第一讲 函数的定义域和解析式

1.第一讲：函数的概念、解析式、定义域和值域D第一讲函数的概念、解析式、定义域和值域一、引言1．本节的地位：函数是整个高中数学的重点，而函数的概念、解析式、定义域和值域又是研究函数的基本出发点，对于研究函数的性质和图象有着极其重要的作用，也是每年高考试卷必考的内容之一，因此本讲内容在高考中占据十分重要的地位．2．考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；能根据不同需要选择恰当的方法表示函数；能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题．3．考情分析：涉及本讲内容的问题仍将出现在2010年高考试题中，函数的概念要求较低，以函数解析式、定义域的考查为主，题型以选择题和填空题为主．二、考点梳理1．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应．”由此逐一进行判断即可．解：对于图A：M中属于(]1,2的元素，在N中没有象，不符合定义；对于图B：符合M到N的函数关系；对于图C：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于图D：其象不唯一，因此也不表示M到N 的函数关系．由上分析可知，应选B．归纳小结：（1）该题考查了函数概念，函数概念的本质是两个集合之间的对应关系，因此在求解该题时要从定义出发，注意集合M中元素的任意性和集合N中元素的唯一性，将这种对应关系与图象结合起来．（2）在问题的解决过程中，将图形语言与代数语言有效地结合并合理转化，因此要注意培养数形结合的数学思想，提高数学转化能力和抽象思维能力．例2 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个①()()2,f x x g x x ==②()()33,f x x g x x == ③()()21,11x f x g x x x -==-+； ④()()211,1f x x x g x x =-+=-⑤()221f x x x =--，()221g t t t =--．分析：根据函数的定义可以判定，两个函数相同，则它们的对应法则、定义域、值域都相同，因此要从函数的三要素角度进行观察、对比．解：①中()g x x =，两个函数的解析式不同；②中()g x x =，所以与()f x 表示同一函数；③中()f x 定义域为{}1x x ≠-，而()g x 的定义域为R ；④中()f x 定义域为{}1x x ≥，而()g x 的定义域为{}11x x x ≥≤-或；⑤两个函数的解析式、定义域相同，所以表示同一函数．所以选择C ．归纳小结：（1）实际上判断两个函数是否为同一函数，只需看函数的两个要素：定义域和对应法则．只有当两个函数的定义域与对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．（2）该题仍涉及的考点是函数概念．在解决问题的过程中注意对概念和定义的灵活运用，不断提高数学知识的应用和转化能力．（3）第⑤小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透．在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如()21f x x=+，()21f t t =+，()()2111f u u +=++，都可视为同一函数． 例 3 ①已知两个函数()()()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()()21,0,0x xg x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩当0x <时,求()f g x ⎡⎤⎣⎦及()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式；分析：由于函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦中的变元成为()g x 和()f x ，所以只需要进行代换即可．解：∵0x <，∴()()()2224f g x f x x x ===⎡⎤⎣⎦，()()1g f x g x x=-=-⎡⎤⎣⎦． ②已知45)1(2+-=+x x x f ，求()f x 的解析式；分析：f 的作用下变元是1x +，因此只需把1x +看成是整体，通过配凑的方式把解析式中的变元转化为1x +的形式，或仍将x 视为变元，通过换元得到关于x 的解析式．解法一：∵()()22(1)5417110f x x x x x +=-+=+-++，∴()2710f x x x =-+．解法二：令1x t +=，则1x t =-，∴()()()221514710f t t t t t =---+=-+．∴()2710f x x x =-+．③已知()1210x f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式． 解：由()1210xf x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ① 可得()11210xf f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ②由①②解得()121101033x xf x =⋅-⋅． 归纳小结：（1）该题主要考查了函数的解析式的求解方法，能灵活地根据题目条件选择恰当地方法得到函数的解析式，其中涉及多种数学思想，如函数与方程的思想、分类讨论思想等，注重对分析问题和解决问题能力的考查．（2）根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、配方法、赋值法、解方程组法等．①当所求函数的解析式的形式已知（如二次函数、指数函数等）常用待定系数法．②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式，求()f x 的表达式，常用配方法或换元法．③由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法及解方程组法．例4（2007年安徽卷）如图所示中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．()3|1|022y x x =-≤≤B ．()33|1|0222y x x =--≤≤ C ．()3|1|022y x x =--≤≤ D ．()1|1|02y x x =--≤≤分析：本题是由图形判断函数的解析式，由于图象在定义域[][]0,1,1,2都是线段，因此其解析式都是一次函数型，利用待定系数法，分别求出各定义域上的解析式即可．另外在图象上给出了三个特殊点()()30,0,1,,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以还可以考虑特殊值法． 解：由图象可知，当01x ≤≤时，32y x =；当12x ≤≤时，332y x =-； ∴331,0222y x x =--≤≤．∴应选B．另解：（特殊值法）分别代入0,1x x==进行验证，只有选项B符合条件．归纳小结：（1）本题考查了函数解析式与图象之间的关系，和分段函数解析式的表达形式，考查了数形结合思想和灵活解题能力．（２）根据图象求函数解析式或判断函数性质，要注意在不同的函数自变量的取值范围内采用恰当的方法求出函数解析式．如果所求结果能用一个解析式综合，则应写成一个解析式的形式，否则应采用分段函数形式．（３）特殊值法的使用可以简化计算过程，降低难度，因此要注意使用．例5（2008湖北卷）已知函数2()962f bx x x=-+,其中x R∈,,a b为常数，则=++,2()2f x x x a方程()0f ax b+=的解集为．分析：利用待定系数法确定a，b的值，确定方程()0f ax b +=形式，从而求解．解：∵2()2f x xx a =++， ∴22()2f bx b x bx a =++．∵2()962f bx x x =-+，∴2,3a b ==-． ∴()()()22()232322324850f ax b f x x x x x +=-=-+-+=-+=． ∵644200∆=-⨯<，∴方程()0f ax b +=的解集为∅．归纳小结：（1）本题考查了函数的待定系数法求函数的解析式、二次方程的解法的知识点，考查计算和推理能力．（2）运用待定系数法求含参数解析式中，要注意恒等代数式两边对应系数相等，从而确定参数．例6（2008湖北卷）函数221()ln(3234)f x x x x x x =-+--+的定义域为（ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0.1)- C ．[4,0)(0,1]－ D ．[4,0)(0,1)-分析：由于函数的解析式已经明确，并且没有特殊标明定义域，所以定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围．解：2222320340323400x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎪⎨-+--+>⎪≠⎩，可解得函数定义域为[4,0)(0,1)-．归纳小结：（１）本题考查了函数定义域的意义和基本解法，考查了分析问题和解决问题的能力．2232340x x x x -+--+>对特殊点1x =的验证，考查了思维的全面性．（２）若已知函数解析式，且没有特别要求定义域，则函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．当()f x 是整式时，定义域是全体实数；当()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；当()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负实数的集合；当()f x 是对数函数时，满足真数大于零；当对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；在tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；在cot y x =中()x k k Z π≠∈； 零指数幂的底数不能为零．注意：在实际问题中，函数的定义域要受到实际意义的限制．例7 设函数()y f x =的定义域为[]0,1，求函数()()()()0F x f x a f x a a =++->的定义域．分析：该题已知函数()y f x =的定义域，求含有参数的解析式的定义域，显然要对a 进行分类讨论．由于函数()f x 是抽象函数，所以在求函数()f x a +和()f x a -的定义域时，把握在f 的作用下，括号里的变元范围相同．在分别求出()f x a +和()f x a -定义域的基础上，求()F x 的定义域是根据a 的范围求出的交集．解：由01,01,x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得1,1.a x a a x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩∵0a >，∴,11a a a a -<-<+．（1）当1a a -=，即12a =时，12x =； （2）当1a a ->，即12a <时，1a x a ≤≤-． ∴当102a <≤时，()F x 的定义域为[],1a a -． 归纳小结：（1）该题考查了抽象函数定义域，体现了对分类讨论思想和逆向思维能力的考查．（2）求复合函数的定义域：若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为(),x a b ∈，求()f x 的定义域只需利用a x b <<，求出()g x 的范围，而()g x 的范围就是()f x 的定义域；若已知()f x 的定义域为(),x a b ∈，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，只需由()a g x b <<，求出x 的范围，即为()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．在某些情况下，也可以先求出函数的解析式，由解析式求出()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域．求运算型解析式的定义域：当()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．例8（2007年北京卷）已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 ．分析：本题中的函数()()x g x f ,由列表法进行表示，只需将x 进行逐个验证即可．解：∵()13g =，∴()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦；当1x =时，()()131f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()113g f g ==⎡⎤⎣⎦；当2x =时，()()223f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()231g f g ==⎡⎤⎣⎦；当3x =时，()()311f g f ==⎡⎤⎣⎦，()()313g f g ==⎡⎤⎣⎦．所以2x =．归纳小结：（1）本题考查了函数概念、表达形式、函数值等知识，考查了转化、化归思想和分析问题和解决问题的能力．（2）函数表达形式有解析式法、图象法和列表法．其中列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．因此在解决本题时只需把x 的值逐个代入验证即可．例9（2008江西卷）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3解：∵()0f x >， ∴1()()2()F x f x f x =+≥．当且仅当()2f x =号．当()12f x =时，5()2F x =； 当()3f x =时，()103F x =．所以()F x 的值域为10[2,]3，选B ． 归纳小结:(1)本题考查了函数的值域、均值不等式等基本知识，还考查了函数与不等式的转化与整合的数学思想和计算、推理能力．（2）求函数值域的方法比较多，常见的主要有：①直接法；②反函数法；③配方法；④分离常数法；⑤不等式法；⑥换元法；⑦判别式法；⑧数形结合法；⑨导数法等．本题从函数形式及()f x 的值域可以判断出使用不等式法确定()F x 的最小值，再比较连续函数()F x 在闭区间上的端点值中的较大值，从而判断出所求值域． 例10(2007浙江卷)设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）A ．(][)+∞-∞-,11, B ．(][)+∞-∞-,01, C ．[)+∞,0 D ．[)+∞,1解：由函数()f x 解析式可知当(][),10,x ∈-∞-+∞时，()0f x ≥，所以()[]x g f 的值域是[)+∞,0时，()(][),10,g x ∈-∞-+∞．因为()g x 是二次函数，结合选项，判断选C ．归纳小结：（１）本题考查了复合函数的值域与分段函数、二次函数的知识，考查了二次函数的图象与值域的判断方法，考查了数形结合思想．（２）本题在求解过程中要注意结合选项合理地进行取舍．（３）求函数值域没有固定的方法和解题模式，要熟悉几种常见的求值域的方法，在问题解决过程中选择最优解法．例11（2009年海南卷）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值．设(){}()min 2,2,100xf x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7分析：利用作差法比较难以解决本题，因此可以结合图象解决问题．解：画出2xy =，2y x =+，10y x =-的图象，如右图，观察图象可知，当02x ≤≤时，()2xf x =，当23x ≤≤时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-．所以()f x 的最大值在4x =时取得为6，故选C ．归纳小结：（1）本题主要考查了初等函数的图象与函数值的大小比较，考查数形结合思想和转化思想，考查了识图和用图的能力和知识迁移能力．（2）利用图象解决函数的最大值和最小值是一种常见的考题形式，要熟记几种基本函数的图象与性质．（3）本题是有一定创新意义的问题，抓住问题的定义，转化为绘制()f x 的图象成为解题关键．例12 定义在*N 上的函数()f x 满足()11f =，且()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,则()22______f =． 分析：本题考查了抽象分段函数求函数值的问题．如果直接求解，则未知条件较多，因此从题目条件入手，对n 分类讨论，找到()f n 与()1f n +的关系成为解题关键．解：由()()()1,21,f n n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数,为奇数,得： 当n 为偶数时，()()112f n f n +=；当n 为奇数时，()()1f n f n +=．所以()()()()()()()()()()()21203222211201921f f f f f f f f f f f ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()1021193112018221024f f f f f f ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭．归纳小结：（1）本题考查了求分段函数和抽象函数的函数的知识和方法，考查了数形结合思想，以及根据条件分析问题、灵活解题的能力．（2）对于抽象函数的问题的解决，要根据问题和条件灵活地进行变形，合理地推理分析是关键．四、本专题总结1．要深化对函数概念的理解，从函数三要素（定义域、值域与对应法则）整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是函数的核心，因值域可由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．2．求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等．已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法．3．求函数定义域的常见题型及求法：（1）已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可．（2）已知()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域为A，求()f x的定义域，实质上求()g x在A上的值域；已知函数()f x的定义域为A，求函数()f g x⎡⎤⎣⎦的定义域，实质上使()g x A∈，解不等式即可．（3）涉及实际问题的定义域问题必须考虑问题的实际意义．（4）当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论．4．定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．。

科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集.2、函数的三要素： 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有 ， 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（ ） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（ ） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。

函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。

映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。

记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。

（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。

原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。

函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。

（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。

函数的解析式和定义域课时07 函数的解析式和定义域【考点指津】1．掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要掌握函数的图象，并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数问题的研究都离不开函数的定义域，要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中，还应注意实际意义的制约． 【知识在线】1．已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．2．下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1；③y =|x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．4．若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = （ ） A ．2x 2+3 B ．2x 2+7 C ．x 2+3 D ．x 2+7 5．已知函数f (x ) = lgxx-+11的定义域为A ，函数g (x )=lg(1+x ) – lg(1-x )的定义域为B ，则下述关于A 、B 关系不正确的为 （ ） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⊂≠A 【讲练平台】例1 求函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．分析 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域． 解 由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3． 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞Y Y ．点评 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a °中底数a ≠0；④若f (x )是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在0)1(-x 中，x -1≠0，不能遗漏．例2 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围．分析 由函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R 知：x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．解 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2，它便是所求的a 的取值范围．点评（1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x 的不等式x 2+ax +1＜0的解集为∅，试求实数a 的取值范围．问题便等价于x 2+ax +1≥0的解集为R ，从而有△≤0，解得 –2≤a ≤2．变题1 已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，求a 的取值范围．提示：利用△≥0 a≥2或a≤-2．变题2 已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？分析先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．解（1）当0＜x≤1000时，y=x；当1000＜x≤1500时，扣税：(x-1000) ·5%，从而所得为y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50；当1500＜x≤3000时，扣税：(x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125，从而所得为y = x -(0.1x -125) =0.9x +125．故 y = ⎩⎪⎨⎪⎧x ， （0＜x ≤1000），0.95x +50，（1000＜x ≤1500），0.9x +125，（1500＜x ≤3000）．（2）显然，该职员的工资、薪金x 满足1500＜x ≤3000，故由0.1x -125=75，解得 x =2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评 （1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x 被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．变题 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 （ D ）A ．500~600元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~1800元 例4 （1）设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )． （2）设x x x f 2)1(+=+，求f (x +1)． （3）若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，求f (x )．分析 （1）已知了函数f (x )的类型，可采用待定系数法；（2）视（1+x ）为整体，采用换元法或配方法可求得f (x )的解析式，再用(x +1)整体代换f (x )中的x ，即可求出f (x +1)的解析式；（3）注意到x 与x1互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f (x )． 解 （1）设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ，∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3．（2）解法一 ∵1)1()1(2-+=+x x f ，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，∴ f (x +1)= (x +1)2-1 = x 2+2x (x ≥0)．解法二 令t =1+x ，则x = t -1，∴f (t )= (t -1)2+2(t -1)= t 2-1． 又t =1+x ≥1，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，从而f (x +1)= x 2+2x (x ≥0)． （3）在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x 1代换x 得 f (x 1)+2 f (x )= x1 ②， 联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 点评 （1）正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f (x )的定义域．在题（2）中，由f (x )的定义域是{x ∣x ≥1}，则在f (x +1)中必须x +1≥1，即x ≥0，从而f (x +1)的定义域是{x ∣x ≥0}． 变题 已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：（1）f (x +5)≥f (x )+5； （2）f (x +1)≤f (x )+1．若g (x )=f (x )+1-x ，求g (6)的值． 提示：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★） 结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5． 于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．注意：数列{f (n )}（n ∈N *）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等． 对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．【训练反馈】 1．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ）A ．[0，32] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3）2．若f [g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 （ ） A ．3x B ．3 C ．9(3x +1) +1 D ．3(9x +3) +13．已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= （ ）A ．1B ．3C ．15D ．304．若函数f (x )满足f (xy )= f (x )+ f (y )，且f (2)=m ，f (3)=n ，则f (72)= （ ） A ．6mn B ． m 3+n 2 C ．2m +3n D ．3m +2n 5．函数y =f (x )的图象如题图所示，则f (x )的解析式为（ ） A ．122+-x x B ．1||22+-x xC ．|x 2 – 1|D ．x 2 – 2x +16．若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f (x )-f (-x )的定义域是（ ）A ．[a ，b ]B ．[-b ，-a ]C ．[-b ，b ]D ．[a ，-a ]7．若f (2x +3)的定义域是{x |-4≤x ＜5＝，则函数f (2x -3)的定义域是 ． 8．求函数y =)233(log 12x x -+的定义域．9．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 移动一周回到A 点，设x 表示点P 的行程，y 表示线段P A 的长，试求y 关于x 的函数式． 10．若函数f (x ) =3x -5kx 2+4kx +3的定义域为R ，求实数k 的取值范围．11．已知函数f (x ) =xax+b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)=1，f (x )=x 只有惟一实数解，试求函数y =f (x )的解析式及f [f (-3)]的值． 12．定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：①f (2)=1；②f (xy )=f (x )+f (y )，其中x 、y 为任意正实数； ③任意正实数x 、y 满足x ＞y 时，f (x )＞f (y )．试回答下列问题： （1）求f (1)、f (4)；（2）试判断函数f (x )为单调性；（3）如果f (x )+f (x -3)≤2，试求x 的取值范围．参考答案： 【知识在线】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 【训练反馈】1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x πππ 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜34}． 11．提示：f (x ) =x 只有惟一实数解，即x ax+b = x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b ≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4．。

函数专题第一讲：求函数的定义域一、解析式型已知一个函数的解析式，求其定义域只要使解析式有意义即可：1、分式的分母不为零2、偶次方根的被开方数不小于零（即大于或等于0）3、对数的真数大于04、零指数幂的底数不为零例1 求下列函数的定义域．（1）f x x ()=+11（2）x y -=1 *（3）)34lg(+x 例2求下列函数的定义域（1）y = *（2）y = *（3）2lg(31)y x =+. 分析：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式.（1）由分母不等于零以及二次根式有意义确定；（2）由二次根式以及对数有意义确定；（3）由分母不等于零、二次根式有意义以及对数有意义确定.解：具体函数的定义域必须结合具体函数对定义域的要求，要全面考虑各个条件．（1）要使y =1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩ 解得10x x ≤≠且∴函数y =(—∞，0)∪(0，1]． （2）要使y =有意义，只要2202log (2)0x x ->⎧⎨--≥⎩ 即2024x x ->⎧⎨-≤⎩ 解得22x -≤<∴函数y =[—2，2)．（3）要使函数2lg(31)y x =++有意义，只要13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故函数2lg(31)y x =++的定义域为)1,31(-.变式训练：求下列函数的定义域（1）1122---=x x y （2）x x y +-+=1)1(0*（3）)23(log 5.0-=x y二、抽象函数型抽象函数就是指没有给出具体对应关系的函数，求抽象函数的定义域一般有两种情况：一种情况是已知函数()f x 的定义域，求复合函数[()]f g x 的定义域；另一种情况是已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域.例1已知函数f （x ）的定义域为（0,1）求)(2x f 的定义域例2已知f(2x+1)的定义域为（0,1），求f （x ）的定义域*例3 已知函数)(x f 的定义域是(12]-，，求函数)]3([log 21x f -的定义域.分析：根据函数定义域的定义，我们知道，已知函数)(x f 的定义域是(12]-，的意思就是仅当－1＜x ≤2的时候函数)(x f 有意义，因此要使函数)]3([log 21x f -有意义，就必须－1＜12log (3)x -≤2，由此解得的x 的取值范围就是函数)]3([log 21x f -的定义域.解：∵)(x f 的定义域是(12]-，∴ 121log (3)2x -<-≤，2111()3()22x -≤-<解得1114x <≤ 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是11(1]4，. 变式训练：1、若函数y ＝f (x)的定义域是[－2, 4], 求函数g(x)＝f (x)＋f (1－x)的定义域2、已知函数f(x)=11+x 求f 【f(x)】的定义域函数专题第二讲：求函数的解析式[题型一]配凑法例1. 已知f(x+1)=x+2，求f(x)。