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课后训练1．若－4＜x ＜1，则()22222x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－12．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ⎧+⎫<<⎨⎬⎩⎭=，{}N x x a =<<，P ＝{x |b ＜x ，则( )．A ．P ＝M ∩NB ．P ＝M ∩NC ．P ＝M ∩ND ．P ＝M ∪N3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A ．12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a4．设a ＞0，b ＞0.是3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．145．设x ＞y ＞z ，且11n x y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与()21=x x g x x ++在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是______． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为______．8．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：111a b c ++>. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，求下列各式的最值：(1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22x y x y+-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值．参考答案1. 答案：D解析：11()=121f x x x ⎡⎤(-)+⎢⎥-⎣⎦，∵－4＜x ＜1， ∴x －1＜0，－(x －1)＞0.∴111()=112(1)2f x x x ⎡⎤--(-)+≤-⋅=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当x －1＝11x -即x ＝0时等号成立，即x ＝0时，f (x )有最大值－1. 2. 答案：A解析：∵2a b b a +<<<， ∴{}M|2a b N x b x x x a x ab ⎧+⎫=<<≥≤⎨⎬⎩⎭或＝{|x b x <≤＝P . 3. 答案：B 解析：∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴12a <，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＞(a ＋b )2－2·2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝12. ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab .∴a 2＋b 2最大．(本题也可取特殊值进行检验)4. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1111()a b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＋＝2+b a a b +≥， 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝12时，等号成立，即11a b +最小值为4. 5. 答案：C解析：原不等式可变形为n ≤(x －z ) 11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，此不等式恒成立的条件是n 不大于右边的最小值．令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a ＞0，b ＞0，且x －z ＝a ＋b .∴(x －z )11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭＝(a ＋b )·11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4.∴n ≤4. 6. 答案：4解析：首先()21=x x g x x ++＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2，再把(1，3)代入即得c ＝4，所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是4. 7. 答案：8解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.12124=(2)=4+n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥4＋4＝8. 当且仅当4,21,0,n m m n m n mn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩即1,412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 8. ∴111++＝bc ＋ac ＋ab ＝22bc acac ab ab bc +++++＞∴111a b c++>. 证法二：∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， =111111111222b c a c a b a b c+++<++=++.∴111ab c++>. 证法三：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ，b ，c 互不相等，且abc ＝1，∴11>2a b+==①同理11b c+② 11c a+③ ①＋②＋③得111a b c ++>. 9. 解：(1)∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，∵xy ＝1(定值)，∴22222()x y x y xyx y x y x y x y+(-)+==-+≥---解方程组1,2,xy x y x y =⎧⎪⎨-=⎪-⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当2x =，2y =时，22x y xy +-取得最小值(2)因为a ，b ∈R ，故2a ，2b ∈(0，＋∞)，则22a b ≥===+.当且仅当a＝b＝52时，取等号．所以a＝b＝52时，2a＋2b取得最小值为。
课后训练
1．函数f (x )＝x ＋
4
x
＋3在(－∞，－2]上( )． A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值
2．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11
a b
+的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．
14
3．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )． A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6
4．若a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( )．
A 1
B 1
C ．2
D ．2
5．在区间[12
，2]上，函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (b ，c ∈R )与21()x x g x x ++=在同一点取得
相同的最小值，那么f (x )在区间[
1
2
，2]上的最大值是( )． A ．
13
4
B ．4
C ．8
D ．5
4
6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
()20
v 千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．
7．设a ≥0，b ≥0，且
a 2＋
2
2
b ＝1，则的最大值为________． 8．已知直线x ＋y ＝1经过第一象限内的点11()P a b
，，则a ＋4b 的最小值是________． 9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)
参考答案
1. 答案：D ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－[(－x )＋(4
x
-)]＋3≤42()()3
x x ---+＝－1，当且仅当4
x x
-=-
，即x ＝－2时，等号成立． ∴f (x )有最大值－1，无最小值，故选D. 2. 答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋
b ＝3⇒a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，
∴122
a b ab +≤
=14ab ≤
.∴1111
41
4
a b a b ab ab ++==≥=.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．
3. 答案：C ∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.
∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥33223323236x y x y +⋅===.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，13
y =时，等号成立．
∴代数式3x ＋27y 有最小值6.
4. 答案：D 因为a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3 所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23 所以4－23a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤1
4
(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)．
当且仅当b ＝c 时，等号成立．
所以(232)2≤(2a ＋b ＋c )2， 则2a ＋b ＋c ≥3 2.
5. 答案：B 211
()13x x g x x x x
++=
=++≥，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[
1
2
，2]上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4. 6. 答案：10 从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间
225(
)
400
400254002520210400400
v v v y v
v v v ⨯=
+=+≥⨯=.当且仅当v ＝80时，等号成立． 7. 3
24
由a 2＋2
2b ＝1，知2a 2＋b 2＝2，即2a 2＋(1＋b 2)＝3.因为2a 2＋(1＋
b 2)
≥
≤
=
当且仅当2a 2＝1＋b 2
，即2a =
，
2
b =
时，等号成立． 8. 答案：9
9. 答案：解：(1)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋64
x
)≥240
× 3 840，
当且仅当64
x x
=，即x ＝8时，等号成立．
故每人最少应交3840
8048
=(元)．
(2)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋32
x
)≥240
× 2 715，
当且仅当32
x x
=，即x ≈5.66时，等号成立．
但0＜x ≤48，x ∈Z ，
当x 1＝5时，y 1＝240×(5＋
32
5)＝2 736； 当x 2＝6时，y 2＝240×(6＋32
6
)＝2 720.
∵y 1＞y 2，
∴当x ＝6时，y 有最小值，即y min ＝2 720. 故每人最少应交
2720
56.6748
≈(元)． 10. 答案：解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得
2
222142,2
1,4
a h a h a h ⎧+⋅'=⎪⎪⎨
⎪+='⎪⎩消去h ′，
解得a =
a ＞0)．
(2)由22
133(1)
h
V a h h ==+(h ＞0)， 得1
13()
V h h =
+.
而12h h +
≥=. 所以16V ≤，当且仅当1
h h
=，即h ＝1时，等号成立．
故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为1
6
立方米．。
