大纲版高二数学下§6.3不等式证明(1)(修改稿23-32页)

高二数学说课稿之不等式证明高中各科目的学习对同学们提高综合成果特别重要，大家肯定要仔细掌控，精品我为大家整理了高二数学说课稿之不等式的证明，盼望同学们学业有成!一、本节课在本章中的地位综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：依据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。

综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证，我们从，得，移项得.综合法的证明过程表现为一连串的"由于所以'，可用一连串的"'来代替.综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一需要掌控的方法分析法的思索过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思索过程。

事实上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采纳这个名字而已。

本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。

二、本节课的教学重、难点本节课的教学重点是运用综合法证明不等式。

教学难点是如何正确运用综合法证明不等式。

用综合法证明不等式的规律关系是：(已知)(逐步推演不等式成立的须要条件)(结论)即由此可见，综合法是"由因导果'，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。

难点突破方法：由于综合法不象比较法，它需要从某个不等式的性质和已经证明过的不等式出发，运用不等式的性质进行一系列的恒等变形，直到得出结论。

因此要求同学对所学习的不等式的5个定理，4个推论和不等式平方不等式和均值定理需要熟识，在进行教学时，首先要与同学一起回顾前面所学不等式性质、定理，并板书在黑板上，便于同学径直运用，从而节省学习时间;其次，用综合法进行不等式的证明时，通常要观测所证的不等式的结构，找出它与前面所学不等式性质、定理在结构上的某些相像之处，所以又要留意引导同学学会从结构上进行观测，大胆猜想，当心求证，并以此为契机，复习掌控前面所学不等式性质、定理。

高二数学不等式的证明知识点归纳1.不等式证明的依据2不等式的性质略3重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R②a2+b2≥2aba、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号2.不等式的证明方法1比较法：要证明a>ba0a-b<0，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

2建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

7学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

高二数学不等式同步辅导讲义第1讲 不等式的证明一、辅导内容不等式证明的方法与技巧二、学习指导不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。

其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。

不等式的性质是不等式证明的基础。

不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。

比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。

根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。

三、典型例题【例1】 设a ，b ∈R ，求证：a 2+b 2≥ab+a+b-1。

解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a 或b 看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。

作差δ=a 2+b 2-ab-a-b+1=a 2-(b+1)a+b 2-b+1=43b 23b 43)21b a (22+-++- =22)1b (43)21b a (-++-≥0 思路二：注意到不等式两边式子a 2+b 2与ab 的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a 与b 项，应用增减项法变形。

增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。

因a 2+b 2≥2ab ，a 2+1≥2a ， b 2+1≥2b 三式同向相加得：a 2+b 2≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a 的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。

记f(a)=a 2-(b+1)a+b 2-b+1因二次项系数为正，△=(b+1)2-4(b 2-b+1)=-3(b-1)2≤0 ∴ f(a)≥0【例2】 已知0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，求证：abcc b a cabc ab 1++++++≥1。

高三数学第一轮复习讲义（41）不等式的证明（二） 一．复习目标：1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．三．课前预习：1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （）()A 1,)+∞ ()B (1]-- ()C 1,)+∞ ()D (1]-+ 2．1A n=+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析：例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤．小结：例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21211a a =++， （1介于1a 与2a 之间；（2）证明：2a 比1a 更接近于3；（3例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -<．小结：例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<．小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）()A 至少有一式小于1-()B 都小于1- ()C 都大于等于1-()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ．3．,,x x y R x y y∈=-，则x 的取值范围是 ．4．已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤5．证明：2221111223n ++++<．6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-．7．已知22,,4a b R a b ∈+≤，求证22|383|20a ab b --≤．。

* 6．3 不等式的证明(2) *磨法石——核心知识归纳：前一节介绍了证明不等式的四种基本方法，本节再介绍三种辅助方法来解决一些较为特殊的不等式的证明问题。

1．换元法：引入辅助元，可以把分散的条件联系起来，隐含条件显现出来，条件的结论联系起来，化不熟悉为熟悉的问题。

2．放缩法：要证不等式A ＞B ，可以构造出一个中间式（或叫媒介式）C ，使A ＞C ＞B ，即不等式传递性。

3．函数方程法：利用函数的单调性求函数最值或利用二次方程判别式△≥0或△＜0证题。

点金术——难点疑点突破：1．换元法需注意换元前后变量所表示范围的一致性。

例1：证明下列不等式：若a 、b ∈R ，|a |≤1，|b |≤1，则a 21b -+ b 21a -≤1。

错：设a =cos θ，b =sin θ，则a 21b -+ b 21a -= cos θ·cos θ+sin θ·sin θ=1 分析：∵a =cos θ，b =sin θ存在着a 2+b 2=1这层关系，但题设中没有这层关系。

正解：设a =cos α，b =cos β，α、β∈[-2π，2π]， 则a 21b -+ b 21a -=cos αsin β+cos βsin α=cos(α+β)≤12．放缩法要注意放缩有度的问题，否则不能达到证明目的。

例2：证明211+221+ (21)＜2 分析：∵①n 2＞(n -1)2 ②n 2＞n 2-1 ③n 2＞n (n -1)三种放缩方式，到底选择哪一种呢？当然是选择放缩辐度较小的方式。

证明：211+221+…21n ＜11+121⨯+231⨯+341⨯+…+)1(1-⨯n n =1+11-21+21-31+31-41+…+11-n -n 1=2-n 1＜2 3．怎样构造恰当的函数。

例3： 已知：a 、b 、c ∈(-2，2)，求证：ab +bc +ca ＞-4。

分析：∵ab +bc +ca = a (b +c )+bc∴将a 看作变量，而bc 看作常数时g (a ) =a (b +c )+bc 是关于变量a 的一次函数。

6.3.3 不等式的证明(三）●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学方法引导、探索、综合、归纳四步教学法. ●教具准备 幻灯片三张第一张：记作§6.3.3 A第二张：记作§6.3.3 B第三张：记作§6.3.3 C●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出幻灯片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读幻灯片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a >0,b >0),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)ab ba +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号；今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.Ⅱ.讲授新课（简述“综合法”证明不等式的基本思想）［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）［生］∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc. ①同理b(c2+a2)≥2abc, ②c(a2+b2)≥2abc. ③因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.由不等式的性质定理3的推论，得a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.（打出幻灯片§6.3.3 B ，教师把握好课堂教学时间，合理安排，选讲例2中的部分题目，其余留给学生完成）.［例2］（1）设a >0,b >0,c >0且a +b +c =1,求证： 8abc ≤(1-a )(1-b )(1-c ).(2)设a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边，求证：abc >(b +c -a )(a +b -c )(c +a -b ).(3)已知a >0,b >0,a +b =1,求证： （1+21a ）(1+21b )≥25.(4)设x >0,y >0,求证：（x 2+y 2）21>(x 3+y 3)31［师］仿照例1，我们用综合法证明不等式.［生］（1）∵a >0,b >0,c >0且a +b +c =1 ∴1-a =b +c >0 同理，1-b =a +c >0,1-c =a +b >0∴(1-a )(1-b )(1-c )=(a +b )(b +c )(a +c ) ∵a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,a +c ≥2ac >0∴由不等式的性质定理4的推论1，得 (a +b )(b +c )(a +c )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (2)∵a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边 ∴a >0,b >0,c >0且a +b -c >0,a +c -b >0,b +c -a >0.由于三角形是不等边三角形，上述三式不能同时取“=”号 ∴由不等式的性质定理4的推论1，得abc >(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b )(3)设y =(1+21a )(1+21b ) ∵a >0,b >0,a +b =1 ∴a 2+2ab +b 2=1 ∴a 2+b 2=1-2ab ∴y =1+abb a b a ab 221222222-+=- 令t =ab1, 则y =2t 2-2t +1. 即0<ab ≤41∴ab1≥4,即t ∈［4,+∞)由二次函数的性质可知：（对称轴t =21)y =2t 2-2t +1,在t ∈［4,+∞)上是增函数.∴当t =4时，y 取最小值25. 故（1+21a )(1+21b )≥25.(4)∵x >0,y >0 ∴(x 2+y 2)3=x 6+y 6+3x 2y 2(x 2+y 2)≥x 6+y 6+6x 3y 3>x 6+y 6+2x 3y 3=(x 3+y 3)2由不等式的性质，两边同时开6次方，得 （x 2+y 2)21>(x 3+y 3)31.［师生共析］1.具有对称轮换性质的不等式证明，可就其一项或一个因式先处理，其他可同理得到，如（1）、（2）.2.若给出形如a >0,b >0且a +b =1类型的题目，一般都经过恒等变形，把其他式子都化归成与ab 有关系的式子，然后根据函数的有关性质去证明或探究，这种方法特别在这种条件下的最值很有效.3.用“算术平均数与几何平均数定理（称均值不等式）”证明题时，要注意为达目标可先宏观，而后微观.4.均值不等式在运用时，常需先凑形后运用，变形后的不等式：ab ≤(2b a +)2,(a >0,b >0）经常用到.Ⅲ.课堂练习1.已知xy >0,求证xy +xy1+yx x y +≥4.分析：根据不等式的结构特点，我们可直接运用重要不等式：abb a +≥2,(a ,b 同号，即ab >0).证明：∵xy >0 ∴x y ,yx 都大于零 ∴xy +xy1≥2xyxy 1⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.xy y x +≥2xy y x ⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.由不等式的性质定理的推论，得xy +yx x y xy ++1≥4注意：利用a ≥b ,c ≥d 推出a +c ≥b +d 时，必须强调当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号.如果找不到a =b 与c =d 同时成立的条件，说明a +c =b +d 的条件不具备，即得a +c >b +d .例如：由x >0时，得x +x 1≥2,此时，x +0.5>0,5.01+x >0,可得x +0.5+5.01+x ≥2,但x +x1+(x +0.5)+ 5.01+x ≥2+2,其中“=”号不成立，即x +x1+(x +0.5)+5.01+x >4.同样，由a ≥b >0,c ≥d >0⇒ac ≥bd 时，也要注意当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号，无此条件，只能得ac >bd .2.已知a >b >0,0<c <d ,求证db c a >.分析：本题根据其结构特点，可创设运用不等式的基本性质，最后得证.证法一：∵a >b >0,c >0 ∴db ca > ① 又0<c <d ,b >0,∴b c <b d ,且bc >0,d bc b >② 由①和②可知：dbc a >.证法二：∵a >b >0,d >c >0 ∴ad >bc 又∵cd >0 ∴db c a cd bc cd ad >>即,. 注意：本题的结论可作为不等式的性质直接应用.即不等式各字母均为正数，异向不等式相除，得与被除式同向的不等式.3.已知a,b是不相等的两个正数，求证(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.分析：不等式左端（a+b)(a3+b3)=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,从而所证不等式即ab3+a3b>2a2b2,又a>0,b>0且a≠b,也就是证a2+b2>2ab.这显然是成立的，证法可任选比较、综合、分析（后面即将要学）之一.证明：（用综合法证明）∵a>0,b>0且a≠b∴a2+b2>2ab,∴ab(a2+b2)>2a2b2∴a4+ab(a2+b2)+b4>a4+b4+2a2b2即(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了“综合法”证明不等式，其核心是引导我们运用已有知识（已知或已知成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理，启发大家从不同角度去思考问题，去主动获取新的知识，鼓励我们敢于创造独特、新颖的思想方法和见解.同时也注意培养了我们坚持实事求是的良好思维品质.Ⅴ.课后作业（一）（打出幻灯片§6.3.3 C，让学生记录下题目，做为课后练习，完成证明或解答）1.证明下列不等式：(1)a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a>0,b>0,c>0)证明：（1）∵a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2c 2a 2∴将上面三个不等式相加，得 2（a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2) 故a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2. (2)∵a >0,b >0,c >0,∴a +b ≥2ab >0,b +c =2bc >0,c +a ≥2ac >0 将上面三个同向不等式相乘，得(a +b )(b +c )(c +a )≥8·ab ·bc ·ac =8abc 故（a +b )(b +c )(c +a )≥8abc .2.制造一个容积为V （定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？分析：根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路.解：设容器底半径为r ,高为h ,则V =πr 2h ,h =2rVπ. (1)当容器有盖时，所需用料的面积：S =2πr 2+2πrh =2πr 2+rV2=2πr 2+r V +rV ≥33232232V rVr V r ππ=⋅⋅ 当且仅当2πr 2=r V ,即r =32πV ,h =2r V π=2r ,取“=”号.故21=hr 时用料最省.（2）当容器无盖时，所需用料面积： S =πr 2+2πrh =πr 2+r V 2=πr 2+r V +r V ≥332V π 当且仅当πr 2=r V ,r =3πV ,h =2r V π=r .即r =h 时用料最省. （二）1.预习内容：课本P 15~16“分析法”证明不等式.2.预习提纲：（1）什么是分析法？它的基本思想是什么？（2）分析法适合证明哪类不等式？ ●板书设计。