【最新文档题库】江苏省南通中学高一上学期数学期中试卷带答案

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）{}3,4,5N =N A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.n 21n-【详解】，则的真子集为：{}3,4,5N =N {}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅故选：C2．下列图象中，表示函数关系的有（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，x y 对于A ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于B ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于C ，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；x y 对于D ，当时，有无数个值与其对应，不符合.1x =y 故选：C .3．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为()()2231mm f x m m x +-=--()0,x ∈+∞()f x m （ ）A ．B ．1C ．2或D ．21-1-【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，()()2231mm f x m m x +-=--∴，即，解得，或，211m m --=()()210m m -+=2m =1m =-又当时，单调递减，∴，()0,x ∈+∞()f x 230m m +-<当时，，不合题意，舍去；2m =2330m m +-=>当，，符合题意，1m =-2330m m +-=-<故．1m =-故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学【答案】C的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．102525==105232==2532<<又∵，，6339==6328==>∴．<<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.5．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）a []3,4x ∀∈0x a -<A ．B ．C ．D ．4a >5a >3a >4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.a 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，[]3,4,0x x a ∀∈-<所以，在区间上恒成立，所以，a x >[]3,44a >所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.[]3,4,0x x a ∀∈-<5a >故选：B 6．已知函数由下表给出，若，则()f x ()()()()()0134f f x f f f =+⋅0x =x1234()f x 1312A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.()()()134f f f +⋅()0f x 0x 【详解】由题可得,,则,故.()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=()02f x =04x =故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数的定义域为，则函数）()f x []22-,()()3g x f x =A ．B ．C ．D ．(]0,120,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，()g x 23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩ ()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩ 203x < 所以函数的定义域为．()g x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）真数常用对数真数常用对数20.3011 1.0430.4812 1.0840.6013 1.1150.7014 1.1560.7815 1.1870.8516 1.2080.9017 1.2390.9518 1.26101.00191.28A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.3064311010a ≤<a 【详解】解：由题意得：，3064311010a ≤< ，6430lg 31101010a ∴≤<，即，6430lg 31a ∴≤<3064lg 31a ≤<故此，即，3031lg 6464a ≤<0.46875lg 0.484375a ≤<又因为为整数，故根据上表可知：，a 3a =故选：B二、多选题9．若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a<00c >0a b c ++>0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： 0013222122a a b b aa c a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项： ，即：A 项正确；a<0B 项： ，即：B 项正确；0c a =->C 项： ，即：C 项正确；3322a b c a a a a ++=--=->D 项：，即：D 项错误.3322a b c a a a a -+=+-=<故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合{}1,2A =(){}1,2B =B ．函数()f x =()1,1-C ．若，，则用，表示2log 3a =2log 7b =a b 423log 561b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x ()(),00,∞-+∞ 0x >()211f x x x =+-0x <()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{}1,2A =(){}1,2B =所以A 选项错误；对于B，根据解得函数，2 320x x+-≥()f x=[]1,3-令则，232t x x=+-y=为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调232t x x=+-1x=232t x x=+-()1,1-递增，在区间上单调递减，()1,3函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y=()f x=()1,1-所以B选项正确；对于C，因为，，根据对数的换底公式可得2log3a=2log7b=，所以C选项正确；()()3222222422222222log78log56log7log8log7log23log56log42log76log7log6log7log3log21ba b⨯+++=====⨯+++++对于D，因为当时，，可令，则，所以x>()211f x xx=+-x<0x->，又因为是定义在上的奇函数，所以()()()221111f x x xx x-=-+-=---()f x()(),00,∞-+∞，与题干结果不符，所以D选项错误.()()211f f x xxx-=-+-+=故选：BC.11．已知，，且，则（）a>0b>281a b+=A．B C．D．281a b->-1≥164ab≤221168a b+≥【答案】ACD【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，，281a b+=218a b=-0a>0b>所以，即，所以，2180a b=->18b<<28188116a b b b b-=--=-又因为，所以，可知A选项正确；18b<<1281a b-<-<对于B，因为，22812841222a b a ba b++=++=≤+=当且仅当，即，时等号成立，28a b=14a=116b=，可知B选项错误；1+≤对于C，因为，当且仅当，即，时281a b+=≥=164ab≤28a b=14a=116b=等号成立，可知C选项正确；对于D ，因为，所以，281a b +=142a b +=所以，()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==当且仅当，即，时等号成立，可知D 选项正确.4a b =14a =116b =故选：ACD.12．定义在上的函数满足，当时，，则以下()1,1-()f x ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭10x -<<()0f x <结论正确的是（ ）A ．B ．为奇函数()00f =()f x C ．为单调减函数D ．为单调增函数()f x ()f x 【答案】ABD【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由0x y ==y x =-1x x =2y x =-12x x <判断其符号即可.()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭【详解】解：令得，即得，A 正确；0x y ==()()()000f f f +=()00f =在定义域范围内令得，即得是奇函数，B 正确；y x =-()()()00f x f x f +-==()f x 令，，且，1x x =2y x =-12x x <所以，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭又且，，120x x -<111x -<<211x -<<所以，即，()()()()1221121110x x x x x x ---=+->1212101x x x x --<<-所以，即()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是单调增函数，D 正确，C 错误．()f x ()1,1-故选：ABD ．三、填空题13．计算：________.2log 312-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：.22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：3.14．已知函数，则________.()2231f x x =+()f x =【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式2t x =2tx =2(2)31f x x =+()f x 【详解】解：令,得,代入得2t x =2t x =2(2)31f x x =+223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即的解析式为()f x 23()14f x x =+故答案为：2314x +15．已知为正实数，则的最小值为__________．,x y 162y x x x y ++【答案】6【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.162y yx x ++【详解】由题得，162y xx x y+=+162y yx x ++设，则.(0)y t t x =>1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++当且仅当时取等.2t =所以的最小值为6.162y xx x y ++故答案为：6四、双空题16．已知函数，其中，()22,25,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩0m >（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；()f x ()0,∞+m （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==的值域为__________.y m =【答案】(]0,3(),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其x m ≤()2f x x=(0,)m x >m ()225f x x mx m =-+对称轴为，所以在x m =()f x (,)m +∞上单调递增，若函数在单调，则，()f x ()0,∞+22252||2m m m m m -+≥=解得.03m <≤（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，()f x 1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==则的图象如图所示：()f x则，即，解得或(舍去).222||225m m m m m =>-+230m m ->3m >0m <对于函数，令，，所以，y m =t =2t >22(1)1y t t t t =--=-++其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数12t =21y t t =-++()2,+∞22211y <-++=-的值域为.y m =(),1-∞-故答案为：，.(]0,3(),1-∞-五、解答题17．（1）求的值；1103488127⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知，求的值.114x x -+=1122224200x x x x --+++-【答案】（1）；（2）8343-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得1122x x -+114x x -+=1122x x -+()22212x x x x --+=+-的值，代入所求的式子即可得答案．22x x -+【详解】（1）；()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+=⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝（2），，，211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭= 11220x x ->+11224x x -∴+=，．()22212194x x x x--+=+-=11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++18．已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程p x 21202mx x -+>q x 无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.()244210x m x +-+=p qm 【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出p qm p qp q实数的取值范围.m 【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.p x 21202mx x -+>∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立0m =x 1202x -+>当时，，解得0m ≠4200m m -<⎧⎨>⎩m>2∴真时，；p m>2若真，则方程无实数根，q ()244210x m x +-+=∴，()2162160m --<∴真时，.q13m <<∵命题、中有且仅有一个真命题，p q∴当真假时，且，故实数m 的取值范围是：；p qm>2(][),13,m ∈-∞+∞ 3m ≥当假真时，且，故实数m 的取值范围是：；p q2m ≤13m <<12m <≤综上，实数的取值范围为m (][)1,23,⋃+∞19．已知函数是定义域上的奇函数.()21x bf x x +=-()1,1-（1）确定的解析式；()f x （2）用定义证明：在区间上是减函数；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()10f t f t -+<【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.()21x f x x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数()()f x f x -=-b 的解析式；()y f x =（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -()()12f x f x -即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单()()1f t f t -<-()y f x =调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.t t 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，()21x bf x x +=-()1,1-()()f x f x -=-即，化简得，因此，；()2211x b x b x x -++=-+-+0b =()21xf x x =-（2）任取、，且，即，1x ()21,1x ∈-12x x <1211x x -<<<则，()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，，，，，，.1211x x -<<< 210x x ∴->1210x x +>110x -<110x +>210x -<210x +>，，因此，函数在区间上是减函数；()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>()y f x =()1,1-（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，()y f x =()1,1-由得，所以，解得.()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩112t <<因此，不等式的解集为.()()10f t f t -+<1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的AB E 圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线()()0,025E t t <≤AF x⊥F BC 的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆()2500y ax a =-+>CD OD ⊥D CD E 的高（单位：米，下同）.50OB =(1)试将用和表示；DF a t (2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】(1)50DF t =-()025t <≤(2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标()0,50B 50CD t =-C 后，可知；50DF t =-()025t <≤（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最5075DF t =-≤162550a t t ≥++值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：，()0,50B 50BE t∴=-∵，均为圆的半径，BE CD ，圆的半径为：，50CD t ∴=-E 50t -∴，入抛物线方程可得，解得(),50C C x t -25050Ct ax -=-+C x =∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，AB E ()0,E t AF x ⊥F ∴，50OF AE t ==-∴.50DF OF OD t =+=-()025t <≤（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，DF ，整理可得：，5075DF t ∴=-()216252550ta t t t ≥=+++，(]0,25t ∈（当且仅当时取等号），62550t t ∴+≥=25t = ，1162510050t t ∴≤++.1100a ∴≥∴的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合，集合.{A x y =={}220B x x x a a =-+-<(1)若，求的取值范围；A B A ⋃=a (2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.A B ⋂a 【答案】(1)；[0,1](2).(1,2][1,0)- 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由，所以.22002x x x -≥⇒≤≤[0,2]A =由，220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，1a a =-12a =21()02x -<即，显然成立；B =∅B A ⊆当时，即时，，1a a >-12a >(1,)B a a =-要想，只需，而，所以；B A ⊆0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩12a >112a <≤当时，即时，，1a a <-12a <(,1)B a a =-要想，只需，而，所以，B A ⊆0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩12a <102a ≤<综上所述：的取值范围为；a [0,1]（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；12a =B =∅A B ⋂=∅由（1）可知：当时，，12a >(1,)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂1012a a -<⎧⎨<≤⎩0112a a ≤-<⎧⎨>⎩由，显然，所以，101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩12a >12a <≤由，0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩所以；12a <≤由（1）可知：时，，12a <(,1)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂0112a a <⎧⎨<-≤⎩0112a a ≤<⎧⎨->⎩由，而，即，010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩12a <10a -≤<由，0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩所以，10a -≤<综上所述：的取值范围为.a (1,2][1,0)- 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是D ()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n 单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．[],m n ()f x [],m n [],m n (1)写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=(2)求证：函数不存在“优美区间”；()64g x x =+(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最()()()221R,0a a x y h x a a a x+-==∈≠[],m n a n m -大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=（2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推()g x [,]m n ()()g m n g n m =⎧⎨=⎩出矛盾，即可证明结论；（3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩,m n 的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而222()10a x a a x -++=,m n 可求得的最大值．n m -【详解】（1）是的一个“优美区间”，证明如下：[0,2]21()2f x x=在区间上单调递增，212y x =[0,2]又，，∴的值域为，(0)0f =(2)2f =212y x =[0,2]∴是的一个“优美区间”．[0,2]21()2f x x=（2）设是函数的定义域的子集．[,]m n ()g x 由，可得或，0x ≠[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+∴函数在上单调递减．6()4g x x =+[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()g x 6464n m mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，则，66n m m n -=-6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴= 则，显然等式不成立，664m m +=∴函数不存在“优美区间”．6()4g x x =+（3）的定义域为，是函数的定义域的子集，()h x {|0}x x ≠[,]m n ()h x 则或，[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+而函数在上单调递增，()()222111a a x y x h x a a xa a +-==+=-[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．,m n 211a x a a x +-=222()10a x a a x -++=，∴同号，21mn a => ,m n 只需，解得或，2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->1a >3a <-，，211,a m n mn a a++== n m>，n m ∴-====∴当时，3a =n m -。

江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。

江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）1 / 15江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值为（ ）A. 0B. 1C.D.2. 设A ={x |2＜x ＜3}，B ={x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.3. 函数f （x ）=+（x -1）0的定义域为（ ）A. 且B.C. 且D.4. 函数y =的值域是（ ）A. B.C. D. 0，5. 已知函数f （x ）=，若f （x ）=5，则x 的值是（ ） A.B. 2或C. 2或D. 2或 或6. 函数y =ln x 2的部分图象可能是（ ）A.B.C.D.7. 在函数（1）f （x ）=x 2-2x ；（2）f （x ）=（x +1）；（3）f （x ）=（x -1）2；（4）f （x ）=lg 中，偶函数的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1D. 08. 已知函数，则函数f （x ）的减区间是（ ） A. B. C. D.9. 已知f （x +1）的定义域为[-2，3），f （x -2）的定义域是（ ）A. B. C. D. 10. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对于任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______．14.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=______．15.求值：=______．16.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，，＞，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集为U=R，，B={y|y=|x|+4}，求：（1）A∩B，A B；（2）A∩∁U B，∁U A ∁U B．18.已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，（1）求函数f（x）的表达式（2）求不等式f（x）＞-的解集19.已知奇函数f（x）=a+．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）3 / 1520. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足＞，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 已知函数f （x ）=x |x -2a |，a ∈R ．（1）若a =0，且f （x ）=-1，求x 的值；（2）当a ＞0时，若f （x ）在[2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围； （3）若a =1，求函数f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值g （m ）．22. 已知函数f （x ）=log 4（a •2x）（a ≠0，a ∈R ），g （x ）=log 4（4x+1）．（1）设h （x ）=g （x ）-kx （k ∈R ），若h （x ）是偶函数，求实数k 的值；（2）设F （x ）=（log 2x ）-g （log 4x ），求函数F （x ）在区间[2，3]上的值域； （3）若不等式f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=-1时，集合为{1，0，-1}，满足条件．故x=-1．故选：C．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故选：A．由A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞1，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞1且x≠2}．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）5 / 15故选：A ．可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，解出x 的范围即可．考查函数定义域的概念及求法． 4.【答案】D【解析】解：由题意：函数y=，∵x 2+1≥1，∴，即函数y=的值域为（0，1]．故选：D ．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的值域问题．属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f （x ）=x 2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2； 当x ＞0时，f （x ）=-2x=5，得x=-，舍去． 故选：A ．分x≤0和x ＞0两段解方程即可．x≤0时，x 2+1=5；x ＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大． 6.【答案】B【解析】解：∵x 2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx 2的定义域为（-∞，0） （0，+∞）， 又f （-x ）=f （x ），∴函数y=lnx 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x ＞1时，y=lnx 2＞0，可排除A ．故选：B ．由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于f（x）=x2-2x，其定义域为R，且f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x+1），有≥0，解可得-1＜x≤1，其定义域不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x-1）2，为二次函数，其对称轴为x=1，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=lg，有x2-2＞0，其定义域为{x|x＜-或x＞}，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C．根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设t=x2-4x-5，由t＞0可得x＞5或x＜-1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2-4x-5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选：C．设t=x2-4x-5，求得t＞0的x的范围，y=t在（0，+∞）递减，求得t的增区间，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）7 / 15运用复合函数的单调性，即可得到所求减区间．本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：∵f （x+1）的定义域为[-2，3）； ∴-2≤x ＜3； ∴-1≤x+1＜4；∴f （x ）的定义域为[-1，4）； ∴-1≤x -2＜4； ∴1≤x ＜6；∴f （x-2）的定义域为[1，6）． 故选：D ．可根据f （x+1）的定义域求出f （x ）的定义域，进而得出f （x-2）的定义域． 考查函数定义域的概念及求法，已知f[g （x ）]定义域求f （x ）定义域，以及已知f （x ）求f[g （x ）]的定义域的方法． 10.【答案】D【解析】解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=-f （-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数 ∴=＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（-1，0） （0，1） 故选：D ．根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．11.【答案】A【解析】解：∵f（x）==，在f（x）在（-∞，0）上单调递增，∵f（x2-2x）＜f （3x-4），∴或，解可得，或，即{x|1＜x＜2}，故选：A．由f（x）==，从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，结合单调性可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1∈（0，3]，则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，若对于∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤-3，∵g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，x∈[-2，2]，∴g（x）max=g（-2）=8+m，g（x）min=g（1）=m-1，则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5且m≤-2，故-5≤m≤-2，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）故选：C．求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．13.【答案】2【解析】解：由函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f（x）=x-1，在（0，+∞）上为减函数，不合题意；当m=2时，f（x）=x3，在（0，+∞）上为增函数，满足题意．故答案为：2．由函数f（x）是幂函数，列方程求出m的值，再验证是否满足题意．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：==+2+2=．故答案为：．9 / 15先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成3α的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以10为底的对数的形式即可求得其值为2，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M-log a N；log a M n=nlog a M等．16.【答案】（，）【解析】解：当0≤x≤2时，y=-x2递减，当x＞2时，y=-（）x-递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x≤2时，y=-x2∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（）x-∈[-1，-）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，-）．则有，即为，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）11 / 15 解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）． 故答案为：（，）．求出f （x ）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，转化为t 2+at+=0的两根均在（-1，-），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：（1） ＜ …（2分） B =[4，+∞）…（4分）∴A ∩B =[4，5]…（6分）A B =（2，+∞）…（8分）（2）∵∁U B =（-∞，4），∴A ∩∁U B =（2，4）…（11分）又∁U A =（-∞，2] （5，+∞）∴∁U A ∁U B =（-∞，4） （5，+∞）…（14分）【解析】（1）根据集合A ，B 的意义，求出集合A ，B ，再跟据交、并集的运算求得结果即可．（2）先跟据补集的运算求得A 、B 的补集，再跟据交并集的运算求得结果． 本题考查了对数函数的定义域、绝对值函数的值域、交并补集的运算，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （0）=0， 当x ＜0时，-x ＞0，则f （-x ）=2×（-x ）-1=-2x -1，又由函数f （x ）为奇函数，则f （x ）=-f （-x ）=2x +1，则f （x ）= ， ＞， ， ＜，（2）根据题意，f （x ）= ， ＞， ， ＜，当x ＞0时，f （x ）=2x -1，此时f （x ）＞- 即2x -1＞- ，解可得x ＞ ，此时不等式的解集为{x|x＞}，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；此时不等式的解集为{0}，当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，解可得x＞-，此时不等式的解集为{x|-＜x＜0}，综合可得：不等式f（x）＞-的解集{x|-＜x≤0或x＞}．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x＜0时f（x）的解析式，综合即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x＞0时，f（x）=2x-1，此时f（x）＞-即2x-1＞-，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．19.【答案】解：（1）∵奇函数f（x）=a+的定义域为R，∴f（0）=0，即f（0）=a+=a+=0，则a=-，则f（x）=-．（2）f（x）=-在（-∞，+∞）是为减函数…（6分）证明：任取x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，…（8分），∵x1＜x2，∴ ＞，∴ -，＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数…（10分）（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）∵f（x）是奇函数，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）=f（3x-2），即2x-1＜3x-2，得x＞1，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 15即不等式的解集为（1，+∞）…（15分）【解析】（1）根据函数是奇函数，利用f （0）=0，进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵＞， ∴f （x ）=R （x ）-G （x ）= ＞．…（7分） （2）当x ＞5时，∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x ≤5时，函数f （x ）=-0.4（x -4）2+3.6，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由，f （x ）=R （x ）-G（x ），能写出利润函数y=f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x ）=-0.4（x-4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由a =0知f（x ）=x |x |， 又f （x ）=-1即x|x|=-1，∴x=-1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；综上g（m）=，＜，＜，＞．【解析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．22.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）15 / 15 则a （1- ）∈[ a ， a ]，所以F （x ）∈[log 4 a ，log 4 a ]；即函数F （x ）的值域为[log 4 a ，log 4 a ]；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a •2x ）＜log 4（4x +1），设t =2x ，则t 2-at +1+ a ＞0，设m （t ）=t 2-at +1+ a ，若a ＞0则t ＞ ，由不等式t 2-at +1+ a ＞0对t ＞ 恒成立， ①当 ≤ ，即0＜a ≤ 时，此时m （ ）=＞0恒成立； ②当 ＞ ，即a ＞ 时，由△=a 2-4- a ＜0解得＜a ＜6； 所以0＜a ＜6；若a ＜0则0＜t ＜ ，则由不等式t 2-at +1+ a ＞0对0＜t ＜ 恒成立， 因为a ＜0，所以 ＜0，只需m （0）=1+ a ≥0，解得- ≤a ＜0；故实数a 的取值范围是[- ，0） （0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k 的值；（2）求得F （x ）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a•2x ）＜log 4（4x +1），设t=2x ，则t 2-at+1+a ＞0，设m （t ）=t 2-at+1+a ，讨论a ＞0，a ＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

江苏省南通中学－第一学期期终考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

1. 求值sin300= ▲ ． 2. 函数tan(2)3y x π=-的周期为 ▲ ．3. 在正方形ABCD 中，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE = ▲ ．4. 已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 ▲ 象限角.5. 函数()sin cos f x x x =的最小值为 ▲ ．6. 已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则AC BC 与的夹角的大小为 ▲ ．7. 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若| a ＋b |＝a ·b ，则n = ▲ ．8. 已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足(5)7f =，则)5(-f = ▲ ．9. 下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. ③把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 2y x =的图象. ④函数sin()2y x π=-在[]0,π上是减函数.其中，正确的是 ▲ ．（填序号） 10. 将函数sin y x =的图象向右平移4π个单位长度得到图象1C ，再将图象1C 上的所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象2C ，则2C 的函数解析式为 ▲ ．11．已知8,2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，(),1x =b ，其中0x >，若（a -2b ）∥（2a +b ），则x 的值 ▲ ．12．函数3sin(2)6y x π=--的单调递减区间为 ▲ ．13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．14．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。

江苏省南通市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.若集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<，则M N ⋃=（）A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合M ，N ，再计算M N ⋃.【详解】集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<∵[1,3)M =，(2,4)N =， ∴[1,4)MN =.故答案选C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型. 2.扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A. 1或5 B. 1或2C. 2或4D. 1或4【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩，故选：D.【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r 是扇形的半径.3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. (],1-∞-D.()()1,00,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数()ln ||f x x∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 4.已知函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m = )A. 1-B. 2C. 3D. 2或1-【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出m 的值，代入判断即可．【详解】函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意， 1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故1m =-，【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题． 5.在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =-的的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】就01a <<和1a >分类讨论可得正确的选项. 【详解】解：当01a <<时，函数()()0af x xx =≥为增函数，且图象变化越来越平缓，()log a g x x =-的图象为增函数，当1a >时，函数()()0af x x x =≥为增函数，且图象变化越来越快，()log a g x x =-的图象为减函数， 综上：只有D 符合 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.6.已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ）A. 4m <B. 142m -<< C.742m << D.1722m -<< 【答案】D【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D.【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.7.设集合{}4590,M k k Z αα==+⋅∈，{}9045,N k k Z αα==+⋅∈，则集合M 与N 的关系是（ ） A. M N ⋂=∅ B. MNC. NMD. M N【答案】C 【解析】 【分析】将集合M 和集合N 整理后可知集合M 表示45的奇数倍的角，集合N 表示45的整数倍的角，从而得到集合之间的包含关系.【详解】{}(){}45245,2145,M k k Z k k Z αααα==+⋅∈==+⋅∈{}(){}24545,245,N k k Z k k Z αααα==⨯+⋅∈==+⋅∈21k +表示所有奇数；2k +表示所有整数 NM ∴本题正确选项：C【点睛】本题考查集合间的包含关系，关键是能够将两个集合所表示的角的大小确定，从而得到包含关系.8.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3-B. 13-C.13D. 3【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=， 因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bxx b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R因此12log log 83b a ==-，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 9.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201926f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2019f =（ ）A. －4034B. 2021C. 2021D. 4036【答案】A 【解析】 【分析】 将x 换成2019x 再构造一个等式，然后消去f （2019x），得到f （x ）的解析式，最后可求得f （2021）．【详解】∵f （x ）+2f （2019x）＝6x ① ∴f （2019x ）+2f （x ）62019x⨯=②∴①﹣②×2得﹣3f （x ）＝6x 622019x⨯⨯-∴f （x ）＝﹣2x 42019x⨯+，∴f （2021）＝﹣4038+4＝﹣4034. 故选：A ．【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．10.已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=2222sin sin cos βββ=-（ ） A. 12±B. 211-D. 2±【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义列方程，解方程求得y 的值，进而求得tan β的值，将所求表达式转化为只含tan β的形式，由此求得表达式的值.【详解】因为r =，故由正弦函数的定义可得=，解得12y =或12y(舍去),所以1tan β==，所以222222222sin 2tan 2sin cos tan 1111βββββ⎛⨯ ⎝⎭===---⎛- ⎝⎭，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为（） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞上的单调函数，[]2()log 3f f x x -=，所以2()log f x x -为一定值，设为t ，即22()log ()log f x x t f x x t -=⇒=+，而()3f t =，解得2t =，因此2()log 2f x x =+，所以2()log 7g x x x =+-，22(1)60,(2)40,(3)log 340,(4)10,(5)log 520g g g g g =-<=-<=-<=-<=->，故函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为(4,5)，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键. 12.已知函数()1lg 43xx f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 11,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. 8,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为对任意的[]1,1x ∈-使得1143x x m +≤-恒成立，令()143xxh x =-，[]1,1x ∈-，根据函数的单调性求出()h x 的最小值，从而可得结果． 【详解】对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，即对任意的[]1,1x ∈-使得1143xxm +≤-恒成立， 令()143xx h x =-，[]1,1x ∈-， 显然()h x 在[]1,1-递增， 故()143xx h x =-的最小值为()1h -=-114， 故1114m +≤-，15m 4≤-，实数m 的取值范围为15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦,故选D ． 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.函数()()20.5log 32f x x x =-+-的单调递增区间为______.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间. 【详解】由对数函数真数大于0,可得2320x x -+->,解得()1,2x ∈函数()()20.5log 32f x x x =-+-是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.14.已知4323x xy =-⋅+，当[]0,2x ∈时，其值域________【答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈，得到函数()223333()24f t t t t =-+=-+，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由题意，令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈， 则函数()223333()24f t t t t =-+=-+， 所以当32t =时，函数()f t 取得最小值，最小值为33()24f =， 当4t =时，函数()f t 取得最大值，最小值为(4)7f =，所以函数4323x xy =-⋅+的值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若22cos ,3a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.812log 4.1,2b f c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为__________．【答案】a c b << 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析得到0.8122log 4.122cos 03π<-<<，由函数单调性得到()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得解.【详解】()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，()()0.80.822f f ∴-=，22cos 13π=-，1122log 4.1log 42<=-，00.810.8222,122<<<<，0.8221-<-<-，0.8122log 4.122cos 03π∴<-<<，又因为()f x 在(),0-∞上递减，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以b c a >>，即a c b <<， 故填：a c b <<【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于较易题目。

2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合N ＝{3，4，5}，则N 的真子集的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．（多选）下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的有（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣14．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥46．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g（x）＝f（3x）+√x的定义域为（）A．（0，1]B．[0，23]C．[−23，1]D．(0，23]8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（）A．2B．3C．4D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（−1，2），则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是（）2A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．a﹣b+c＞010．下列说法中，正确的是（）A．集合A＝{1，2}和B＝{（1，2）}表示同一个集合B．函数f（x）=√3+2x−x2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x −1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x+111．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥1812．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy)，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ ．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f(x)={2|x|，x ≤m x 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 ． 16．已知x ，y 为正实数，则yx +16x 2x+y的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）=x+bx 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，1）（0＜t≤25），AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF用a和t表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”．（3）已知函数y=ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8解：∵集合N＝{3，4，5}有3个元素，∴N的真子集的个数为23﹣1＝7，故选：C．2．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A．B．C．D．解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合；对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；故选：BC．3．已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为（）A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣1解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，∴{m 2−m −1=1m 2+m −3＜0，解得m ＝﹣1， 故选：D ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学解：因为(√55)10=52=25，(√2)10=25=32， 又25＜32，所以√55＜√2，又(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，所以√33＞√2， 故√55＜√2＜√33，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C ．5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥4解：∵∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题， ∴a ＞x max ，∴a ＞4， ∵（5，+∞）⫋（4，+∞），∴使∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题的一个充分不必要条件是a ＞5， 故选：B ．6．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意可得，f （1）＝1，f （3）＝1，f （4）＝2， ∴f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4）＝3， ∴f （x 0）＝2，∴x 0＝4， 故选：D ．7．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为（ ） A ．（0，1]B ．[0，23]C ．[−23，1]D ．(0，23]解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，∴由{−2≤3x ≤2x ≥0，得0≤x ≤23．∴函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为[0，23]．故选：B ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：设此数为x ，则30≤lgx ＜31，而0.4688＜lgx 64＜0.4844，观察已知数据，x 164=3．故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（−12，2），则下列对于系数a ，b ，c 的结论中，正确的是（ ） A ．a ＜0B ．c ＞0C ．a +b +c ＞0D ．a ﹣b +c ＞0解：由已知可得−12，2是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＜0，故A 正确， 则由韦达定理可得：{−12+2=−ba −12×2=ca，解得b =−32a ＞0，c ＝﹣a ＞0，故B 正确， 则a +b +c ＝a −32a −a =−32a ＞0，故C 正确， a ﹣b +c ＝a ﹣（−32a ）﹣a =32a ＜0，故D 错误， 故选：ABC ．10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合A ＝{1，2}和B ＝{（1，2）}表示同一个集合B ．函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x +1解：集合A ＝{1，2}中有两个元素，B ＝{（1，2）}中只有一个元素，不表示同一集合，故A 错误； 函数f （x ）=√3+2x −x 2，由3+2x ﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤3，而t ＝3+2x ﹣x 2在x ∈[﹣1，1]上递增，y =√t 在t ∈[0，+∞）递增，所以函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1），故B 正确； 若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=log 256log 242=log 27+log 28log 22+log 23+log 27=3+b1+a+b，故C 正确；f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2−1x−1）＝﹣x 2+1x+1，故D 错误． 故选：BC ．11．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥18解：因为a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，故8b ＝1﹣2a ＞0，得0＜a ＜12，a +4b =12， 所以2a ﹣8b ＝4a ﹣1＞﹣1，故A 正确； （√a +2√b ）2＝a +4b +4√ab =12+2√a ⋅4b ≤12+a +4b =1，即√a +2√b ≤1，当且仅当a =14，b =116时取等号，故B 错误； 因为1＝2a +8b ≥2√16ab =8√ab ，√ab ≤18，故ab ≤164，当且仅当a =14，b =116时取等号，故C 正确； 由a +4b =12得a 2+16b 2+2a •4b =14，而2a •4b ≤a 2+16b 2，代入上式得2（a 2+16b 2）≥14，即a 2+16b 2≥18，当且仅当a =14，b =116时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy )，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数解：因为f （x ）定义在（﹣1，1）上，且满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y 1+xy )恒成立，﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，令x ＝y ＝0，解得f （0）＝0，故A 正确；再令y ＝﹣x ，则f （﹣x ）+f （x ）＝f （0）＝0，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，故B 正确； 任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则﹣2＜x 1﹣x 2＜0，0＜1﹣x 1x 2＜2，且x 1x 2﹣1﹣（x 1﹣x 2）＝（x 2﹣1）（1+x 1）＜0，所以﹣2＜x 1x 2﹣1＜x 1﹣x 2＜0，所以﹣1＜x 1−x21−x 1x 2＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1−x 21−x 1x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ 3 ．解：（12）﹣log23＝2log 23=3．故答案为：3．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝34x 2+1 ．解：令2x ＝t ，则x =t2，代入f （2x ）＝3x 2+1可得 f （t ）=3(t 2)2+1=34t 2+1 ∴f （x ）=34x 2+1 故答案为：34x 2+115．已知函数f(x)={2|x|，x ≤mx 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 （0，3] ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 （﹣∞，﹣1） ．解：（1）当x ≤m 时，f （x ）＝2|x |，在（0，m ）单调递增，当x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +5m ，其对称轴为x ＝m ，所以f （x ）在（m ，+∞）上单调递增，若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则m 2﹣2m 2+5m ≥2|m |＝2m ， 解得0＜m ≤3．（2）若f （x ）存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）， 则f （x ）的图象如图所示：则2|m |＝2m ＞m 2﹣2m 2+5m ，即m 2﹣3m ＞0，解得m ＞3或m ＜0（舍去），对于函数y =√1+m −m ，令t =√1+m ，t ＞2，所以y ＝t ﹣（t 2﹣1）＝﹣t 2+t +1，其对称轴为t =12，所以y ＝﹣t 2+t +1在（2，+∞）上单调递减，所以y ＜﹣22+2+1＝﹣1，则函数y =√1+m −m 的值域为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（0，3]，（﹣∞，﹣1）．16．已知x ，y 为正实数，则y x +16x 2x+y 的最小值为 6 ． 解：由x ＞0，y ＞0，得y x +16x 2x+y =y x +162+y x ，令y x=t （t ＞0）， 则f （t ）＝t +16t+2=t +2+16t+2−2≥2√(t +2)(16t+2)−2＝8﹣2＝6， 当且仅当t +2=16t+2，即t ＝2时等号成立， 所以y x +16x 2x+y 的最小值为6．故答案为：6．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．解：（1）原式=34×14−1+(23)3×(−13)=3﹣1+32=72； （2）∵x +x ﹣1＝14，∴（x +x ﹣1）2＝x 2+x ﹣2+2＝196， ∴x 2+x ﹣2＝194， ∴（x 12+x −12）2＝x +x ﹣1+2＝16， ∵x 12+x −12＞0， ∴x 12+x −12=4，∴原式=4+4194−200=−43．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，若p 是真命题，则当m ＝0时，﹣2x +12＞0不都成立，当m ≠0时，{4−2m ＜0m ＞0，解得m ＞2， ∴p 真时，m ＞2；若q 真，则方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根，∴16（m ﹣2）2﹣16＜0，∴q 真时，1＜m ＜3．∵命题p ，q 有且只有一个是真命题，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真q 假时，m ＞2且m ∈（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴实数m 的取值范围是[3，+∞）；当p 假q 真时，m ≤2且1＜m ＜3．∴实数m 的取值范围是（1，2]．综上，实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．19．（12分）已知函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， （1）确定f （x ）的解析式；（2）用定义证明：f （x ）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）=b −1=0，则b ＝0； 此时f （x ）=x x 2−1，为奇函数，符合题意， 故f （x ）=x x 2−1， （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，f （x 1）﹣f （x 2）=x 1x 12−1−x 2x 22−1=−(x 1x 2+1)(x 1−x 2)(x 12−1)(x 22−1)又由﹣1＜x 1＜x 2＜1，则（x 1﹣x 2）＜0，x 1x 2+1＞0，（x 12﹣1）＜0，（x 22﹣1）＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （t ﹣1）＜﹣f （t ）⇒f （t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{−1＜t −1＜1−1＜t ＜1t −1＞−t，解可得：12＜t ＜1，即不等式的解集为（12，1）． 20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中E （0，1）（0＜t ≤25），AF ⊥x 轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线y ＝﹣ax 2+50（a ＞0）的一部分；CD ⊥OD ，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高OB ＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF 用a 和t 表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．解：（1）由抛物线方程得：B（0，50）∴BE＝50﹣t，∵BE，CD均为圆的半径，∴CD＝50﹣t，圆E的半径为：50﹣t，∴C（x C，50﹣t），代入抛物线方程可得50﹣t＝﹣a x C2+50，解得x C=√t a，∵曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，t），AF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝AE＝50﹣t，∴DF＝OF+OD＝50﹣t+√ta，（0＜t≤25）．（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，∴DF=50−t+√ta≤75，整理可得：a≥1t+625t+50，∵t∈（0，25]，∴t+625t≥2√625=50（当且仅当t＝25时取等号），∴1t+625t +50≤1100，a≥1 100，∴a的取值范围为：[1100．+∞）．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．解：由题意得，2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，则A＝{x|0≤x≤2}，（1）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵x2﹣x+a﹣a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，①当a＝1﹣a，即a=12时，B＝∅，满足题意，②当a＜1﹣a，即a＜12时，B＝{x|a＜x＜1﹣a}，则{a ≥01−a ≤2，∴0≤a ＜12， ③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，则{1−a ≥0a ≤2，∴12＜a ≤1， 综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}．（2）集合A 中有3个整数0，1，2，①当a ＝1﹣a ，即a =12时，B ＝∅，不满足题意，②当a ＜1﹣a ，即a ＜12时，B ＝{x |a ＜x ＜1﹣a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤a ＜0，1＜1﹣a ≤2，∴﹣1≤a ＜0，若B 中仅有整数1，2，则0≤a ＜1，2＜1﹣a ≤3，无解，则﹣1≤a ＜0，③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤1﹣a ＜0，1＜a ≤2，解得1＜a ≤2，若B 中仅有整数1，2，则0≤1﹣a ＜1，2＜a ≤3，无解，则1＜a ≤2，∴a 的取值范围为[﹣1，0）∪（1，2]．22．（12分）对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足；①f （x ）在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x 2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x 不存在“优美区间”．（3）已知函数y =ℎ(x)=(a 2+a)x−1a 2x （a ∈R ，a ≠0）有“优美区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．解：（1）∵y =12x 2在区间[0，2]上单调增．又∵f （0）＝0，f （2）＝2，∴值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f （x ）＝x 2的一个“优美区间”．（2）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞），∴函数g(x)=4+6x 在[m ，n ]上单调递减．若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{4+6m =n(1)4+6n =m(2)， 由（1）﹣（2）得：6m −6n =n −m ，∴6(n−m)mn =n −m ， ∵n ＞m ，∴mn ＝6，∴n =6m ．代入（1）等式不成立，∴函数g(x)=4+6x不存在优美区间．（3）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， ∴函数y =(a 2+a)x−1a 2x =a+1a −1a 2x 在[m ，n ]上单调递增． 若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{ℎ(m)=m ℎ(n)=n ， ∴m 、n 是方程a+1a −1a 2x =x ，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x +1＝0的两个同号且不等的实数根． ∵mn =1a 2＞0， ∴m ，n 同号，只须Δ＝a 2（a +3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3，∵n −m =√(n +m)2−4mn =√(a 2+a a 2)2−4a 2 =√−3(1a −13)2+43， ∴当a ＝3时，n ﹣m 取最大值2√33．。

2024-2025学年江苏省南通市高一上学期11月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−1,0,1}，B={y|y=x+1,x∈A}，则A∩B=( )A. {−1,1}B. {0,1}C. [1,+∞)D. [0,+∞)2.“m<2”是“|m−1|<1”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是( )A. 若a<b，则1a >1bB. 若1a>1b，则a<bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b4.已知函数f(x−1)的定义域为(2,4)，则函数f(x)+f(x2)的定义域为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (1,4)D. (1,9)5.若2a=5b=20，则2a +1b=( )A. 0B. 1C. 2D. 36.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+2x，则当x<0时f(x)的取值范围是( )A. (−∞,22]B. (−∞,−22]C. [22,+∞)D. [−22,+∞)7.若命题“∀x∈[3,6]，不等式x+1−k−x+7>0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,7)C. (2,7)D. (7,+∞)8.存在三个实数a1，a2，a3，满足下列两个等式： ①a1a2a3=2; ②a1+a2+a3=0，其中M表示这三个实数a1，a2，a3中的最大值，则( )A. M的最大值是2B. M的最小值是2C. M的最大值是2D. M的最小值是236二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列结论正确的有( )A. log45⋅log58=1log89⋅log94B. log62−log82=log84−log64C. (lg2)2+lg2⋅lg5+lg50=2D. 若3a=10，log925=b，则log25=aa−b．10.已知函数f(x)满足f(x +y)=f(x)+f(y)−4，下列结论正确的是( )A. f(0)=4B. f(−2)+f(2)=8C. f(x)−4为奇函数D. f(x)−4为偶函数11.已知a >0，b >0，4a +b =ab ，则下列结论正确的有( )A. ab 的最小值为4B. a +b 的最小值为9C. a +1a +4(b +1b )的最小值为10D. 16a 2+b 2的最小值为128三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2019-2020学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知实数a ∈{1,3，a 2}，则a 的值为( )A. 1B. 1，3C. 0，3D. 0，1 2. 集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤1B. a <1C. 0≤a ≤1D. 0<a <13. 函数f(x)=√2x −1+12−x 的定义域为( )A. {x|x ≥12} B. {x|x >12} C. {x|x ≥12且x ≠2}D. {x|x >12且x ≠2} 4. 函数y =3−x2+2x+1的值域是 ( )A. (−∞,9]B. [9,+∞)C. (0,9]D. [0,9]5. 已知函数f(x)={1−x 2 (x ≤1),x 2+x −2 (x >1),则f(1f(2))的值为( )A. 1516 B. 89 C. −2716D. 186. 函数e|x|3x的部分图象可能是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)=x 2−ax +4，若f(x +1)是偶函数，则实数a 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. 28. 函数y =log 12(2x 2−3x +1)的递减区间为( ) A. (1,+∞)B. (−∞,34] C. (12,+∞) D. [34,+∞) 9. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]10. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞,0]是减函数，若f(3)=0，则不等式f(x)+f(−x)x<0的解集是( )A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(3,+∞)C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−3,0)∪(0,3)11. 已知奇函数f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，则不等式f(x3)+f(2x −1)>0的解集是( )A. (−∞,37) B. [−12,+∞) C. (−6,−12) D. (−12,37)12. 已知y =f(x)是奇函数，且满足f(x +2)+3f(−x)=0，当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x ，则当x ∈[−4,−2]时，f(x)的最小值为 ( )A. −1B. 13C. −19D. 19二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m−1是幂函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，则实数m的值为__________． 14. 已知集合，则A ∩B =______．15.lg32−lg4lg2+(27)23=________.16. 已知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=1−|x −1|，则方程f(f(x))=0根的个数为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17. 已知R 为全集，A ={x|log 12(3−x)≥−2}，B ={x |5x+2≥1}． (1)求A ∩B ；(2)求(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18. 定义在R 上的奇函数f (x)，当x ≥0时，f (x)={−2x x+1,x ∈[0,1),1−|x −3|,x ∈[1,+∞),求函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和．19.已知f(x)=a⋅2x+a−2(x∈R)，若f(x)满足f(−x)+f(x)=0，2x+1(1)求实数a的值及f(3)；(2)判断函数的单调性，并加以证明．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知函数f(x)=(x−2)|x+a|(a∈R).(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[−2,2]时，函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．22.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a和b的值．(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a(3)设ℎ(x)=f(x)+12的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：a =1，则a 2=1，不符合互异性； a =a 2，则a =1(不符合互异性)，或a =0； a =3，则a 2=9，成立； 故a =0或a =3时符合条件， 故选C ．本题考查元素与集合的关系，集合中元素的互异性，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，B ⊆A ， ∴当B =⌀时，a −1>2a −1，解得a <0， 当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，解得0≤a ≤1．综上，实数a 的取值范围是{a|a ≤1}． 故选：A ．当B =⌀时，a −1>2a −1；当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析： 【分析】考查函数定义域的概念及求法，属于基础题型．要使得原函数有意义，则需满足{2x −1≥02−x ≠0，解出x 的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则：{2x −1≥02−x ≠0, ∴x >12且x ≠2，∴原函数的定义域为.{x|x ≥12且x ≠2} ， 故选：C ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查了指数函数，二次函数的性质，是一道基础题．结合二次函数的性质求出指数的最大值，从而求出函数的值域即可． 【解答】解：令f(x)=1+2x −x 2=−(x −1)2+2， 故f(x)max =f(1)=2， 当x =1时，y 的最大值是9， 又当x ∈R 时，y =3x >0， 故函数y =3−x 2+2x+1的值域为(0,9]．故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数求值，属于基础题．先求1f(2)的值．再根据所得值代入相应的解析式求值即可． 【解答】解：当x >1时，f(x)=x 2+x −2， 则f(2)=22+2−2=4， ∴1f(2)=14，当x ≤1时，f(x)=1−x 2， ∴f(1f(2))=f(14)=1−116=1516． 故选A ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可． 【解答】解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x =1时，y =e3<1，排除A ， 当x →+∞时，e |x|3x →+∞，排除D ，故选：C ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=x 2−ax +4的对称轴为x =a2， 因为f(x +1)是偶函数，所以a2−1=0，解得a =2， 故选D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的定义域、复合函数的单调性，属基础题． 【解答】解：由2x 2−3x +1>0，得函数的定义域为(−∞,12)∪(1,+∞)． 令t =2x 2−3x +1，则y =log 12t ． 因为t =2x 2−3x +1=2(x −34)2−18，所以t =2x 2−3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 12t 在(0,+∞)上是减函数， 所以函数y =log 12(2x 2−3x +1)的单调减区间为(1,+∞)． 9.答案：A解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤52， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,52]．10.答案：C解析：解：因为y =f(x)为偶函数，所以f(x)+f(−x)x<0等价为2f(x)x<0，所以不等式等价为{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0．因为函数y =f(x)为偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，又f(3)=0， 所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图： 所以解得x <−3或0<x <3， 即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3)． 故选：C ．利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，根据函数性质的综合应用，将不等式转化是解决本题的关键．11.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用问题，解题时应注意定义域的限制．利用函数是奇函数，将不等式转化为f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)，然后利用函数的单调性求解即可． 【解答】解：f(x)是奇函数，所以不等式f(x3)+f(2x −1)>0等价于 f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)， 又f(x)是定义在(−2,2)上的减函数， 所以{−2<x3<2−2<1−2x <2x3<1−2x ，即{−6<x <6−12<x <32x <37，解得−12<x <37， 则不等式的解集为(−12,37). 故选：D ．12.答案：C【分析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，可得出f(x)=13f(x+2)，由此关系求出求出x∈[−4,−2]上的解析式，再配方求其最值本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，且由此关系求出x∈[−4,−2]上的解析式，做题时要善于利用恒等式．【解答】解：由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，即f(x+2)=3f(x)，任取x∈[−4,−2]，则f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)由于x+4∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，故f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)=19[(x+4)2−2(x+4)]=19[x2+6x+8]=19[(x+3)2−1]，x∈[−4,−2]当x=−3时，f(x)的最小值是−19，故选C．13.答案：3解析：【分析】本题考查幂函数．根据幂函数的定义可得=1，解得m=−2或m=3，检验得结果．【解答】解：由幂函数的定义得=1，解得：m=−2或m=3，当m=−2时，f(x)=x−3，不符合x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，所以m=3．故答案为3．14.答案：{1,6}【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．直接利用交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题．根据指数与对数的运算性质求解．【解答】解：lg32−lg4lg2+(27)23=lg8lg2+(33)23=3lg2lg2+32=3+9=12．故答案为12．16.答案：5解析：【分析】本题考查函数的性质的应用，函数的零点．令f(x)=t，根据已知及偶函数的性质解得t=0或2或−2，再分别求解f(x)=0或2或−2即可．【解答】解：当x≥0时，f(x)=1−|x−1|，令f(x)=t则方程f(f(x))=0，即为f(t)=0，所以t⩾0时，f(t)=1−|t−1|=0，解得t=0或2，因为函数f(x)为偶函数，所以t=−2也为f(t)=0的解，令f(x)=0，解得x=0或2或−2，令f(x)=2，无解令f(x)=−2，则1−|x−1|=−2解得x=4，根据函数f(x)为偶函数，x=−4也为f(x)=−2的解，综上方程f(f(x))=0根的个数为5．故答案为5．17.答案：解：(1)由，得{3−x >0,3−x ⩽4.即A ={x|−1≤x <3}． 由5x+2≥1，得x−3x+2≤0，即B ={x|−2<x ≤3}，所以A ∩B ={x|−1≤x <3}．(2)因为∁R A ={x|x <−1或x ≥3}， 故(∁R A)∩B ={x|−2<x <−1或x =3}，则(∁R A)∪B =R ．解析：本题主要考查了交，并，补集的混合运算，以及对数函数的性质，属于中等题；(1)根据条件得到A ={x|−1≤x <3}和B ={x|−2<x ≤3}即可得到A ∩B ；(2)根据集合的定义可得(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18.答案：解：由题意知，当x <0时，f (x)={−2x 1−x ,x ∈(−1,0)|x +3|−1,x ∈(−∞,−1]作出函数f (x)的图象如图所示，设函数y =f (x)的图象与y =1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1+x 2=−6，x 4+x 5=6，x 1+x 2+x 4+x 5=0，令−2x 1−x =1π，解得x 3=11−2π，所以函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和为11−2π．解析：本题主要考查函数奇偶性，分段函数模型，由函数奇偶性可得x <0时函数f(x)的解析式，作出函数f (x)的图象，根据图象结合函数的对称性质列式解答即可．19.答案：解：(1)∵f(−x)+f(x)=0，且x ∈R ，∴函数f(x)是奇函数，则f(0)=a⋅20+a−220+1=0， 解得a =1，则f(x)=2x −12x +1， 所以f(3)=23−123+1=79； 证明：(2)f(x)是R 上的增函数，设x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1 =(2x 2+1)(2x 1−1)−(2x 1+1)(2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2⋅2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0，∵2x 1+1>0，且2x 2+1>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是增函数．解析：(1)由题意和奇函数的定义判断出f(x)是奇函数，根据奇函数的性质得：f(0)=0，列出方程求出a 的值，代入f(x)求出f(3)；(2)先判断出函数的单调性，根据函数单调性的定义，以及步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明即可．本题考查了奇函数的定义与性质，函数单调性的定义，以及证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5， 当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ， 即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，当x ≤−1时，f(x)=−(x −2)(x +1)=−x 2+x +2，此时函数为增函数；当x >−1时，f(x)=(x −2)(x +1)=x 2−x −2，此时函数在(−1,12]上为减函数，在[12,+∞)上为增函数，综上可得：当a =1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1]，[12,+∞)；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a， ①当−a ≤−2，即a ≥2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)=(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；②当−a ≥2，即a ≤−2时，若x ∈[−2,2]，则f (x )=−(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；③当−2<−a <2，即−2<a <2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；综上可得：g(a)=0．解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的最值及其几何意义，难度中档．(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，分段讨论可得函数的单调递增区间；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a，分段讨论可得函数f(x)的最大值g(a)的表达式．22.答案：解：(1)由g(0)=0得，a =1，则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，故a =1，由f(−1)=f(1)得，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，故b =−12，经检验f(x)是偶函数∴a =1，b =−12…(4分)(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，t ∈[0,+∞)恒成立即3t 2−2t >k ，t ∈[0,+∞)恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13…(9分)(3)ℎ(x)=lg(10x +1)，ℎ(lg(10a +9))=lg[10lg(10a+9)+1]=lg(10a +10)则由已知得，存在x ∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a +10)成立，而g(x)在(−∞,1]单增，∴g max (x)=g(1)=32∴lg(10a +10)<32=lg1032=lg 10√10 ∴10a +10<10√10又a <√10−1又∵{10a +9>010a +10>0∴a >−910∴−910<a <√10−1…(14分)解析：(1)由函数g(x)=4x −a2x 是奇函数，f(x)=lg(10x +1)+bx 是偶函数，可得g(0)=0，f(−1)=f(1)，进而可得a 和b 的值．(2)g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．若g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，则3t 2−2t>k，t∈[0,+∞)恒成立，令F(x)=3t2−2t，求其最值，可得答案；(3)ℎ(x)=lg(10x+1)，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a+10)成立，则lg(10a+10)<3=lg1032=lg10√10，解得答案．2本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，对数函数的图象和性质，难度中档．。