人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习 3.2 均值不等式(一)

数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

教材习题点拨练习A1．解：不正确．因为当a ＞0，b ＞0时，a ＋b 2≥ab 成立；当a ＜0，b ＜0时，a ＋b2≤－(－a )(－b )＝－ab .2．解：[2，＋∞)3．解：(1)设这两个正数为a ，b ，则a ＞0，b ＞0，且ab ＝49， 所以a ＋b ≥2ab ＝249＝14，当且仅当a ＝b ＝7时，取等号． 答：当这两个正数均为7时，它们的和最小．(2)设这两个正数为a ，b ，则a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝36， 所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫3622＝324，当且仅当a ＝b ＝18时，取等号．答：当这两个正数均为18时，它们的积最大．4．解：设矩形不靠墙的一边长为x m ，则另一边长为(l －2x )m ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜l2. 由题意得S ＝x (l －2x )≤12×14[2x ＋(l －2x )]2＝18l 2，当且仅当2x ＝l －2x 时取得“＝”， ∴x ＝l 4.∴l －2x ＝l2.答：当矩形长、宽各为l 2m 、l 4m 时，菜地面积最大，为l 28m 2.练习B1．解：∵a ，b ，c ，三个数为正数，故当a ＝2，b ＝8，c ＝4时，a ＋b ＋c 3＝143，3abc ＝4，则a ＋b ＋c 3＞3abc ；当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋b ＋c 3＝3，3abc ＝3，∴a ＋b ＋c 3＝3abc .∴a ＋b ＋c 3≥3abc .2．证明：∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4.(当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”)3．解：f (x )＝x 2－2x ＋3x ＝x －2＋3x ＝x ＋3x －2，∵x ＞0，∴3x ＞0.∴f (x )＝x ＋3x－2≥2x ·3x－2＝23－2. 当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取“＝”．∴当x ＝3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋3x 取得最小值23－2.4．解：∵点P (x ，y )在直线2x ＋y －4＝0上运动，∴y ＝4－2x . 点P 坐标为(x,4－2x )，由题意，得x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×14[2x ＋(4－2x )]2＝12×14×42＝2.当且仅当2x ＝4－2x 时取“＝”．∴4x ＝4，x ＝1.∴y ＝4－2x ＝2. 答：它的横、纵坐标之积最大值是2，此时点P 的坐标为(1,2)． 5．解：设池底一边长为x m.∵水池容积为4 800 m 3，深为3 m ，∴池底面积为4 8003＝1 600(m 2)．∴另一边长为1 600x m ．∴池壁面积为2×3x ＋2×3×1 600x ＝6x ＋9 600x .∴总造价y ＝1 600×150＋120⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ＝240 000＋720x ＋1 152 000x ≥240 000＋2720x ·1 152 000x＝240 000＋2×28 800＝297 600.当且仅当720x ＝1 152 000x 时，取得“＝”，∴720x 2＝1 152 000，x 2＝1 600. ∴x ＝40，1 600x＝40.答：当水池长、宽各为40 m 时，造价最低，最低造价是297 600元． 习题3－2A1．解：由图(1)得正方形面积为(a ＋b )2，八个直角三角形面积和为12·ab ·8＝4ab .∵a ≠b ，∴(a ＋b )2＞4ab ，a 2＋b 2＞2ab .由图(2)得正方形面积为(a ＋b )2，八个直角三角形面积和为4ab . ∵a ＝b ，∴(a ＋b )2＝4ab ，即a 2＋b 2＝2ab .综上所述，a 2＋b 2≥2ab . 2．解：f (θ)＝tan θ＋cot θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2 θ＋cos 2 θcos θ·sin θ＝112sin 2θ＝2sin 2θ.∵0＜θ＜π2，∴当θ＝π4时，sin 2θ有最大值1.∴当θ＝π4时，函数f (θ)有最小值2.3．解：∵f (x )＝x 2x 4＋2，∴1f (x )＝x 4＋2x 2＝x 2＋2x 2≥2x 2·2x2＝2 2. ∴f (x )≤24. 当且仅当x 2＝2x 2，即x ＝±42时，取得最大值，∴f (x )的最大值是24.4．解：设两直角边分别为a ，b ，则12ab ＝50，ab ＝100.由题意，令a ＋b 为两直角边的和S .∴S ＝a ＋b ≥2ab ＝2100＝20. 当且仅当a ＝b ，即a ＝b ＝10时，S 有最小值，最小值为20. 5．解：设矩形的长为x cm ，面积为S cm 2，则宽为(10－x )cm ， 则S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时取得“＝”．所以这个矩形的长、宽都是5 cm 时，矩形面积最大，最大为25 cm 2.6．解：设铁盒底面的长为x cm ，宽为y cm ，表面积为S cm 2，则S ＝2×2x ＋2×2y ＋xy ＝4x ＋4y ＋xy .∵2xy ＝50，∴xy ＝25.∴S ＝4x ＋4y ＋xy ≥24x ·4y ＋xy ＝216×25＋25＝65. 当且仅当x ＝y ＝5时取得最小值．∴这个铁盒底面的长为5 cm ，宽为5 cm 时，用料最少．7．解：方法一：∵－12＜x ＜32，∴－1＜2x ＜3，∴3－2x ＞0,2x ＋1＞0.∴y ＝(3－2x )(2x ＋1)≤⎝⎛⎭⎫3－2x ＋2x ＋122＝4，当且仅当3－2x ＝2x ＋1，即x ＝12时，y max ＝4.方法二：y ＝－4x 2＋4x ＋3＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋4≤4. ∵12∈⎝⎛⎭⎫－12，32，∴当x ＝12时，y max ＝4. 8．解：∵y ＝2－4x －x (x ＞0)，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫4x ＋x . 令t ＝4x＋x ≥24x ·x ＝4，当且仅当4x＝x ，即x ＝2(x ＞0)时t 有最小值4. ∴y ＝2－t ≤2－4＝－2.∴函数的最大值为－2，此时x ＝2.9．解：y ＝x ＋3x －2＝(x －2)＋3x －2＋2. ∵x ＞2，∴x －2＞0.∴原式≥2(x －2)·3x －2＋2＝23＋2.当且仅当x －2＝3x －2，即x ＝2＋3时取“＝”．∴函数y ＝x ＋3x －2(x ＞2)的最小值为23＋2，此时x ＝2＋ 3.10．解：设地面的长为x m ，宽为25xm ，总造价为y 元．由题意得墙壁面积为⎝⎛⎭⎫x ＋25x ×3×2＝⎝⎛⎭⎫6x ＋150x (m 2)，屋顶面积为25 m 2. ∴y ＝400(6x ＋150x )＋25×500＝2 400x ＋60 000x ＋12 500.由题意得x ＞0，∴y ＝2 400x ＋60 000x＋12 500≥22 400x ·60 000x＋12 500＝36 500.当且仅当2 400x ＝60 000x，即x ＝5时取“＝”．∴当地面的长为5 m ，宽为5 m 时，能使总造价最低，最低造价是36 500元． 习题3－2B1．解：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，∴a ·b ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ≥114＝4，∴1a ＋1b的最小值为4.2．解：∵a ，b ∈R ＋，且3a ＋2b ＝2，∴3a ·2b ≤14×22＝1，a ·b ≤16.当且仅当3a ＝2b ＝1，即a ＝13，b ＝12时，ab 的最大值为16.3．解：y ＝x 2－x ＋4x －1＝x (x －1)＋4x －1＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴原式≥2(x －1)·4x －1＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，函数y ＝x 2－x ＋4x －1的最小值为5.4．解：∵x ＞2，y ＞4，xy ＝32，∴log 2x 2＋log 2y 4＝log 2xy8＝log 24＝2.∴log 2x 2·log 2y 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2＋log 2y422＝1，当且仅当log 2x 2＝log 2y 4，即x 2＝y4时取“＝”，∴2x＝y .又xy ＝32，∴x ＝4，y ＝8.∴log 2x 2·log 2y4的最大值为1，此时x ＝4，y ＝8.5．解：∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π.∴0＜sin 2θ≤1.∴f (θ)＝(sin 2θ＋2)2sin 2θ＝sin 2 2θ＋4sin 2θ＋4sin 2θ＝sin 2θ＋4sin 2θ＋4.令sin 2θ＝t ，则0＜t ≤1.∵t ＋4t 在(0,1]上单调递减，∴当t ＝1时，t ＋4t 有最小值1＋4＝5.由sin 2θ＝1得θ＝π4，∴f (θ)的最小值为5＋4＝9，此时θ＝π4.6．解：如图所示，设AB ＝x ，则AP ＝x －DP .∴DP 2＋(12－x )2＝(x －DP )2. ∴DP ＝12－72x.∴S △ADP ＝12·AD ·DP ＝12(12－x )(12－72x )＝108－(6x ＋432x )．∵x ＞0，∴6x ＋432x ≥26×432＝72 2.∴S △ADP ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x ≤108－72 2. 当且仅当6x ＝432x 时，△ADP 面积的最大值108－722，此时x ＝6 2.。

3．2 均值不等式 (一)1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．下列说法中，正确的有________． (1) a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2；(2)(a ±b )2≥0； (3) a 2＋b 2≥(a ＋b )2；(4) (a ＋b )2≥(a －b )2. 答案 (1)(2)解析 当a ，b 同号时，有a 2＋b 2≤(a ＋b )2，所以(3)错误； 当a ，b 异号时，有(a ＋b )2≤(a －b )2，所以(4)错误．1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值 对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2.(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).要点一 均值不等式的证明例1 证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a 2＋b 2≥2ab ； (2) ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)．证明 (1) ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．(2) ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．规律方法a 2＋b 2≥2ab对a 、b ∈R 都成立，a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b ∈R ＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a ＝b .跟踪演练1 还有一种证明ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？ 要证：a ＋b2≥ab (a >0，b >0) ① 只要证：a ＋b ≥________② 要证②，只要证a ＋b －________≥0③ 要证③，只要证 (________－________)2≥0④显然， ④是成立的，当且仅当a ＝b 时， ④的等号成立． 答案 2ab 2abab要点二 均值不等式的直接应用例2 (1)已知a ，b ，c 为任意的实数，求证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 (1)∵ a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＞0，b ＋c ≥2 bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式． 跟踪演练2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y ＞0，yx ＞0，∴x y ＋yx≥2x y ·y x ＝2，即x y ＋yx≥2.当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0，x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0. ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3.即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 要点三 含条件的不等式的证明例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．规律方法 使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立． 跟踪演练3 已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， 求证：ax ＋by ≤1.证明 ∵a 2＋x 2≥2ax ，b 2＋y 2≥2by ， ∴a 2＋x 2＋b 2＋y 2≥2ax ＋2by ，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2ax ＋2by ≤2，∴ax ＋by ≤1.1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B解析 P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ，M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b 2<a ＋b (由a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b 2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12， ∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .一、基础达标1．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a答案 B解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·(a ＋b 2)2＝12.a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )(1x ＋1y )＝14(2＋y x ＋x y )≥14(2＋2)＝1(当且仅当x ＝y ＝2时取等号)． 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵ab ≤(a ＋b 2)2＝1，∴①正确；∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，∴a ＋b ≤2，故②不正确； ∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，∴③正确；∵a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2， ∴④不正确；故正确的为①③，共2个． 故选C.5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1恒成立． ∵x ∈(0,115，＋∞)解析 令f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15.若使不等式恒成立，只需a ≥15即可．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)(1＋1a )(1＋1b)≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2(1a ＋1b )，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.三、探究与创新13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明 ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c ) ＝a c ＋b c ＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋2 ＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac )＋2. ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，c a ＋ac ≥2， ∴(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(c a ＋ac)≥6，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.。

一、选择题1．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx ＝－≤－2 (－x y )(－yx )＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①∵a 、b 为正实数，∴b a 、ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy <0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，(－xy )、(－yx )均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】 D2．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 3D ．2 6 【解析】 2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝4 2.3．(2013·西安高二检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b 2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b【解析】 由a ＝a ·a ，b ＝b ·b ＝b ＋b2，0<a <b 及均值不等式知a ·a <ab <a ＋b 2，故选B. 【答案】 B4．(2013·朝阳高二检测)已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．5【解析】 ∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，取“＝”，即a ＝b ＝1时，原式取得最小值4.【答案】 C5．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 p ＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋y x ＋xy ≥3＋2＝5. 当且仅当x ＝y ＝12时，取“＝”． 【答案】 C 二、填空题6．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝100，则x ＋y 的最小值为________． 【解析】 x ＋y ≥2xy ＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取“＝”．7．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________(用“>”连接)．【解析】 ∵a >1，∴a 2＋1>2a >a ＋1， ∴log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a ＋1)， ∴m >p >n .【答案】 m >p >n8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．【解析】 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60， 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )4x ＋9y 60 ＝160(13＋4x y ＋9y x ) ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.【答案】 6,4 三、解答题9．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c . 【证明】 ∵a 、b 、c >0，∴bc a ＋acb ≥2c ， bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋ab c ≥2a ， ∴2(bc a ＋ac b ＋abc )≥2(a ＋b ＋c )． 又∵a 、b 、c 不全相等，∴bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x |1<x <b }． (1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )＝(2a ＋b )x －9(a －b )x(x ∈A )的最小值．【解】 (1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，a >0，解得a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知a ＝1，b ＝2， ∴A ＝{x |1<x <2}．∴f (x )＝4x ＋9x (1<x <2)， 而x >0时，4x ＋9x ≥24x ·9x ＝2×6＝12.当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时取等号．而x ＝32∈A ，∴f (x )的最小值为12.11．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，判断12与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．【解】 12≤f (x 1＋x 22)． 证明如下：f (x 1)＋f (x 2) ＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg(x 1＋x 22)． ∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1＋x 22≥ x 1·x 2， ∴lg x 1·x 2≤lg(x 1＋x 22)， 即12lg(x 1·x 2)≤lg(x 1＋x 22)， ∴12(lg x 1＋lg x 2)≤lg(x 1＋x 22)． 故12≤f (x 1＋x 22).。

§3.2 均值不等式(一)课时目标 1.理解均值不等式的内容及其证明.2.能利用均值不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab(当且仅当a____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均值，____称为a ，b 的几何平均值．3．均值不等式的常用推论 (1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥____；当x<0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab>0时，b a ＋a b ≥____；当ab<0时，b a ＋ab ≤______.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2 B.ab C.a 2＋b 22 D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a>2)，n ＝2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－(x<0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．m≤n 3．设a ，b ∈R ，且a≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab≤a 2＋b 22 B ．ab<1<a 2＋b 22C ．ab<a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab<14．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 5．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3二、填空题7．若a<1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c.12．a>b>c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c .§3.2 均值不等式(一)答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 均值 a ＋b 2ab 3.(2)2 －2(3)2 －2 (4)≥ 作业设计1．D [方法一 特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b2＝3，ab ＝8，a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b 最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2－1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m>n.] 3．B [∵ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a≠b ，∴ab<1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab<1<a 2＋b 22.] 4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a≠b ，所以a ＋b>2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b)＝a(a －1)＋b(b －1)，又0<a<1,0<b<1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．] 5．B [∵ab<⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b(1－b)－a 2＝ab －a 2＝a(b －a)>0，∴b>a 2＋b 2，∴b最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax≥－x 2－1a≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a≥－2.] 7．大 －1解析 ∵a<1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x>0，y>0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．9．3解析 ∵x>0，y>0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x>0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a>0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x>0，x ＋1x＋3≥2x·1x ＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c)，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c. 12．解 ∵a>b>c ， ∴a －b>0，b －c>0，a －c>0. ∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，∴n≤a －c a －b ＋a －c b －c. ∵a －c ＝(a －b)＋(b －c)，∴n≤－＋－a －b＋－＋－b －c，∴n≤b －c a －b＋a －bb －c＋2. ∵b －c a －b ＋a －b b －c≥2 b －c a －ba －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x ＋a≥a ＋1＋2a·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a·x y ＝yx即可，所以(a)2＋2 a ＋1≥9， 即(a)2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ，1b ＋1c≥2 1bc ＝2a ，1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c)，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c.∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c.。

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。

其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。

第3章 3.2节(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.120B.15C.12D ．2【解析】 由已知得lg(xy )＝2，∴xy ＝100，且x >0，y >0， ∴1x ＋1y≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时取等号． 【答案】 B2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1【解析】 ∵y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．【答案】 C3．已知5x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【解析】 5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时等号成立，故选C. 【答案】 C4．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．2 2 C ．3D ．6 【解析】 z ＝3x ＋33y ≥23x ·32y＝23x ＋3y ＝232＝6；当且仅当3x ＝33y 即x ＝3y ； 亦即x ＝1，y ＝13时等号成立．∴z 的最小值是6. 【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．正数a 、b 满足a ＋b ＋1＝ab ，则3a ＋2b 的最小值是________． 【解析】 ∵a ＋b ＋1＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝2， ∴3a ＋2b ＝5＋3(a －1)＋2(b －1) ≥5＋23×2(a －1)(b －1)＝5＋4 3.【答案】 5＋4 36．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0<x <433，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥4；当且仅当a －2＝1即a ＝3时取等号．∴M >4.又N ＝13·3x (43－3x )≤13·⎝⎛⎭⎫4322＝4，当且仅当x ＝233时取等号，∴N ＝4，∴M >N【答案】 M >N三、解答题(每题10分，共20分)7．对正数x ，y 有x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝1＋2y x ＋x y ＋2＝2y x ＋x y ＋3.≥22y x ·xy＋3＝22＋3. 当且仅当2y x ＝xy 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号．8．某种汽车，购车费用为10万元，每年所花的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】 设汽车使用x 年时，年平均费用最少，由题意知汽车的年维修费构成首项为0.2万元，0.2万元为公差的等差数列，∴使用x 年后的总维修费用为0.2＋0.2x2·x 万元，∴汽车的年平均费用y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3(万元)．当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 最小．即汽车使用10年平均费用最少．9．(10分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，每1 m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m 长造价45元，顶部每1 m 2造价20元，计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？ 【解析】 (1)设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，应用基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0， ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，即S ≤100.故S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100. (2)由(1)求得x ＝15，即正面的铁栅长应设计为15 m ．。

学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。

理解均值不等式的内容及证明。

2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。

3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。

如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。

其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。

知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。

反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。

1．不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )A ．a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝12D ．a ＝0 解析：选B.a ＋1≥2a 可变形为a ·1≤a ＋12等号成立的条件为a ＝1. 2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值为2－4 3 解析：选D.对于A ，当x <0时，不成立；对于B ，若设x 2＋3x 2＋2＝2，则无解；对于C 、D ，y ＝2－3x －4x ≤2－43(x >0)，当且仅当3x ＝4x时，等号成立，所以答案选D. 3．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＞b ＞0时，显然能推出a 2＋b 2＞2ab .即ab ＜a 2＋b 22，但由ab ＜a 2＋b 22，不一定能推出a ＞b ＞0，因为a ，b 可异号．4．下面四个命题：①若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2；②若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2；③若a ，b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2·lg a ·lg b ；④若x ∈R ，则|x ＋4x|≥4，其中正确命题的序号是________．解析：①只有在ab >0时成立；②∵x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0,19．已知均值不等式：a ＋b 2≥ab (a ，b 都是正实数，当且仅当a ＝b 时等号成立)可以推广到n 个正实数的情况，即：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时，取等号)．同理，当a ，b 都是正实数时，(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21a ·1b＝4，可以推导出结论：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥________；如果对于n 个实数同号a 1，a 2，a 3，…，a n (同正或者同负)，那么，根据上述结论，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)的取值范围是________．解析：根据所给结论及类比的方法可得：(a 1＋a 2＋a 3)·(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥33a 1a 2a 3·331a 1a 2a 3＝9，同理，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥16；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2， 当实数a 1，a 2，a 3，…，a n 都是负数时，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n)≥n 2. 答案：9 16 n 2f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 22)． 12．若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 证明：∵a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 均为正数，∴(1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.(当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”)。

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3.2均值不等式
1.若实数b a ,满足1=+b a ，则b a 33+的最小值是【 】
A ．18
B ．32
C ．6
D ．36
2.已知3
10<<x ，则)31(x x -取最大值时x 的值是【 】 A ．31 B ．61 C ．43 D ．3
2 3．若x >0，y >0，且182=+
y x ，则xy 有【 】 A ．最大值64 B ．最小值641 C ．最小值21
D ．最小值64
4.若x>0，y>0，x ＋4y ＝20, 则xy 有最______值为______.
5.当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________.
6．x <0，当x =___________时，y = 4－2x －x
3的最小值_______________. 7．0<x <41，当x =_______________时，y =)41(x x -的最大值_____________.
8．某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为： 第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用_________年后报废最合算.（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：年数最后一年费用第一年费用⨯+2.
参考答案
1. B
2. B
3.D
4.大25
5. 1或-1 大 1
6.
4+
7.1
8
1
4
8. 10
2 / 2。