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定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
计算定积分的方法定积分是微积分的重要概念之一，它可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的体积、求解平均值等问题。
计算定积分的方法有一些常见的技巧，如换元法、分部积分法、利用对称性和利用定积分的性质等。
下面将逐一介绍这些方法。
第一种方法是换元法。
当被积函数中存在一部分可以通过一次函数替换来简化时，可以使用换元法。
换元法通过变量替换的方式将原函数简化为具有更简单形式的函数，从而更容易求解。
一般来说，有两种常用的换元方法：一种是代数换元法，即通过引入新的代数变量来替换函数中的一部分；另一种是三角换元法，即通过引入三角函数来替换函数中的一部分。
第二种方法是分部积分法。
分部积分法是利用导数的乘积法则将一个积分转化为另一个积分的方法。
具体来说，当被积函数中存在一部分可以看作是一个函数的导数与另一个函数的乘积时，可以使用分部积分法。
分部积分法的公式为：$$\int u \,dv = uv - \int v \, du$$ 通过适当选择$u$和$dv$，可以将原积分化简为更易求解的形式。
第三种方法是利用对称性。
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用这种对称性来简化计算过程。
例如，当被积函数为偶函数时，可以将积分区间从$(-a,a)$缩小为$(0,a)$，然后将被积函数乘以2进行积分。
当被积函数为奇函数时，可以利用奇函数的性质进行化简。
第四种方法是利用定积分的性质。
定积分具有一些特殊的性质，如线性性质、additivity性质和区间可加性质等。
通过利用这些性质，可以将原积分化简为更容易求解的形式。
例如，可以将一个复杂的定积分分解为多个简单的定积分相加，或者利用区间可加性质将一个积分区间分成多个小区间，然后对每个小区间进行积分。
以上所提到的方法只是定积分计算中常用的一些方法，实际上还有其他一些求解定积分的技巧和方法。
在解决具体问题时，需要根据问题的特点和需要选择合适的方法。
另外，在实际计算中，还可以借助计算工具如数值积分、计算机软件等来求解定积分，特别是当被积函数很复杂或求解过程较为繁琐时，这些工具可以提供更便捷和准确的解决方案。
高等数学定积分的计算方法
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是求解某种函数在某一区间上的积分，可以用来计算曲线下某一区域的面积或体积。
计算定积分的方法有很多，其中最常用的是求和法和分段法。
求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后将每个小区间上的函数值加起来，从而求出定积分的近似值。
具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成n个小区间，即
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-a)/n；然后，将每个小区间上的函数值加起来，即
∫_a^bf(x)dx≈h*[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)]，其中h=(b-
a)/n。
分段法是指将定积分的区间分割成若干段，然后分别求出每段上的积分，最后将每段上的积分加起来，从而求出定积分的近似值。
具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成
n段，即a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-
a)/n；然后，分别求出每段上的积分，即
∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h，其中h=(b-a)/n；最后，将每
段上的积分加起来，即∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h。
以上就是计算定积分的两种常用方法，它们都是基于求和原理的，只是求和的方式不同而已。
在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的方法，以达到最优的计算效果。
第三节定积分的计算
教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法教学重点：定积分换元积分法
一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间[ab]上连续.函数x (t)满足条件
(1) ( ) ^ ( ) b-
(2) (t)在[.](或[.])上具有连续导数•且其值域不越出[ab]. 则有
b : .
a f(X)dX 二.f[ (t)] (t)dt .
这个公式叫做定积分的换元公式,
证明由假设知f(x)在区间[ab]上是连续.因而是可积的f [ (t)] (t)在区间[.](或[.])上也是连续的.因而是可积的.
假设F(x)是f (x)的一个原函数.则
F(b)-F(a).
a b f (x)dx
另一方面因为{F[ (t)]} F [ (t)] (t) f [ (t)] (t).所以F[ (t)]是f[ (t)] (t)的一个原函数•从而
；f[ ®]「(t)dt F[ ( )] -F[ ( )] F(b)-F(a).
因此ff(x)dx = f f[®(t)]®(t)dt .
例 1 计算：、.a2-x2dx(a>0).
解O' Ja2一/dx n x=asint： 02a cost acostdt
兀a2 n
=a202cos2tdt = 2 02(1 cos2t)dt
年[t 2sin2t]0W
提示..a2-x2f a2-a2sin2t =acost dx a cos t 当x 0 时t 0 当x a
时-2
例 2 计算cos5xsinxdx .
解令t cos x .则
.It -It
02cos5xsin xdx - - 02cos5xd cosx
令cosx 4 0 5 1 5 1 61 1
= -1t5dt = 0t5dt^t6]0#・
5 5
)2 cos 5 xsin xdx = _ j cos 5 xd cosx
cos 6x ］|-Jcos 62 1cos 6^1
例 3 计算 o'sin 3x-sin 5xdx .
応3 71 3
2 sin 2 xcosxdx - =sin 2 xcosxdx
2
兀 3 応 3
2sin 2 xd sin x - - sin 2 xd sin x
'2
痔点］迸sin 和令迸)令
______________ _____________________ 3
提示 、sin 3x -sin 5x sin 3x(1—sin 2x)=sin 2 x|cosx|
解。
二2严亠 t 2—1 +2
十 tdt 号：(t 2 3)dt
冷［$3 3］冷［(乎 9) -(1 3)］=22 '
2
提示 X 」1 dx tdt 当x 0时t 1
2 例5证明：若f (x)在［-a a ］上连续且为偶函数 Lf(x)dx=2『f(x)dx ,
证明 因为 lf(x)dx = i f(x)dx+0 f(x)dx .
0 令x 二丄 0 a a
」f(x)dx a f(—t)dt = 0 f (—t)dt =0 f(—x)dx .
所以 」f (x)dx = 0 f (-x)dx 0 f (x)dx
= 0［f(-x) f(x)］dx 二：2f (x)dx=2 ： f(x)dx .
讨论
若f(x)在［-a a ］上连续且为奇函数•问a f (x )dx = ? ■ a
解 0 s in 3x_s in 5xdx = 乂 3
sin 2 x|cosx|dx
在［0, -2］上|cos x| cos x 在【2,二］上
|cos
x| cos x
提示若f(X)为奇函数.则f ( -x) f ( x)
a a
卫f(x)dx= 0 [f (_x) f(x)]dx=O .
例6若f ( x)在[0 . 1]上连续.证明
Ji n
(1) 02f (sin x)dx = 02f (cosx)dx
(2) 0 xf (si nx)dx=~^0f(si n x)dx ,
证明(1)令x=；_t .贝U
f (sin x)dx =—0f [sin(今-t)]dt
鸟IT 尹
= 02f[sin^-t)]dt=02f(cosx)dx .
(2)令x= -t .则
(sinx)dx=— ](兀-t) f [sin(x -t)]dt
= 0(「：-t)f[sin(二-t)]dt = 0 (二-t) f (sint)dt
=0 f (sint)dt —0 tf (sint)dt
-■：0 f (sinx)dx—0 xf(sinx)dx .
所以xf (sin x)dx=~^ (sin x)dx ,
「2
xe= x 知
1
TXT—一1 <x <0
J^cosx
解设x-2=t .则
：f (x -2)dx f⑴dt = dt0te” dt
=[tan 号]:-[为"]：=tan-1 -T e^ 1
2」4 2 0 2 2 2
提示设x 2 t 则dx dt 当x 1时t 1 当x
、分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间［a b］上具有连续导数u (x)、v (x). (uv) u v uv 得uv uv u v
等式两端在区间［ab］上积分得
b uvdx 4uv]^ i u vdx 或「udv 二[uv]?-< Odu .
a •a -a ・a
这就是定积分的分部积分公式0从而
4
.计算1 f(x-2)dx .例7设函数f(x)
分部积分过程
b b b b b b
[uvdx= [udv=[uv]a —]vdu =[uv】a — [u Vdx=…”
例 1 计算jarcsinxdx .
i i i
解£arcsin xdx =[xarcsin x][ - 0xd arcsinx
12财二心）
例2计算0e x dx .
0e%x=2(e t tdt
=20tde t
=2間0-2 0e t dt
A
=2e-2[』]。
=2 ■
例 3 设l n=[2sin n xdx .证明
(1) 当n为正偶数时i n.心…3 1二.
n n n-2 4 2 2
(2) 当n为大于1的正奇数时儿二凹4 2.
n n n-2 5 3
.It It
证明l n=°2si n n xdx =-jsi n n°xdcosx
=-[cos xs in n° x] $ 亠02cosxd sin n 4x =(n -1) 02cos2xs in n'xdx =( n -1) 02(si n^x-si n n x)dx
jt j[
=(n—1) (sin n^xdx—(n —1) (sin n xdx
(n -1) I n 2 -(n_ 1) I n
由此得
1
2
i
2m -1 2m -3 2m -5 3 1 . 2m 2m_2 2m ・ 4 2 0
2m 1 因此 1 2m 1 2m 1 2m 2m 1 2m -2 2m -4 4 2 . 1 ---------- 1 ------------ 1 ■1— ■— I 1 2m -1 2m 3 5 3 = 02dx =— .z h = 02si n xdx =1 . 2m -1 2m 2m -3 2m -5 3 1 二 2m -2 2m -4 4 2 2 _ 2m 2m -2 2m -4 2m 1 2m -1 2m -3 例3设l n = 02sin n xdx （ n 为正整数）.证明
l 2m -1 2m 「3 2m -5 3 1：：
I 2m 一 2m 2m-2 2m 4 4 2 2 I 二 2m 2m —2 2m-4 2m 彳 _2m 1 2m —1 2m —3 证明 i n=02s in n xdx =_02si n n 」xdcosx =-[cos xs in n d x] 0 (n -1) 02 cos 2 xs in n xdx .n =(n —1) 02(sin n_2x-sin n x)dx -it -it =(n-1) (si n n ^xdx-(n-1) (s in n xdx (n —1)ln- 2—(n-1)1 n. 由此得I n 二^I n 亠
l =2m -1 2m -3 2m-5 ...3 1 J 2m 2m 2m —2 2m Y 4 2 0 2m 2m -2 2m -4 4 2 i 12m 1 % 1 2m-1 2m-3 5 3 11 特别地 l 0 = 02 dx 二F h = 02sin xdx =1 . 因此 I 「2m —1 2m —3 2m -5 . ..3 1 .二 2m 2m 2m —2 2m —4 4 2 2 I 2m 2m _2 2 m _4 4 2 2m 1 2m 1 2m -1 2m-3 5 3 课堂练习： 0
1 •求[2x +1dx
Q<x <1 1x <2
2
，求0f(x)dx。
2 •设f (x) =丿，
2-x,。
