[K12学习]2018版高中数学 第二章 函数 习题课 函数及其表示学案 北师大版必修1

第二章函数章末复习课网络构建核心归纳知识点一对函数的进一步认识(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应关系．函数的值域是由定义域和对应关系所确定的．(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．知识点二函数的单调性1．函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．2．函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： (1)取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，得x 2－x 1>0；(2)作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； (3)判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； (4)下结论：根据定义得出结论．3．证明函数单调性的等价变形：(1)f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；(2)f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0．知识点三 对幂函数的图像和性质 1．幂函数的图像当指数α＝1时，y ＝x 的图像是直线；当α＝0时，y ＝x α＝x 0＝1是直线[不包括点(0,1)]．除上述特例外，幂函数的图像都是曲线，如下表(p ，q ∈N *，q >1，且p ，q 互质)：上凸；当α>1时，曲线下凸．当α<0时，幂函数的图像都经过点(1,1)，在第一象限内，曲线下凸．2．幂函数的单调性在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数． 3．幂函数的奇偶性令α＝p q(其中p ，q 互质，p ，q ∈N *，q >1)．(1)若q 为奇数，则y ＝x p q 的奇偶性取决于p 是奇数还是偶数．当p 是奇数时，y ＝x pq 是奇函数；当p 是偶数时，y ＝x pq 是偶函数．(2)若q 为偶数，则p 必是奇数，此时y ＝x pq 既不是奇函数，也不是偶函数．规律方法 函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，再检验f (－x )与f (x )的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．要点一 函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图像及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．【例1】 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53．(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n． 比较得n ＝－n ，n ＝0．又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2．∴实数m 和n 的值分别是2和0． (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x ．任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2． ∵－2≤x 1<x 2≤－1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，∴f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53．【训练1】 设f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (－x )＝f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．又f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－4a ＋3＝2(a －1)2＋1>0， 由f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－4a ＋3)知， 2a 2＋a ＋1>2a 2－4a ＋3， 得5a >2，a >25．∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞． 要点二 根据幂函数的图像确定对应的解析式先根据幂函数在第一象限内的图像特征，确定幂指数α的取值区间[即在(－∞，0)，(0,1)，(1，＋∞)中哪一个区间上取值]；再根据函数在y 轴左侧有无图像确定函数的定义域，进而确定α＝n m中分母“m ”是偶数还是奇数；当函数在y 轴左侧有图像时，再研究其图像关于y 轴(或原点)的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数α＝n m中分子“n ”的奇偶性．类似地，可作出幂函数y ＝x α的图像，即先作出第一象限的图像，再研究在y 轴左侧有无图像，有图像时，再利用函数的奇偶性作出对称图像即可．【例2】 给定一组函数解析式：①y ＝x 34 ；②y ＝x 23 ；③y ＝x －32 ；④y ＝x －23 ；⑤y ＝x 32 ；⑥y ＝x －13 ；⑦y ＝x 13 和一组函数图像．请把图像对应的解析式序号填在下图中图像下面的括号内．解析 先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到对应图像的函数．观察前三个图像，由于在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，则幂指数α应小于零．其中第一个函数图像关于原点对称，第二个函数图像关于y 轴对称，而第三个函数的定义域为(0，＋∞)，所以第一个图像对应y ＝x －13 ，第二个图像对应y ＝x －23 ，第三个图像对应y ＝x －32 .后四个图像都通过(0,0)和(1,1)两点，故α>0.第四个图像关于y 轴对称，第五个图像关于原点对称，定义域都是R ，所以第四个图像对应y ＝x 23 ，第五个图像对应y ＝x 13 .由最后两个图像知函数定义域为[0，＋∞)，而第六个图像呈上凸状，α应小于1，第七个图像呈下凸状，α应大于1，故第六个图像对应y ＝x 34 ，第七个图像对应y ＝x 32 .所以按顺序分别填⑥④③②⑦①⑤．答案 ⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤【训练2】 已知幂函数y ＝x n在第一象限内的图像如图所示，已知n 取±2，±12四个值，则与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相对应的n 的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．12，2，－2，－12解析 考查幂函数y ＝x α的指数α与图像的关系．①α>0时，当x >1时，指数大的图像在上方，当0<x <1时，指数大的图像在下方．②α<0时，当x >1时，指数大的图像在上方，当0<x <1时，指数大的图像在下方．故无论指数正负，当x >1时，指数大的图像在上方，当0<x <1时，指数大的图像在下方．由图像知C 1，C 2的指数为正，排除A ，C ，x >1时，C 1在C2上方，所以C1的指数大于C2的指数．故选B．答案 B要点三抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题．【例3】函数f(x)对一切实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由．解法一设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0.由条件x>0时，f(x)>0，∴f(x2－x1)>0．又f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f((x2－x1)＋x1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＝－f(x2－x1)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)为R上的增函数．法二设x1∈R，令x2＝x1＋a(a>0)，则x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋a)＝f(x1)－f(x1)－f(a)＝－f(a)．又当a>0时，f(a)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)为R上的增函数．【训练3】已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0．求证：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．证明(1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0．令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0．∴f (－x )＝f [(－1)×x ]＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (2)设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1．∵x 2>x 1>0， ∴x 2x 1>1．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0．∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的.函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．【例4－1】 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是______________ ．解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图像观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3x >5.答案 2方向2 分类讨论思想应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏． 解决该类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类；(3)逐个讨论；(4)归纳总结，即对各类情况进行归纳，得出结论．【例4－2】 已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．解 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0． f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的图像的对称轴为直线x 0＝1－2a2a． ①令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时函数f (x )的图像的对称轴为直线x 0＝－2320，－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2．又因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不符合题意． ②令f (2)＝1，解得a ＝34，此时函数f (x )的图像的对称轴为直线x 0＝－13．因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f (2)最大，符合题意．③令f (x 0)＝1，解得a 1＝－3＋222，a 2＝－3－222．将a 1，a 2代入x 0＝1－2a2a，当a ＝a 1时，得x 0＝－4－22∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，当a ＝a 2时，得x 0＝22－4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2． 综上可知，a ＝34或a ＝－3－222．方向3 转化思想在求函数值时，有时需要将自变量的值转化到已知区间上，这个转化的过程也是一个探索的过程，抓住函数的内在联系，通过转化使结果慢慢显现出来．【例4－3】 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (7.5)等于( )A ．0.25B ．－0.25C ．1.5D ．－1.5解析 由已知条件可得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝－f (1.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.25．答案 B方向4 函数思想函数思想方法，即构造辅助函数，将所给问题转化为有关辅助函数性质的问题，从而得出所需结论．利用函数思想处理问题，需要熟练掌握常见函数的具体特征，同时要善于观察问题的结构特征，准确利用函数的性质，使问题得以解决．【例4－4】 设a ，b ，c ∈R ，且它们的绝对值都不大于1，求证：ab ＋bc ＋ca ＋1≥0． 证明 设f (a )＝ab ＋bc ＋ca ＋1.若b ＋c ＝0，则f (a )＝bc ＋1≥0． 若b ＋c ≠0，则f (a )是关于a 的一次函数． ∵a ，b ，c ∈[－1,1]，∴f (1)＝b ＋bc ＋c ＋1＝b (1＋c )＋(c ＋1)＝(b ＋1)(c ＋1)≥0，f (－1)＝－b ＋bc －c ＋1＝－b (1－c )＋(1－c )＝(1－b )·(1－c )≥0，∴f (a )在[－1,1]上恒为非负数． ∴ab ＋bc ＋ca ＋1≥0．。

2．1.2 第1课时函数的表示方法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点一列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？梳理列表法：通过列出________与______________的表来表示函数关系的方法叫做列表法．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理图象法：用“图形”表示函数的方法叫做图象法．知识点三解析法思考一次函数如何表示？梳理 解析法：用________(或________)来表示函数的方法叫解析法． 函数三种表示法的优缺点：类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x2；(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9；(2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)．类型二 图象的画法及应用 命题角度1 画函数图象例2 试画出函数y ＝1－x 2的图象．反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．命题角度2 函数图象的应用例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．反思与感悟函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．类型三列表法及函数表示法的选择例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．测试序号成绩姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582 班级平均分88.278.385.480.375.782.6(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：x 012 3f(x)3210则f(f(1))＝________.1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )x 123 4f(x)324 1A.1 B．2 C．3 D．42．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－13．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )A．y＝22x B．y＝24xC．y＝28x D．y＝216x4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．3．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．答案精析问题导学 知识点一思考 对于任一个x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 梳理自变量 对应函数值 知识点二思考 一图胜千言． 知识点三思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 梳理 代数式 解析式 题型探究例1 (1)解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2. (2)解 ∵f (x ＋1x)＝x 2＋1x2＝(x ＋1x)2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ， 将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )， 得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .跟踪训练1 (1)解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.(3)解 ∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f1x＝x ，f1x＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．例2 解 由1－x 2≥0解得函数定义域为[－1,1]． 当x ＝±1时，y 有最小值0.当x ＝0时，y 有最大值1. x ＝±12时，y ＝32. 利用以上五点描点连线，即得函数y ＝1－x 2的图象如下：跟踪训练2 解 (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分， 观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138画图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]．例3 [－2,4]∪[5,8][－4,3]跟踪训练3 解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，f(x)与直线y＝m图象有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.例4 解(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练4 1解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.当堂训练1．A 2.D 3.A 4.C5．解y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图象如下：由图易知，当x＝3时，y max＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，∴当x＝1时，y min＝－5.。

2．4.1 函数的零点学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．知识点函数零点的概念思考1 函数的“零点”是一个点吗？思考2 函数一定都有零点吗？梳理 1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值______，即________，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)________．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系类型一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.反思与感悟 求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－1x；(2)y ＝(ax －1)(x ＋2)．类型二 函数零点个数的判断例2 已知函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求实数a 取何值时函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，①有两个零点；②有三个零点． 引申探究若f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，求a 的取值范围．反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．类型三函数零点性质的应用例3 已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．反思与感悟解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )2．函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；23．如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A．(－2,6) B．[－2,6]C．(－∞，－2)∪(6，＋∞) D．{－2,6}4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.5．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．1．函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点．2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．答案精析问题导学 知识点思考1 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f (x )＝0的实数x .实际上是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．思考2 不是．只有函数的图象与x 轴有公共点时，才有零点． 梳理1．等于零 f (α)＝0 2.有实数根 与x 轴有交点 有零点 题型探究例1 解 (1)存在．因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝(8x ＋1)(－x ＋1)， 所以方程－8x 2＋7x ＋1＝0有两个实根－18和1，即函数f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点是－18和1.(2)存在．令f (x )＝0，即x 2＋4x －12x －2＝0，解方程得x ＝－6(x ＝2舍去)，所以函数f (x )＝x 2＋4x －12x －2的零点是－6.跟踪训练1 解 (1)∵f (x )＝x 2－1x，∴x ≠0.令f (x )＝0，即x 3－1＝0，∴x ＝1， ∴f (x )＝x 2－1x的零点为1.(2)①当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2. ②当a ≠0时，令y ＝0得x ＝1a或x ＝－2.ⅰ当a ＝－12时，函数的零点为－2；ⅱ当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a，－2.例2 解令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．①若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.②若函数有三个零点，则a＝4.引申探究解令f(x)＝0，得a－1＝2|x|－x2.令y1＝a－1，y2＝2|x|－x2.∵f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x2的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.跟踪训练2 解令f(x)＝|x2－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x－3)2－1|.下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.例3 解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，f＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －a ＋＋a －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －a ＋＋a －1＞0，解得0＜a ＜5，∴a 的取值范围为(0,5)．跟踪训练3 解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝2m ＋1＜0，f －＝2＞0，f ＝4m ＋2＜0，f＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12)．当堂训练1．D 2.B 3.C 4.2 －8 5.0，－1。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.填空：(1)集合{x |1<x ≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x |x >－2}用区间可表示为________； (3)集合{x |x ≤2}用区间可表示为________．【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2][小组合作型](1)(2)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④(3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ；②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.(2)①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与y ＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④. 故选C.【答案】 (1)B (2)C(3)①是函数．对x ≠0，x ∈R 的每一个x 的值，有唯一的y ∈R 与之对应． ②不是函数．如当x ＝4时，y ＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当x ＝4时，在{y |0≤y ≤3}内没有值与x 对应． ④是函数．当x ∈{x |0≤x ≤6}时，16x ∈{y |0≤y ≤1}⊆{y |0≤y ≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 中任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ (1)f ：把x 对应到3x ＋1； (2)g ：把x 对应到|x |＋1； (3)h ：把x 对应到1x；(4)r ：把x 对应到x .【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．(4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．已知函数f (x )＝1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f [g (2)]，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f [g (2)]＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f [g (a )]时，一般要遵循由里到外的原则．2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f [f (－1)]的值． 【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f [f (－1)]＝f [(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f (0)＝3.函数y ＝1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12且x ≠－12 【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．【自主解答】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12，故选B. 【答案】 B求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．[探究共研型]探究1 围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．探究2 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究 3 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x－3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝fx 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f g x 的定义域可由a ≤g x ≤b 解得；若已知函数y ＝f g x的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f x 的定义域为函数y ＝g x 在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ＋1≤6，x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≤1的实数x 不存在．【答案】 B2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x－x ，x <D ．y ＝3x 3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5，∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 【答案】 [4,5)∪(5，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.第2课时 映射与函数1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点) 2．了解象与原象的概念．(重点) 3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)[基础·初探]教材整理1 映射与一一映射阅读教材P 34“映射与函数”以下～P 35“第10行”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 在从集合A 到集合B 的映射中，(1)集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个．( ) (2)集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个．( ) (3)集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同．( ) (4)集合B 中的两个不同元素的原象可能相同．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下图2­1­1表示的对应法则：图2­1­1其中是映射的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 由映射的定义可知(3)为映射． 【答案】 D教材整理2 映射与函数的关系阅读教材P 35“第11行”以下～P 35“例7”以上的内容，完成下列问题． 1．区别对于映射f ：A →B 来说，集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．2．联系映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．下列集合A ，B 及其对应法则不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x ＋1| B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0【解析】 易知B 项中集合A 中的0在集合B 中没有元素与之对应，故不能构成映射． 【答案】 B2．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A →B ，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下， 象20的原象是( )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5【解析】由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．【答案】 A[小组合作型](1)如图图2­1­2其中是映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.【解析】(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.【答案】 A(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0|∉B，∴不是映射．②对任意x∈A，依法则f，有－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，所以此对应是映射，且是一一映射．③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，∴是映射．而0,1∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射．1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．这两个条件缺一不可．2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B 中无对应元素或有多个对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【解】(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0∉N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象．【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．【解】(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.∴原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．[再练一题]2．若本例的条件不变，问集合A 中是否存在元素(a ，b )使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．【解】 设存在这样的元素(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a －2b ＋1，b ＝4a ＋3b －1，∴a ＝0，b ＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为所求元素．[探究共研型]探究1 集合A ＝3，求这样的映射共有多少个？【提示】 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．探究2 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f ：A →B 的个数．【提示】 由已知，当f (a )＝0，f (b )＝0时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝－1，f (b )＝1时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝1，f (b )＝－1时，得f (a )＋f (b )＝0.所以符合条件的映射共3个．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数．【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个．1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有n m个不同的映射．2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．[再练一题]3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】①多对一(3个)②一对一(6个)所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝1x2【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C 中的对应法则能构成从集合P 到S 的映射．【答案】 C2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )(1) (2) (3) (4)图2­1­3A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)【解析】 根据映射定义． 【答案】 A3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射的个数有________个． 【解析】 A →B 的一一映射有2个，如图．【答案】 24．已知映射f ：R ＋→R ，x →2x －1，则x ＝5时的象为________，f (x )＝10时的原象为________．【解析】 ∵f ：R ＋→R ，x →2x －1. ∴x ＝5的象为2×5－1＝9.又∵f (x )＝10，∴2x －1＝10，∴x ＝112. 【答案】 9 1125．已知集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}．判断下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ； (2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.【解】 (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3x ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射．(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有象，因此对应f ：A →B 不是映射，也不是函数，更不是一一映射．(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．。

课时分层训练(四) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f (x)＝x，g(x)＝(x)2B．f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f (x)＝x2，g(x)＝|x|D．f (x)＝0，g(x)＝x－1＋1－xC[在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．]2．(2017·福建南安期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f (x)的定义域为M，值域为N，则f (x)的图像可以是( )【导学号：66482024】A B C DB[A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f (x)是一次函数，且f [f (x)]＝x＋2，则f (x)＝( ) A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－1A[设f (x)＝kx＋b，则由f [f (x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb ＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f (x)＝x＋1.故选A.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 xD[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·合肥二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.【导学号：66482025】(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f a ＜0，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧f a ，－f 2a，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式.【导学号：66482026】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，2分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 12分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. 4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋2[设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f x ＋2＝－x x ＋2.]3．根据如图2­1­1所示的函数y ＝f (x )的图像，写出函数的解析式．图2­1­1[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图像是一条线段(右端点除外)， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；6分当1≤x ＜2时，f (x )＝1. 10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.12分。

2．1 函数概念学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素(重点)；2.能正确使用区间表示数集(重点)；3.会求一些简单函数的定义域、函数值(重、难点)．预习教材P26－27完成下列问题：知识点一函数的概念(1)函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A．(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)，x∈A，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【预习评价】1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y解析一个x对应的y值不唯一，故A不能表示函数．答案 A2．函数符号y＝f(x)表示( )A．y等于f与x的乘积B．f(x)一定是一个式子C．y是x的函数D．对于不同的x，y也不同解析y＝f(x)表示的是y是x的函数，故选C．答案 C知识点二函数的三要素函数的三要素：定义域，对应关系，值域．(1)定义域定义域是自变量x的取值集合．有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合．(2)对应关系对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应．(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，x∈A，f(x)与f(a)意义相同．( )(2)在函数的定义中，集合B就是函数的值域．( )提示(1)f(x)为变数，f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值，是一个常数．(2)不一定．例如，A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，f：x→y＝x，则f：A→B是从集合A到集合B的一个函数，但函数值域{1,2,3}是B的子集．答案(1)×(2)×知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．【预习评价】函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？提示相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等．函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示．知识点四区间概念区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：1．对于区间[a ，b ]而言，区间端点a ，b 应满足什么关系？ 提示 若a ，b 为区间的左右端点，则a <b ．2．区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示 不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3．“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示 “∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．题型一 函数的概念及求值问题【例1】 (1)下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝x3；②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0． A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤(2)已知函数f (x )＝1x 2＋2，g (x )＝2x ＋1． ①求f (1)，g (1)的值；②求f (g (2))的值；③求f (a －1)，g (a ＋1)的值．(1)解析 ①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有数与它对应，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下，A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③在对应关系f 下，A 中的数(除去5与－5外)在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．⑤A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数；④⑥显然满足函数的特征，y 是x 的函数．故应选D ．答案 D(2)解 ①f (1)＝112＋2＝13，g (1)＝2×1＋1＝3；②由g (2)＝2×2＋1＝5，所以f (g (2))＝f (5)＝152＋2＝127．③f (a －1)＝1a －2＋2＝1a 2－2a ＋3，g (a ＋1)＝2×(a ＋1)＋1＝2a ＋3． 规律方法 1.判断某一对应关系是否为函数的步骤 (1)A ，B 为非空数集；(2)A 中任一元素在B 中有元素与之对应； (3)B 中与A 中元素对应的元素唯一． 2．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值； (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则．注意 用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【训练1】 (1)如图，可表示函数y ＝f (x )的图像的只能是( )(2)给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( )①x 2－y 2＝1；②|x －1|＋y 2－1＝0；③x －1－y －1＝1；④y ＝x －2＋1－x ． A ．① B ．② C ．③D ．④解析 (1)根据函数的定义，对于定义域内的任意的一个自变量x ，有唯一的函数值与之对应，故任作一条垂直于x 轴的直线，与函数的图像最多有一个交点．(2)①由x 2－y 2＝1得y ＝±x 2－1，不满足函数的定义，所以①不是函数．②由|x －1|＋y 2－1＝0得x －1＝0，y 2－1＝0，所以x ＝1，y ＝±1，所以②不是函数．③由x －1－y －1＝1得y ＝(x －1－1)2＋1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y ＝x －2＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．答案 (1)D (2)C题型二 判断是否为同一函数【例2】 判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0；(2)f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x x ＋；(3)f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1； (4)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．解 (1)f (x )的定义域中不含有元素0，而g (x )的定义域为R ，定义域不相同，所以二者不是同一函数．(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此二者不是同一函数． 规律方法 判断两函数相等的方法及注意点(1)方法：判断两函数是否相等时，要遵循定义域优先的原则，即要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．(2)两个注意点①函数的表示：与变量用什么字母表示无关； ②解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形．【训练2】 下列给出的各组函数f (x )与g (x )中，是同一个关于x 的函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2x－1B ．f (x )＝3x ＋2，g (x )＝3x －2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 6 D ．f (x )＝1与g (x )＝x x解析 A 项中函数的定义域不同，B 项的解析式不同，即对应关系不同，D 项的定义域不同，x ＝0时g (x )没有意义，只有C 项符合条件．答案 C【例3】 求函数f (x )＝x ＋11－1－x的定义域．解 要使此函数有意义，则⎩⎨⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1，即x ≤1且x ≠0，所以函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}． 【迁移1】 (变换条件)将本例中的函数改为f (x )＝x ＋1－1－x，则定义域如何？解 要使此函数有意义，则⎩⎨⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，x ＋1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1，x ≠－1，即x ≤1且x ≠0且x ≠－1，所以函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠0且x ≠－1}．【迁移2】 (变换条件)将本例中的函数改为函数f (x )＝ax ＋1(a ∈R )，求f (x )的定义域．解 要使函数有意义，必须有ax ＋1≥0， 即ax ≥－1，当a >0时，由ax ≥－1得x ≥－1a；当a ＝0时，由ax ≥－1得0≥－1，此时，x 取任意实数都成立； 当a <0时，由ax ≥－1得x ≤－1a．所以函数的定义域为：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－1a ；当a ＝0时，{x |x ∈R }； 当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1a ． 规律方法 (1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；②分式中分母不能为0；③零次幂的底数不为0；④如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．(3)含有参数的函数，其自变量取值范围的确定随参数取值的变化而变化，要依据参数的所有可能情况分类研究确定．题型四 求函数值 例4 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值．解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13．又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6．(2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112．规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (3))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (3))与g (g (3))的区别．【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2． (1)求f (2)；(2)求f (f (1))． 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34． (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58．课堂达标1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5． 答案 D2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析 选项A ，B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数．答案 C3．下列四个图像中，不是函数图像的是()解析 由函数的概念可知，在定义域内任意一个x 都有唯一一个y 值与之对应，所以A ，C ，D 是函数图像．答案 B4．函数y ＝x 的定义域为________．解析 由y ＝x ，故x ≥0，所以定义域为{x |x ≥0}． 答案 [0，＋∞)5．若f (x )＝1－x 1＋x (x ≠－1)，求f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))．解 f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－－a1＋1－a＝a2－a，因为f (2)＝1－21＋2＝－13，所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1＋131－13＝2． 课堂小结1．对函数相等的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y ＝x 与y ＝3x 的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．2．区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合．如{x |a <x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]是数集描述法的变式．。

2．3 函数的应用(Ⅰ)1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理几类函数模型阅读教材P65～P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题．常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f1x，x∈D1f2x，x∈D2……f n x，x∈D n1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图2­3­1所示，判断下列说法的对错．图2­3­1(1)甲比乙先出发．( )(2)乙比甲跑的路程多．( )(3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√2．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53【解析】 因为利润＝收入－成本，当产量为x 件时(x ∈N )，利润f (x )＝25x －(x 2－80x )，所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524， 所以x ＝52或x ＝53时，f (x )有最大值． 【答案】 D[小组合作型]一次函数模型的应用(1)y ＝6x ＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )A ．2 000套B ．3 000套C ．4 000套D ．5 000套(2)如图2­3­2所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：图2­3­2①通话2分钟，需要付电话费________元； ②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________． 【解析】 (1)因利润z ＝12x －(6x ＋30 000)，所以z ＝6x －30 000，由z ≥0，解得x ≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．(2)①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得y＝1.2t(t≥3)．【答案】(1)D (2)①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3)1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[再练一题]1．某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？【导学号：60210056】【解】设每天从报社买进x份报纸，易知250≤x≤400，设每月赚y元，则y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，y max＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1 170元.二次函数模型的应用购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【自主解答】 (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元， 则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k ＜0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)，y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100,300])， ∵k ＜0，∴x ＝200时，y max ＝－10 000k ，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%， 即x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.[再练一题]2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，求供水开始几小时后，水池中的存水量最少．【解】 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)，设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎪⎫u －5662＋150，∴当u ＝566即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少．[探究共研型]分段函数模型的应用探究1 分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x，x ∈D 1，f 2x，x ∈D 2，……f nx，x ∈D n的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？【提示】 分段函数f (x )是各段自变量取值范围的并集，即D 1∪D 2∪…∪D n ，分段函数的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值．探究2 解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？ 【提示】 根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧15＋12t ，0≤t ≤10，25－12t ，10<t ≤20(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【精彩点拨】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋12t 80－2t ，0≤t ≤10⎝⎛⎭⎪⎫25－12t 80－2t ，10<t ≤20＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋3040－t ，0≤t ≤1050－t40－t ，10<t ≤20＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，0≤t ≤10t 2－90t ＋2 000，10<t ≤20(2)由(1)知①当0≤t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225， 函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5)递增，在t ∈(5,10]递减， ∴y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)． ②当10＜t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，y max ＝1 200(t ＝10时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)，由①②知y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．[再练一题]3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)当0＜x ≤30时，y ＝900；当30＜x ≤75，y ＝900－10(x －30)＝1 200－10x ；即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元，则当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000； 当30＜x ≤75，S ＝x (1 200－10x )－15 000＝－10x 2＋1 200x －15 000；即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75.因为当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000为增函数，所以x ＝30时，S max ＝12 000； 当30＜x ≤75时，S ＝－10x 2＋1 200x －15 000＝－10(x －60)2＋21 000， 即x ＝60时，S max ＝21 000＞12 000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．1．一等腰三角形的周长为20，底边y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x <10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5<x <10)【解析】 依题意，得2x ＋y ＝20， ∴y ＝20－2x .又y >0，∴20－2x >0，∴x <10. 又2x >y ，∴2x >20－2x ， ∴x >5，∴5<x <10. 【答案】 D2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 【答案】 2 5003．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．【解析】 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270， ∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元． 【答案】 2 2504．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元.【导学号：60210057】【解析】 设涨价x 元，销售的利润为y 元， 则y ＝(50＋x －45)(50－2x )＝－2x 2＋40x ＋250 ＝－2(x －10)2＋450，所以当x ＝10，即销售价为60元时，y 取得最大值． 【答案】 605．某游乐场每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的关系如图2­3­3所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？图2­3­3【解】 根据题意，得每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的函数关系式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3.75x 0≤x ≤4001.25x ＋1 000400≤x ≤600.①当0≤x ≤400时，由3.75x ＝750，得x＝200.②当400≤x≤600时，由1.25x＋1 000＝750，得x＝－200(舍去)．综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张．。

2．2 函数的表示法学习目标 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用(重、难点)．预习教材P28－31完成下列问题： 知识点一 函数的三种表示方法 表示法 定义解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系1．函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 提示 三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值 图像法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大提示 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．知识点二 分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数．【预习评价】分段函数的定义域和值域是如何确定的？提示 分段函数是一类特殊的函数，其解析式是由几个不同的式子构成，它们合为一个整体表示一个函数，分段函数的定义域、值域分别是各段函数定义域、值域的并集．题型一作函数的图像【例1】作出下列函数的图像．(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．解(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．规律方法 1.作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像．2．函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．【训练1】作出下列函数的图像．(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 12 3f(x)13 1则f (g (1))的值为的值是________． 解析 ∵g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1．f (g (x ))与g (f (x ))与x 相对应的值如下表所示.∴f (g (x ))>g 答案 1 2规律方法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数．对于f (g (x ))这类函数值的求解．应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．【训练2】 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f (g (1))＝(2)若g (f (x ))＝2，则x ＝________． 解析 (1)由表知g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1；(2)由表知g (2)＝2，又g (f (x ))＝2，得f (x )＝2，再由表知x ＝1． 答案 (1)1 (2)1题型三 待定系数法求函数解析式【例3】 (1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求此二次函数f (x )的解析式．解 (1)∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ．又∵f (f (x ))＝4x －1，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(2)∵f (0)＝0，∴c ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋bx ， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， ∴当x ＝0，有f (1)＝f (0)＋1＝1，即a ＋b ＝1.①当x ＝1时，有f (2)＝f (1)＋1＋1＝3， 即4a ＋2b ＝3，② 由①②解得a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x ．规律方法 1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数，通常设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；若为反比例函数，通常设为f (x )＝kx(k ≠0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：(1)一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)两根式 y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图像与x 轴交点的横坐标；(3)顶点式y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)其中顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .解题时需依据条件灵活选用．【训练3】 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式．解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1．题型四 换元法(或配凑法)、方程组法求函数 解析式【例4】 求满足下列条件的函数f (x )的解析式． (1)函数f (x )满足f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)函数f (x )满足2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝x (x ≠0)．解 (1)法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2， 所以f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 (配凑法)因为x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1．又因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)由题意知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x ，令x ＝1t(t ≠0)，则1x＝t ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋2f (t )＝1t，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，于是得到关于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 与f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．规律方法 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路 (1)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可．(2)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．【训练4】 已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 2＋6x －10解析 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，因为f (x －1)＝x 2＋4x －5，所以f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x ．法二 因为f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，所以f (x )＝x 2＋6x ． 所以f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x ． 答案 A互动 探究题型五 分段函数及应用【探究1】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值为________．解析 f (3)＝32－3－3＝3，所以1f 3＝13． 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89．答案 89【探究2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图像； (3)写出该函数的值域． 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．【探究3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1，x 2－2x ，x ≥1.(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小； (2)画出函数的图像； (3)若f (x )＝1，求x 的值． 解 (1)∵－3<1，∴f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7． ∵7>1，∴f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35． ∵3>1，∴f (3)＝32－2×3＝3， ∴f (f (3))＝3． ∴f (f (－3))>f (f (3))． (2)函数图像如图所示．(3)由f (x )＝1和函数图像综合判断可知，当x 在(－∞，1)上时，得f (x )＝－2x ＋1＝1，解得x ＝0；当x 在[1，＋∞)上时，得f (x )＝x 2－2x ＝1，解得x ＝1＋2或x ＝1－2(舍去)． 综上可知x 的值为0或1＋2．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2x ，x ≥1，－2x 2＋3，x <1，求使f (x )<2的x 值的集合．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x 2－2x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x 2＋3<2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x 2－2x <2，解得1≤x <1＋73．由⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x 2＋3<2.解得x <－22或22<x <1． 综上可知，使f (x )<2的x 值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－22或22<x <1＋73． 规律方法 (1)求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 特别地，当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知函数值求字母的值的四个步骤 ①讨论：对字母的取值范围分类讨论．②代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中． ③求解：通过解方程求出字母的值．④检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内．课堂达标1．已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A ．18x ＋17 B ．6x ＋5 C ．6x －7D ．6x －5解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2，∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7，∴f (x )＝6x －7，故选C ． 答案 C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0B ．13 C ．1D ．2解析 f (2)＝2－1＝1． 答案 C3．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241解析 答案 14．如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为____________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1<x <3，x －2，x ≥35．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，求f (x )的解析式． 解 因为f (x )是一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． 则3f (x ＋1)＝3[k (x ＋1)＋b ]＝3kx ＋3k ＋3b ＝6x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，3k ＋3b ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－23.所以f (x )＝2x －23．课堂小结1．函数三种表示法的优缺点2．理解分段函数应注意的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。

第二章函数[自我校对]①对应关系②函数的值域③解析法④简单的幂函数⑤单调性的定义⑥函数的奇偶性⑦奇偶性的判定方法1.方数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，求函数f [φ(x )]的定义域，可解不等式a ≤φ(x )≤b 求得；如果已知函数f [φ(x )]的定义域，可通过求函数φ(x )的值域，求得函数f (x )的定义域．(1)若函数y ＝3x －7ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为________． 【精彩点拨】 (1)对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，分a ＝0，a ≠0两种情况，a ≠0时，Δ<0即可；(2)由0≤12x －1≤1解出x 的范围即为所求．【规范解答】 (1)依题意，x ∈R ，解析式有意义，即对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，故方程ax 2＋4ax ＋3＝0无实根．①当a ＝0时，3≠0满足要求；②当a ≠0时，则有Δ＝16a 2－12a ＜0，即0＜a ＜34时满足要求．综上可知a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.(2)由题意知，0≤12x －1≤1，解得2≤x ≤4.因此，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为[2,4]． 【答案】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 (2)[2,4][再练一题]1．已知函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，求f (1－3x )的定义域.【导学号：04100036】【解】 ∵f (2x －1)的定义域为[0,1)，∴0≤x ＜1， ∴－1≤2x －1＜1， ∴f (x )的定义域为[－1,1)， 即－1≤1－3x ＜1,0＜x ≤23.故函数f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.(1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法．(2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常能使求解的问题避免复杂的讨论．已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和f (2)＝53，求a ，b 的值；(2)根据单调性的定义证明． 【规范解答】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b，∴－3x ＋b ＝－3x －b ， 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2x 2＋23x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，f (x )在(－∞，－1]上为增加的．证明：设x 1＜x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2， ∵x 1＜x 2≤－1， ∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1>0，因此，(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－1]上为增加的．[再练一题]2．设f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f (－2)＝0，若f (m －1)<0，求m 的取值范围．【解】 ∵f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的， ∵f (－2)＝f (2)＝0，由f (m －1)<0， ∴|m －1|>2，∴m －1<－2或m －1>2， ∴m <－1或m >3.函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．对于函数f (x )＝x 2－2|x |. (1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对f (x )的奇偶性作出判断；(2)利用f (x )的对称性画出f (x )的图像，根据图像写出f (x )的单调区间和最小值．【规范解答】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数， 图像关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x －2－x ，x 2＋2x ＝x ＋2－x ＜画出图像如图所示．根据图像知，函数f (x )的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．[再练一题]3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．【解析】 如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图像观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋x ，－x ＋＜x，32x ＋12＜x ，x 2－4x ＋x ＞f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.【答案】 2从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【精彩点拨】 分抛物线的对称轴x ＝1在区间[t ，t ＋1]的左侧、内部和右侧三种情况讨论．【规范解答】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t ＞1时，函数图像如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[再练一题]4．已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．【解】 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a2a. (1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，因为a ＜0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不合适． (2)令f (2)＝1，解得a ＝34，此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2.因为a ＞0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f (2)最大，合适．(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22).1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x【解析】 当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.【答案】 D2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x ＜0，log a x ＋＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则 ⎩⎪⎨⎪⎧02＋a －＋3a ≥f ＝1，3－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.【答案】 C3. (2016·山东高考) 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4. (2016·北京高考) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.【答案】 (1)2 (2)a <－15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【解析】 函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.【答案】 16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.【解析】 若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．【答案】27. (2015·山东高考) 已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.【解析】 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.【答案】 －32。

2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )A B C D【解析】借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x有唯一的y与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12. 【答案】 A[小组合作型](1)函数f (x )＝x ＋x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)； 当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y ＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：③解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.[再练一题]1．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】 解析法：y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4}，则y ∈{2,4,6,8}．列表法：图象法：(1)(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且[f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则[f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b ) ＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧fx －2f －x ＝1＋2x ，f －x －2f x ＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．[再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________. 【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x 1x－1，得f (x )＝23x ＋13.【答案】23x ＋13已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0； 当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.∴x的取值范围是{x|x>0或x<－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f[f(a)]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．[再练一题]3．本题中解析式不变求f(－3)，f(f(－3))，f(f(f(－3)))的值．【解】f(－3)＝－(－3)－2＝1，f(f(－3))＝f(1)＝1＋2＝3，f(f(f(－3)))＝f(3)＝3＋2＝5.[探究共研型]探究1【提示】列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．[再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D ．f (x )＝x 2＋6x －10【解析】 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ， 即f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x .法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x . ∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ，故选A. 【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2­1­4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2­1­4【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．即f(x)的值域是[－1,3]．。