高中数学回归课本(导数)

高考数学回归课本100个问题（一）1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。

2．在应用条件A∪B＝Ｂ⇔A∩B＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;card(A∪B)=?5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q”7、指数式、对数式：mna =，1m nmnaa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。

8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为(b,a))10、对勾函数xax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fb a f a b-=⇔=13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

回归课本基础知识整理 第一部分 函数、导数与不等式（一）函数1．函数定义域的求法：①函数解析式有意义；②符合实际意义；注意：做函数题注意定义域优先原则。

忽视定义域，苦头吃不尽！！函数解析式的求法：①待定系数法，②配方法，③换元法，④函数方程法等 函数值域的求法：①配方法 ；②利用函数单调性 ；③换元法 ；④利用均值不等式 2222b a ba ab +≤+≤；⑤利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； ⑥利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑦利用导数 2．分段函数：先分段解决，再下结论。

注意：分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。

3．复合函数（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

4．函数的奇偶性⑴)(x f 是奇函数⇔0)()()()(=+-⇔-=-x f x f x f x f ； ⑵)(x f 是偶函数0)()()()(=--⇔=-⇔x f x f x f x f ； 注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．。

⑶奇函数)(x f 在原点有定义，必有0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性； 5．函数的单调性⑴单调性的定义：用定义判断单调性时，必须将差值)()(21x f x f -分解因式到可以判断正负为止；⑵判定单调性的常用方法：①定义法；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。

回归课本(十四)导数一．考试内容：导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.二．考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. (2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.三．基础知识:1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 2.瞬时速度00()()()limlimt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 3.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 4.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.6.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.7.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 8.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.9.常用的近似计算公式（当x 充小时）(1)x x 2111+≈+;x nx n 111+≈+； (2)(1)1()x x R ααα+≈+∈； x x-≈+111；(3)x e x+≈1； (4)x x l n ≈+)1(；(5)x x ≈sin （x 为弧度）； (6)x x ≈tan （x 为弧度）； (7)x x ≈arctan （x 为弧度）10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时， （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.四．基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）);()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; （3）取极限,得导数xy x f x ∆∆='→∆0lim )(;3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值6导数与函数的单调性的关系㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式p是q的充分不必要②④技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的R R R{x|x≥0}{x|x≠0}R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}过定点c>d>1>a>b过定点(1,0)时，y＝00<c<d<1<a<b；(3)伸缩变换①y＝f(x)1a＞1，横坐标缩短为原来的a倍，纵坐标不变10＜a＜1，横坐标伸长为原来的a第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）150°180°270°第四部分：解析几何--直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、两条直行(1)若，①②.(2)若,①②⑶与直线平行的直线可设为01=++c By Ax ⑷与直线垂直的直线可设为02=+-c Ay Bx .111:l y k x b =+222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠12121l l k k ⊥⇔=-1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=11112222||A B C l l A B C ⇔=≠1212120l l A A B B ⊥⇔+=2222S棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面不外乎三角形面积，平行四边形面积：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．几何法求角的步骤：(1)一作：作辅助线．(2)二证：证明作出的角是所求角．(3)三求：解三角形，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝|n ·n 2|，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 11||n 2|.第七部分：平面向量、复数()11,a x y =()，,b x y =22(，则1212a b x x y y +=++),，第八部分：排列组合、二项式、期望方程1221!n =--⋅⋅=A n n n n n()()r n r rn nn n a b C a C a b C a b C a b C b-+=++++++nn n n n n n --011222(),,,：n C C C n n n 012+++++=n r n ：C C C C n n n n 011352n -C C C C C C 1+++=+++=n n n nn n 024,0,1,2,,k m --P X k C NnM N M kn k()===C C P Xk C p p k n ()()==-=1,0,1,2,n kk k-n。

高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。

2. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和导数的计算方法。

3. 能够运用极限和导数解决实际问题。

二、教学内容1. 极限的概念和性质2. 极限的计算方法3. 导数的定义和性质4. 基本导数公式5. 导数的计算方法三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的计算方法，导数的定义和性质，基本导数公式，导数的计算方法。

2. 难点：极限的计算方法，基本导数公式的记忆和应用，导数的计算方法。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现。

2. 通过例题讲解，让学生理解和掌握极限和导数的计算方法。

3. 利用多媒体教学，形象直观地展示极限和导数的概念和计算过程。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考极限和导数的概念。

2. 讲解极限的概念和性质，通过例题让学生掌握极限的计算方法。

3. 讲解导数的定义和性质，通过例题让学生掌握基本导数公式和导数的计算方法。

4. 课堂练习：让学生独立完成相关的练习题，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对极限与导数概念的理解程度，以及对极限和导数计算方法的掌握情况。

2. 课堂练习：检查学生完成练习题的正确率，巩固学生对极限与导数的应用能力。

3. 课后作业：通过批改学生的作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题并及时给予反馈。

七、教学拓展1. 引入实际应用案例，让学生了解极限与导数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。

2. 讲解极限与导数在数学分析中的重要作用，激发学生对数学分析的兴趣。

3. 引导学生思考极限与导数在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。

八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3. 关注学生的学习进度，针对性地进行辅导，确保学生掌握极限与导数的相关知识。

九、课后作业1. 复习极限与导数的概念、性质和计算方法。

14 第三章 导数及其应用一、知识梳理（一）导数的概念1、平均变化率、瞬时速率、膨胀率、瞬时变化率；2、某点处的导数、导函数的定义以及公式表示；3、导数的几何意义、物理意义；切线方程000()()y y f x x x -='-；4、求函数导数的基本步骤；5、极限（1）极限的定义、表示；（2）函数极限的四则运算法则：若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则 ①0lim[()()]x x f x g x a b →±=±；②0lim[()()]x x f x g x ab →⋅=；③0()lim ()x x f x ag x b →=；（3）几个常用极限：①1lim 0n n →∞=；②lim 0n n a →∞=（||1a <）；（4）两个重要极限：①0sin lim 1x x x →=；②01lim(1)x x e x →+=；（二）导数的计算1、基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；（2）若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；（6）若()x f x e =，则()x f x e '=；（7）若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=；（8）若()ln f x x =，则1()f x x '=；2、导数的运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x ±'='±'；（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅'='⋅+⋅'；（3）2()()()()()[]()[()]f x f x gx f x g x g x g x '⋅-⋅''=；3、复合函数求导：()y f μ=和()g x μ=，则(())y f g x =为一个复合函数，所以(())()y f g x g x '='⋅'；（三）导数的应用1、函数的单调性（1）基本概念；（2）务必，首先考虑函数的定义域；（3）利用导数求函数单调性的基本步骤；2、函数的极值（1）基本概念；（2）利用导数求函数极值的基本步骤；3、函数的最大（小）值15（1）基本概念；（2）利用导数求函数最大（小）值的基本步骤；4、解决不等式的有关问题；5、在实际生活中的应用；6、常用的近似计算公式（当||x 充分小时）（1112x +11x n+； （2）(1)1()x x R ααα+≈+∈；111x x ≈-+； （3）1x e x ≈+；（4）ln(1)x x +≈；（5）sin x x ≈（x 为弧度）；（6）tan x x ≈（x 为弧度）；（7）ln20.6931≈、ln3 1.0986≈、lg20.3010≈、lg50.6990≈；7、分离参数的方法（1）常规法分离参数：如()()f x g x λ=； （2）倒数法分离参数：如1()()f x g x λ=； （3）讨论法分离参数：如()()g x f x λ≥（讨论()g x ）、(1)()n f x λ-≥（讨论n 奇偶性）；（4）整体法分离参数：如2()f x λλ+=；（5）不完全分离参数：如2ln b x x x x=+-； （6）作商法凸显参数，换元法凸显参数； 8、任意与存在的转化：若有多个并存，则处理1()f x 时，把2()g x 看作常数；处理2()g x 时，把1()f x 看作常数；9、常用函数的构造（1）关系为“加”型：①()()0f x f x '+≥，构造[()](()())x x e f x e f x f x '=+'；①()()0xf x f x '+≥，构造[()]()()xf x f x xf x '=+'；①()()0xf x nf x '+≥，构造11[()]()()[()()]n n n n x f x nx f x x f x x nf x xf x --'=+'=+'；（2）关系为“减”型：①()()0f x f x '-≥，构造()()()[]x xf x f x f x e e '-'=； ①()()0xf x f x '-≥，构造2()()()[]f x xf x f x x x '-'=； ①()()0xf x nf x '-≥，构造1()()()[]n n f x xf x nf x x x +'-'=； 二、考前必看1、求函数单调区间，必须优先考虑定义域；2、单调区间必须写成区间的形式，不能写成集合或不等式的形式；。

高考数学回归课本教案整理：卢立臻第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。

2. 理解导数的定义，掌握导数的计算公式和应用。

3. 提高学生解决实际问题的能力，提升数学思维品质。

二、教学内容1. 极限的概念与计算2. 导数的定义与计算3. 导数的应用4. 极限与导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念与计算，导数的定义与计算，导数的应用。

2. 难点：极限的推理与计算，导数在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究极限与导数的概念和计算方法。

2. 利用实例分析，让学生感受极限与导数在实际问题中的应用。

3. 开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过回顾初中数学中的函数概念，引导学生思考函数在高中数学中的拓展。

2. 讲解极限的概念与计算：借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。

3. 讲解导数的定义与计算：以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。

4. 应用练习：布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。

教案示例：【教学环节1：导入新课】教师通过提问方式引导学生回顾初中数学中的函数概念，引发学生对函数在高中数学中拓展的思考。

【教学环节2：讲解极限的概念与计算】教师借助数轴和实际例子，讲解极限的定义，引导学生掌握极限的计算方法。

【教学环节3：讲解导数的定义与计算】教师以极限为基础，引入导数的概念，讲解导数的计算公式，并通过实例让学生熟悉导数的计算方法。

【教学环节4：应用练习】教师布置具有代表性的习题，让学生巩固极限与导数的计算方法。

【教学环节5：总结与拓展】教师对本节课的内容进行总结，引导学生思考极限与导数在实际问题中的应用。

六、教学内容1. 极限的性质与极限的运算法则2. 导数的性质与导数的运算法则3. 高阶导数4. 隐函数求导与微分5. 导数在实际问题中的应用七、教学重点与难点1. 重点：极限的性质与极限的运算法则，导数的性质与导数的运算法则，高阶导数，隐函数求导与微分，导数在实际问题中的应用。

高中数学课本回归（1）第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定义7 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1． （3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如： 集合{()x y y =，中的元素是()xy ，，这个集合表示二元方程y =或者理解为曲线y =集合{x y =中的元素是x，这个集合表示函数y =x 的取值范围；集合{y y =中的元素是y，这个集合表示函数y =y 的取值范围；集合{y =中的元素只有一个（方程y =，它是用列举法表示的单元素集合．（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。