高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数的加法和减法自我小测新人教B选修1-2讲解

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数的加法和减法学业分层测评新人教B版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1 复数的加法和减法学业分层测评新人教B版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2。

1 复数的加法和减法（建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1。

(6－3i)－（3i＋1)＋（2－2i)的结果为（）A。

5－3i B。

3＋5iC。

7－8i D。

7－2i【解析】(6－3i）－(3i＋1)＋(2－2i）＝（6－1＋2)＋（－3－3－2)i＝7－8i.【答案】C2。

在复平面内,复数1＋i和1＋3i分别对应向量错误!和错误!，其中O为坐标原点,则|错误!｜＝（）A.错误!B。

2C。

10 D.4【解析】由复数减法运算的几何意义知，错误!对应的复数为（1＋3i）－(1＋i)＝2i，∴|错误!|＝2.【答案】B3。

复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋b i，若它们的和为实数,差为纯虚数，则实数a，b的值为（)A.a＝－3,b＝－4B.a＝－3，b＝4C.a＝3,b＝－4 D。

a＝3，b＝4【解析】由题意可知z1＋z2＝（a－3）＋(b＋4）i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋（4－b）i 是纯虚数，故错误!解得a＝－3，b＝－4。

【答案】A4。

A，B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点，O是原点，若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜,则△AOB一定是（）A。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数的加法和减法课堂探究 新人教B 版选修1-2探究一 复数的加减法运算复数的和(差)仍为复数，计算复数的加减法时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．【典型例题1】 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.思路分析：通过复数的加减法运算求得z (用x ，y 表示)，再利用共轭复数的定义及复数相等的充要条件求出x ，y 的值，从而求得z 1，z 2.解：∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴z ＝(5x －3y )－(x ＋4y )i.又∵z ＝13＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，－(x ＋4y )＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.探究二复数加减法的几何意义由于复数与向量的对应关系为复数赋予了几何意义，因此在处理复数某些问题时，可通过数形结合实现数与形的沟通．【典型例题2】 在复平面内，▱ABCO 的顶点O 是坐标原点，顶点A ，C 对应的复数分别是z 1＝x ＋23i ，z 2＝23－x i ，若B 点在单位圆内，则实数x 的取值范围为________． 解析：设点B 对应的复数为z ，∵OB ＝OA ＋OC ，即z ＝z 1＋z 2＝x ＋23i ＋23－x i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x i. 由已知|z |＜1，∴|z |2＜1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x 2＜1.即x 2＜118.∴－26＜x ＜26. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－26，26 点评 本题综合考查了复数减法与复数模的几何意义，要注意数形结合的充分利用． 探究三 易错辨析易错点 忽视了复数、向量、点对应关系的前提而致误【典型例题3】 已知z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，z 3＝3＋2i 对应的点依次为A ，B ，C ，按A →B →C →D 的顺序作平行四边形ABCD ，求顶点D 对应的复数．错解：BA u u u r 对应的复数为z 1－z 2＝2i －(1＋i)＝－1＋i ，BC uuu r 对应的复数为z 3－z 2＝3＋2i －(1＋i)＝2＋i ，则BD u u u r 对应的复数为(z 1－z 2)＋(z 3－z 2)＝－1＋i ＋(2＋i)＝1＋2i ，所以点D 对应的复数为1＋2i.错因分析：将BD u u u r 对应的复数错认为是点D 对应的复数．实际上D 点对应的复数应与ODu u u r 相对应．正解：由错解得BD u u u r 对应的复数为1＋2i ，又OD u u u r ＝OB uuu r ＋BD u u u r ＝(1＋i)＋(1＋2i)＝2＋3i ，故点D 对应的复数为2＋3i.。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.2.1 复数的加法与减法课堂探究 新人教B 版选修2-2探究一 复数的加法与减法运算1．复数的加减运算类比实数的加减运算，若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行．2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．【典型例题1】 计算下列各式：(1)(13－5i)＋(－3＋4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；(4)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 013－2 014i)－(2 014－2 015i)． 思路分析：根据复数加法、减法的运算法则进行计算．解：(1)(13－5i)＋(－3＋4i)＝(13－3)＋(－5＋4)i ＝10－i ；(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i ；(3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i ＝－1－5i ；(4)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015)i ＝－1 007＋1 007i.探究二 复数加减运算的几何意义1．复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算．2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题．3．在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；(3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．【典型例题2】 已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点．(1)求AD →对应的复数；(2)求DB →对应的复数；(3)求△AOB 的面积．思路分析：由复数加法、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量OA →，OB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△AOB 的面积．解：(1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB →对应的复数是5.(3)由于OA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， OB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 即OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 于是OA →·OB →＝－54，而|OA →|＝172，|OB →|＝52， 所以172·52·cos∠AOB ＝－54， 因此cos ∠AOB ＝－1717，故sin ∠AOB ＝41717， 故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×172×52×41717＝52， 即△AOB 面积为52. 探究三 复数加减运算的综合问题在进行复数的加法、减法以及模的运算时，主要依据加减运算法则、模的公式计算求解．【典型例题3】 (1)已知复数z 满足|z |＝5，且z ＋1是纯虚数，求z ；(2)设f (z )＝z ＋3i －z －|z |，若z 1＝2－i ，z 2＝－1＋2i ，求f (z 1－z 2)．思路分析：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )代入求解；(2)先求出z 1－z 2，再代入f (z )中计算．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋1＝(x ＋1)＋y i ，由已知得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋1＝0，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.于是复数z ＝－1＋2i 或z ＝－1－2i.(2)由已知得z 1－z 2＝(2－i)－(－1＋2i)＝3－3i ，于是f (z 1－z 2)＝f (3－3i)＝3－3i ＋3i －(3＋3i)－|3－3i|＝－3i －3 2. 故f (z 1－z 2)＝－32－3i.探究四 复平面内两点间距离公式及应用1．|z 1－z 2|表示复平面内，复数z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2之间的距离，在应用时，要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式；2．涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．【典型例题4】 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值．思路分析：|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|表示复数z 对应的点与复数－3＋4i 对应的点之间的距离，从而可知z 对应点的轨迹为圆，然后借助几何方法求解．解：由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z 与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4，即|z |max ＝6，|z |min ＝4.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

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复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点:复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备:多媒体、实物投影仪 .教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a,b）惟一确定。

教学过程：学生探究过程：1。

虚数单位i：（1)它的平方等于-1,即21i=-；（2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3。

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复数代数形式的加、减运算及其几何意义三维目标:•知识与能力：掌握复数代数形式的加、减的运算法则、运算律。

掌握复数加、减运算的几何意义..•过程与方法：通过实数集扩充到复数集，类比出实数的加、减运算及运算律应用到复数的加、减运算•情感态度与价值观：利用画图得到的结论,不能代替论证，然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用。

教学重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学建议：复数代数形式的加、减的运算法则比较简单,易于理解,但几何意义对有的同学来说是个难点,讲课时要重点讲解，尤其是可以看做坐标系内的向量,利用向量的模进行运算.导入一：我们知道实数有加、减法等运算，且有运算律.加法交换律：a+b=b+a;加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c）。

思考:那么复数应怎样进行加、减运算呢？导入二：复习引入，激发认知①复数z=a+bi（a、b∈R），其中 a 是实部， b 是虚部．当且仅当b=0 时，z是实数；当且仅当 a=0且b≠0 时，z为纯虚数；②如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即：如果a,b,c,d∈R，那么a+bi=c+di a=c,b=d③复数z=a+bi与复平面内所有的点是一一对应关系；与平面向量也呈一一对应关系．④如果已知向量,则，。

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复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义．过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律,得到复数加减运算的法则,同时了解复数加减法运算的几何意义．情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．教学重点：复数加减法运算及其应用．教学难点:复数加减法运算的几何意义．教具准备:多媒体、实物投影仪等．教学过程：①复数z=a+bi（a、b∈R)，其中a是实部，b是虚部．当且仅当b=0 时，z是实数；当且仅当a=0且b≠0 时，z为纯虚数；②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a,b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d③复数z=a+bi与复平面内所有的点是一一对应关系；与平面向量也呈一一对应关系．④如果已知向量，则，引入了一个新数，我们最关心是它是如何运算的，我们先来研究复数的加法．即，那么根据复数是实数的推广，实数也是复数的概念，举出复数（实数）相加的特例，如2+3=5．①因为实数是复数的特殊情况,那么复数是如何进行加减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？若能,从复数的概念角度如何解释？②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明．（纯虚数是复数的另一类特殊情形．z1=2i z2=3i，即z1=0+2i，z2=0+3i 猜想z1+ z2=(0+0）+(2+3）i=0+5i=5i．）③你对一般的两个复数相加有什么猜想，即④引导学生从向量的角度上去理解加法法则猜想的正确性结论：两个复数相加等于它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加．⑤复数的加法满足加法交换律，满足加法结合律吗？复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1。