合场中运动的综合类问题 (5)题型一、带电粒子在复合场中的运动1.（2019天津）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m 的带电小球，以初速度v 从M 点竖直向上运动，通过N 点时，速度大小为2v ，方向与电场方向相反，则小球从M 运动到N 的过程（ ）A ．动能增加212mvB ．机械能增加22mv C ．重力势能增加232mv D ．电势能增加22mv【考点】：功能关系、动能定理、运动的独立性、电场力做功【答案】：C【解析】：小球的动能增加量为2222321)2(21mv mv v m E E KM KN =-=-；故A 错误；除重力外其它力对小球做功的大小为小球机械能的增加量，在本题中电场力对小球做功的大小为小球机械能的增加量，在水平方向上研究小球可知电场力对其做正功，电势能减小，可求得电场力对小球做功大小为小球水平方向动能的增量2221）（v m ；即小球的机械能增加了22mv ；电势能减小了22mv ；故B 对，D 错；从M 点到N 点对小球应用动能定理得：2221)2(21mv v m W W G D -=-；又22mv W D =；可求得221mv W G =故C 错；2.（2016江苏）如图所示，水平金属板A 、B 分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态．现将B 板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴（ ）A. 仍然保持静止B. 竖直向下运动C. 向左下方运动D. 向右下方运动【考点】带电粒子在复合场中的运动、受力分析【答案】D【解析】两极板平行时带电粒子处于平衡状态，则重力等于电场力，当下极板旋转时，板间距离增大场强减小，电场力小于重力；由于电场线垂直于金属板表面，所以电荷处的电场线如图所示，所以重力与电场力的合力偏向右下方，故粒子向右下方运动，选项D正确.3.(2013广东)喷墨打印机的简化模型如图所示．重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电后，以速度v垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，则微滴在极板间电场中( )A．向负极板偏转B．电势能逐渐增大C．运动轨迹是抛物线D．运动轨迹与带电量无关【考点】带电粒子在复合场中的运动、受力分析、类平抛运动【答案：C】【解析】选C.带电微滴垂直进入电场后，在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的分解——水平方向做匀速直线运动和竖直方向做匀加速直线运动．带负电的微滴进入电场后受到向上的静电力，故带电微滴向正极板偏转，选项A错误；带电微滴垂直进入电场受竖直方向的静电力作用，静电力做正功，故墨汁微滴的电势能减小，选项B错误；根据x＝v0t，y ＝12at 2及a ＝qE m ，得带电微滴的轨迹方程为y ＝qEx22mv 20，即运动轨迹是抛物线，与带电量有关，选项C 正确，D 错误．4.（2016全国1） 如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P 的竖直线对称。
习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为q ，外表面所带电量为 q +Q 。
2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。
3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。
4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。
现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。
(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B )(A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 16、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C )(A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强；、(B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。
7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。
试求：、(1)球壳外表面上的电荷；(2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。
解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a <R <b )的rARQ)O· Q ·b·Oarq B高斯球面S,由高斯定理01εqq dS E S +=⋅⎰⎰ ，根据导体静电平衡条件,当a <R <b 时，0=E。
则0=⋅⎰⎰SdS E ，即01=+q q ,得q q -=1根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q +=(qQ q Q q +=-=∴12(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势adq dV o πε411=q 1在O 点产生的电势aq aq adq dV V o o o πεπεπε4441111-====⎰⎰内内(3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势bqQ bq V o o πεπε4422+== 点电荷q 在O 点产生的电势rq V o q πε4=∴ O 点的总点势o q V V V V πε41210=++=(bq Q a q r q ++-) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。
电磁学第四版赵凯华习题答案解析第一章：电磁现象和电磁场基本定律
1. 问题：什么是电磁学？
答案：电磁学是研究电荷和电流相互作用所产生的现象和规律的科学。
2. 问题：什么是电磁场？
答案：电磁场是指由电荷和电流引起的空间中存在的物理场。
3. 问题：什么是电场？
答案：电场是指电荷在周围空间中所产生的物理场。
4. 问题：什么是磁场？
答案：磁场是指电流或磁体在周围空间中所产生的物理场。
5. 问题：电磁场有哪些基本定律？
答案：电磁场的基本定律有高斯定律、安培定律、法拉第定律和麦克斯韦方程组。
第二章：静电场
1. 问题：什么是静电场？
答案：静电场是指电荷分布不随时间变化的电场。
2. 问题：什么是电势？
答案：电势是指单位正电荷在电场中所具有的能量。
3. 问题：什么是电势差？
答案：电势差是指在电场中从一个点到另一个点所需做的功。
4. 问题：什么是电势能？
答案：电势能是指带电粒子在电场中由于位置改变而具有的能量。
5. 问题：什么是电容？
答案：电容是指导体上带电量与导体电势差之间的比值。
以上是电磁学第四版赵凯华习题的部分答案解析。
详细的解析请参考教材。
第二章 静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q 的点电荷。
问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。
解 如图建立坐标系，可得x x x x a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε 据题设条件，令 022421=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Q q ， 解得 ()2214+-=qQ2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。
1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。
解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()x x xe E -=204d d πετ，x x 04d d πετϕ= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()()()x l l xl l l x x e e E E -=-==⎰⎰0320364d d 0πετπετ ()3ln 44d d 00303l πετπετϕϕ===⎰⎰l l l x x2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为()r ry e E -=204d d πετ，r y04d d πετϕ= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，514sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为()l l l r yl x x x x 0000020054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====⎰⎰⎰()010024.0421tan 21tan ln 2cos d 4d 20,2πετππετθθπετϕϕαα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-⎰⎰l2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。
求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的电位和电场强度。
解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。
坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z 轴与面电荷轴线重合。
场点P 的坐标为()b ,,0α。
在带电圆盘上取一个电荷元σα'''r r d d ，源点坐标为()''r ,,α0。
由电荷元产生的电位d d d ϕσαπε='''r r R40计算P 点电位时，场点坐标()b ,,0α不变，源点坐标()''r ,,α0中'r 'α是变量。
22b r R +'=整个圆盘形面电荷产生的电位为()()bb ab b aa b r r r a b r r r -+-+=+'''=+''''=⎰⎰⎰222222200202202=22d 4d d εσεσεσπεασϕπ根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有e z 方向的分量z z z b a bb b b a b z e e e E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-=-∇=2202220122εσεσ∂∂ϕϕ2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。
1）34e e e y x z +- 2）x y z x z e e e y +-4 3） y z x x z e e e y +-4 4）r r e （球坐标系）5）r 2e α（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得1）()014343=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇z y x x y x z x e e e e e e y 2）()044=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇zy xz y x z y x x y xz x e e e e e e y3）()y x y x z x xz y z y x x z y e e e e e e e y 244=-∂∂∂∂∂∂=-+⨯∇ 4）()0=⨯∇r r e5）()()()z z z z r r r r r r r rA r r r e e e e e 3311122=⋅=⋅∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⨯∇αα据0=⨯∇E ，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可能是电场强度表达式。
2-5 有两相距为d 的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为σ和-σ。
求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。
解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面2S ，据高斯通量定理，可得在区域（2），0εσ=E2-6 求厚度为d ，体电荷密度为ρ的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。
解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，电场强度在1S 上的通量为1112d 1ερdS S E s ==⋅⎰s E 可得在区域（1）和（3）中，电场强度 012ερdE =对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面2S ，据高斯通量定理，电场强度在2S 上的通量为 022221ερxS S E S E =+，得 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22000102d x d x E x E ερερερερ2-7 有一半径为a 的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为τ。
求空间的电场强度。
解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为ρ，则有 τπρ=⋅2a ，即 2aπτρ=作柱对称高斯面，可得当a r <，022ερππr r E =⋅，解得 20022a r r E πετερ== 当a r ≥，02ετπ=⋅r E ，解得 rE 02πετ=2-8 如图2-7所示，一半径为a 的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为ρ，在其中挖出半径为b 的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为d 。
求孔洞内各处的电场强度。
解 设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分别为1r 、2r ，则当孔洞内充满体密度为ρ的电荷时，场点处有 01112ερr E r =孔洞内充满充满体密度为ρ-的电荷时，由ρ-在场点处产生的场强为 02222ερr E r -=则所求场点的电场强度为 ()0022112122ερερabd r r r r r E E E =-=+= 式中ab r 为两圆柱轴线间距d 的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱体的轴心。
2-9 求如图2-8所示电偶极子p 对实验电荷q t 的作用力。
解 据教材36页式（2-67），可得实验电荷q t 处的电场强度为()θθπεθθπεe e e E 30304sin cos 24R pr p r =+=则实验电荷q t 所受电场力为 θπεe F 304R pq t=2-10 如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为ε的电介质，另一半是真空。
电容器正负极之间距离为d ，加电压U 。
求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。
解 设介电常数为ε的电介质中的电场强度为1E ，真空中的电场强度为2E ，据边界条件可得 dUE E E ===21，据E D ε=，可得电位移矢量分别为 d UD ε=1，dU D 02ε=据E D P 0ε-=，可得介质中的极化强度为 ()dUE E P 00εεεε-=-=以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。
极化电荷体密度为 0=⋅∇'-=P P ρ分界面上的极化面电荷密度为 0=⋅=n P e P σ2-11 有一带电导体球，带电荷量为q ，周围空间为空气。
空气的介电常数为ε0，空气的击穿场强为E 0。
问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？解 电场强度在导体球表面达到最大值，即 020max 4E R qE ==πε 则 004E q R πε=2-12 试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。
证明 由于在线性、各向同性、均匀电介质中，D E P ∝∝，又0=ρ，则0=⋅∇D ，可得0=⋅∇P ，即0=P ρ。
2-13 已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为ϕ()r arbr =e ，a 和b 均为常数。
求体电荷密度。
解()[]()[]br br br br br br br er ab be br be ra br ae r r e r ab e r a r r r e r a r r r r r r r r 22222222222111111=+-=-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕϕ 据ερϕ-=∇2，可得 br e rab 0ερ-=2-14 有一平行平板电容器，两极板距离AB =d ，之间平行地放置两块薄金属片C 和D ，忽略薄金属片的厚度，有AC =CD =DB =d3。
若将AB 两极板充电到电压U 0后，拆去电源，问：1）AC, CD, DB 之间的电压为多少？C 和D 两金属片上电荷分布如何？AC, CD, DB 之间的电场强度为多少？2）在1）的基础上，若将C 和D 两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。
3）若充电前先用导线联接C 和D 两金属片，充电完成后先断开电源，再断开C 和D 之间连线，重新回答1）中的三个问题。
4）在2）的基础上，若将A 和B 用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。
解 极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。
1）各极板间距相同，因此 3/U U U U D B CD AC ===，在C 、D 两金属片的两面均匀分布有电量相同的正、负面电荷，d U /0εσ= 各极板间的电场强度相同，d U E /=2）将C 和D 两金属片用导线联接，则0=CD U ，0=CD E ，由于A 、B 极板上的电荷不变，则A 、C 间和D 、B 间的电场强度不变，电压也不变，即3/U U U D B AC ==，d U E E D B AC /==；C 、D 相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值d U /0εσ=。
