苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

向量的概念及表示教学设计江阴市祝塘中学张玉教学目标: 1了解向量的实际背景,会用字母表示向量，理解向量的几何意义2理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念重难点:向量概念、相等向量概念、向量几何表示、向量概念的理解教学过程：一【情境设置】问1：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去猫能否追到老鼠？问2：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向西北追去猫能否追到老鼠？问3：猫能否追到老鼠，涉及哪些要素？设计意图：通过3个问题让学生去发现向量的概念，从而引出向量的概念。

二【数学建构】1.向量的概念：注意：数量与向量的区别：设计意图：对向量概念的阐述，通过与数量的比照更进一步向量所需的条件。

2.向量的表示：几何表示：字母表示：设计意图：从两个角度表示向量，为以后的学习打好根底。

3.向量的模：记作：两个特殊向量：设计意图：通过观察发现向量的大小，从而引出向量的模，再从向量的长度上对零向量和单位向量进行说明。

4.向量之间的根本关系：（1）平行向量的定义：思考：吗？（2）相等向量：（3）相反向量：注意：共线向量与平行向量设计意图：通过观察发现向量的方向，引出平行向量，从而引出相等向量、相反向量以及共线向量。

三【数学运用】例1：判断以下说法是否正确或给出问题的答案：〔1〕平行向量的方向一定相同．〔2〕不相等的向量一定不平行．〔3〕与零向量相等的向量是什么向量？〔4〕存在与任何向量都平行的向量吗？〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔6〕共线向量一定在同一直线上．设计意图：通过判断正确与否对概念进一步的加深。

例2：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量OA相等的向量。

设计意图：结合图形解决相关问题，加深对一些常见概念的理解。

例3：在4×5方格纸中有一个向量,以图中的格点为起点和终点作向量其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？设计意图：考查学生对知识理解的深度和广度，考察学生对解题的实际能力。

2.1 向量的概念及表示1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念.(重点)，2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义.(重点、难点)，3.理解向量的几何表示.(重点)[基础·初探]教材整理1向量的定义及表示阅读教材P59图2-1-2以上部分内容，完成下列问题.定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为AB→；(2)字母表示：用小写字母a，b，c表示模向量AB→的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB→|1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段就是向量．()(2)向量就是有向线段．()(3)有向线段可以用来表示向量．()【★答案★】 (1)× (2)× (3)√2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．【解析】 一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．【★答案★】 ①⑥⑦⑧教材整理2 向量的有关概念及其表示阅读教材P 59图2-1-2以下内容至P 60例2以上内容，完成下列问题. 名称定义 表示方法 零向量长度为0的向量 记作0 单位向量长度等于1个单位长度的向量 平行向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量 a 与b 平行(或共线)，记作a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量 a 与b 相等，记作a ＝b 相反向量 长度相等且方向相反的向量 a 的相反向量记作－a判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .( )(2)若a ∥b ，则a 与b 的方向一定相同或相反．( )(3)若非零向量AB →∥CD →，那么AB ∥CD .( )(4)向量可以比较大小．( )【解析】 (1)正确．(2)0与任何向量共线，但0方向任意，故(2)错误．(3)AB →∥CD →，A ，B ，C ，D 可能共线，故(3)错误．(4)因为向量有方向性，故向量不能比较大小．【★答案★】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型] 向量的概念①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．【精彩点拨】 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．【自主解答】 ①错误.0的模为零．②正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ③错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上．【★答案★】 ②1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3.对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．[再练一题]1.判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a 与b 同向，且|a|＞|b |，则a ＞b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行. 向量的表示方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【精彩点拨】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图：(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.[再练一题]2.在如图2-1-1的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.图2-1-1(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？【解】 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．[探究共研型]共线向量【提示】 不一定平行．探究2 若向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 相等吗？反之，若向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)吗？【提示】 向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 不一定相等；向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)．探究3 向量平行具备传递性吗？举例说明．【提示】 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .如图2-1-2，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．图2-1-2(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量. 【导学号：48582071】【精彩点拨】 结合相等向量、共线向量的概念，对(2)(3)作出判断，结合正三角形的性质对(1)作出判断．【自主解答】 (1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．[再练一题]3.如图2-1-3，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，图2-1-3(1)图中与AB →共线的向量有________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →模相等的向量有________；(4)图中与EC →相等的向量有________；(5)图中与AB →互为相反向量的有________．【解析】 (1)∵AB ∥CD ，A ，B ，E 三点共线，∴AB →与CD →，BE →，AE →共线．(2)∵AB ＝BE ，且AB →与BE →方向相同，∴AB →＝BE →.(3)∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BE ，∴|AB →|＝|BC →|＝|CD →|＝|DA →|＝|BE →|.(4)∵EC 綊BD ，∴EC →＝BD →.(5)∵|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →方向相反，∴AB →与CD →互为相反向量．【★答案★】 (1)BE →，CD →、AE → (2)BE → (3)BC →，CD →，DA →，BE → (4)BD → (5)CD →1．下列说法正确的是________．①零向量的长度为零；②零向量与任一向量都是共线向量；③零向量没有方向；④零向量的方向是任意的．【解析】 零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，③错．【★答案★】 ①②④2.下列命题中，正确的是________．①a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等；②若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；④共线的单位向量必是相等向量．【解析】 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 共线．【★答案★】 ②3.如图2-1-4，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.图2-1-4【解析】 由于正方形的对角线长为22，∴|OA →|＝ 2.【★答案★】 24．如图2-1-5所示，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c .在以A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 为起点或终点的向量中：图2-1-5(1)模与a 的模相等的向量有________个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有________．(3)与a 共线的向量有________．(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．________.【解】 (1)满足条件的向量有23个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →.【★答案★】 (1)23 (2)OD →，BC →，AO →，FE → (3)EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD → (4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →5.在如图2-1-6所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：图2-1-6(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；(3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.【导学号：48582072】【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．。

2.1《向量的概念及表示》教学设计一、教学目标：1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示．2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．二、教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示．三、教学难点：向量概念的理解．四、教学方法: 自主探究式．五、教学过程：一、问题情境情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B．从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移．二、学生活动1．问题（1）在图中标出两个位移．（2）请说出位移和距离的异同．（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？2．思考：阅读课本55～56页，回答下列问题．（1）什么是向量？（2）怎么表示向量？（3）什么是向量的模？BOA（4）有哪些特殊向量？三、建构数学1．向量的概念及表示．（1）向量的定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（2）向量的表示：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.【思考1】要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（3）向量的大小及表示:（4）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别；（5）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

【思考2】平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？2．向量的关系．（1）平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

高中数学苏教版必修4第2章《2.1.1 向量的概念及表示》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示.2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等概念。

2学情分析授课对象为高一竞赛班学生,基本功扎实。

但本章内容是全新的内容,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极为丰富法实际背景,而且要理解向量的概念和几何性质等本身具有相当的难度,即使是竞赛班的学生,也要注重将基础打扎实,让学生经理向量的构建过程,从中了解到数学和现实世界的深刻联系,培养他们解决问题的能力。

考虑到这些情况,我采用多媒体和板书相结合、启发式与探究式相结合等方法,注重师生的合作探究,发展其应用数学的意识。

3重点难点教学重点: 向量基本概念及其建构过程。

教学难点: 平行向量、相等向量、共线向量的联系和区别。

4教学过程1【导入】创设情境数学的发展始终离不开人类文明的进步,从人类结绳记事开始,随着对客观事物的不断深入认识,我们不停地发现着新的方法来解决问题。

之前在三角函数中引入角变量解决了一些旋转、伸缩等问题。

今天开始我们学习平面向量。

向量是近代数学中非常重要的基本数学概念,它的产生同样来源于生活实际,作为连接代数与几何的桥梁,它有着极高的应用价值。

下面我们就一起来体验向量概念的产生、发展、完善的过程,并要求在后续学习中能利用它来解决实际问题。

情境:(1)请在坐的两位同学起立,比谁更高?和姚明比呢?教师引导:身高可以用唯一的实数表示,转化成比较实数大小的问题。

但仅比较大小能解决所有的实际问题吗?(2) 如图,同一时刻,老鼠向西北方向逃窜,猫由正东方向追去,猫能否抓到老鼠?猫如何才能抓到老鼠?生:不能,方向不对。

猫要抓到老鼠,必须速度和方向都要适当。

(3) 又如,甲乙两车分别以40km/h和50km/h的速度沿同一方向直线行驶,2小时候,它们相差20km;甲乙两车分别以40km/h和50km/h的速度同一个地点出发,甲车向北,乙车向南,2小时候,它们相差180km。

a 第 1 课时： 2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。

3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法： 采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a 千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。

第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。

2.1 向量的概念及表示(1)向量的定义既有大小又有方向的量称为向量．(2)向量的表示方法(3)向量的长度(模)向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|.预习交流1有向线段是向量吗？提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．2．特殊向量及其表示(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(1)相等向量一定是共线向量吗？提示：是．由共线向量与相等向量的概念知，共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(2)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必共线，正确吗？提示：不正确．共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线．一、向量的有关概念判断下列命题的正误：(1)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之，若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点必能组成平行四边形．思路分析：解答有关向量概念的题目，其关键是理解向量的大小和方向及向量的相关概念．解：(1)正确，相等向量具有传递性；(2)不正确，若b ＝0，则不共线的向量a ，c 也有a ∥0，0∥c ；(3)不正确，结合平行四边形的定义可知：四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之不成立，因为A ，B ，C ，D 四点可能共线．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是__________(填序号)．答案：①③④解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确；|a |＝|b |但方向可以任意，∴②不正确；a 与b 反向必平行或重合，∴③正确；由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④正确；两单位向量的模相等但方向不一定相同，∴⑤不正确．(1)向量是数与形的完美结合体，因此在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．(2)相等向量具有传递性，但共线(平行)向量不具有传递性．(3)注意向量与数量的区别，两者最大的差异在于前者具有方向性．后者可以比较大小，但向量一般不比较大小．二、向量的表示方法在一次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求出|AD →|.思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解．解：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →.∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.在如图的方格纸中，按要求画出向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应各题的向量如图所示．向量的画法及表示方法(1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示．用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算．三、共线向量与相等向量如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量；(3)若|AB →|＝3，求向量DE →的模．思路分析：本题可依据相等向量与共线向量的定义求解．寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是ED →，DC →；(2)与向量AB →共线的向量是DE →，DC →，CE →，BA →，ED →，CD →，EC →；(3)∵D E →＝－A B →，且|AB →|＝3，∴|DE →|＝|AB →|＝3.如图所示，四边形ABCD 为平行四边形．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)分别写出与OA →共线，与AB →共线的向量．解：(1)3个，分别是OC →，CO →，AO →.(2)OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →.与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.(1)注意相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．(2)用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④加速度；⑤路程；⑥力；⑦密度；⑧功．其中不是向量的是__________(填序号)．答案：①⑤⑦⑧解析：利用向量的定义判断．2．下列说法错误的是__________(填序号)．①向量AB →与BA →模相等；②两个相等向量若起点相同，则终点必相同；③只有零向量的模等于0；④零向量没有方向．答案：④解析：零向量的方向是任意的．3．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝__________.答案：0解析：由两向量相等可得．4．下图中，小正方形的边长为1，则|AB →|＝__________；|CD →|＝__________；|EF →|＝__________.答案：3 2 26 2 2解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32；|CD →|＝26；|EF →|＝2 2.5．在下图的坐标纸上，按要求画出向量(每个小方格的边长为1)．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向；(3)BC →，使|BC →|＝32，点C 在点B 南偏东45°方向．解：如图所示．。