人教版2020高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率作业 苏教版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D )(A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0),所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s)(C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s)解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A.3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )(A)与x0,h都有关(B)仅与x0有关,而与h无关(C)仅与h有关,而与x0无关(D)与x0,h均无关解析:因为f′(x0)=,所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A )(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1(C)y=x+1 (D)y=-x-1解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D )(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.解析:===-1.答案:-17.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是.解析:===-3+=-3f′(3)+=-3f′(3)+2=8.答案:88.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.解:(1)y′===(2x+Δx+1)=2x+1.y′x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).所以所求三角形的面积S=××-=.【能力提升】9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )(A)[-1,-] (B)[-1,0](C)[0,1] (D)[,1]解析:设点P(x0,y0),则f′(x0)====(2x0+2+Δx)=2x0+2.结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.故选A.10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列{}的前n项和为S n,则S2 018的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列{}的前n项和为S n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A.11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y′==2x0=1,得x0=,所以P(,),故点P到直线y=x-2的最小距离d==.答案:12.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点为P(1,1).因为y′====[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,所以y′=3.所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).【探究创新】13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为.解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9. 即f′(x0)=3+2ax0-9.所以f′(x0)=3(x0+)2-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.答案:-3。

3．1.1 函数的平均变化率3．1.2 瞬时速度与导数1．理解函数在某点附近的平均变化率．(重点) 2．会求函数在某点处的导数．(难点)3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P 75～P 76例1以上，完成下列问题． 函数的变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个增量，Δx 可以为零．( ) (2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(3)ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 导数的概念阅读教材P 78～P 81例以上部分，完成下列问题． 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]平均变化率(1)00________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________. 【导学号：25650096】【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝[3x 0＋Δx2＋2]－3x 20＋2Δx＝6x 0·Δx ＋3Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.【答案】 (1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3求平均变化率的主要步骤1．计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. 3．得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.[再练一题]1．求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【解】 在x ＝1附近的平均变化率为：k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为：k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为：k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3t －32，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．【精彩点拨】 根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝3Δt2－12ΔtΔt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．求物体瞬时速度的步骤1．设非匀速直线运动的规律s ＝s (t )．2．求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． 3．求平均速率v ＝ΔsΔt.4．计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．[再练一题]2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度．【解】 v ＝lim Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝lim Δt →02×2＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s)．[探究共研型]函数在某点处的导数探究 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？ 【提示】 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数；(2)求函数y ＝x 2＋ax ＋b 在x 处(a ，b 为常数)的导数．【精彩点拨】 本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解． 【自主解答】 (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12.(2)Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b )＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2， Δy Δx＝2x ＋a ·Δx ＋Δx2Δx＝(2x ＋a )＋Δx ，lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ，∴f ′(x )＝2x ＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致lim Δx →0ΔyΔx不存在；(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．[再练一题]3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数. 【导学号：25650097】【解】 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[构建·体系]1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，当x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x0＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→02Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【导学号：25650098】【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。

3.1.1 平均变化率[基础达标]1. 如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．解析：∵A (1,3)，B (3,1)，∴Δx ＝3－1＝2，Δy ＝1－3＝－2.∴平均变化率Δy Δx ＝－22＝－1.答案：－12．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为________；当Δt ＝0.1时，相应的平均速度为________．解析：∵Δs ＝4－2(1＋Δt )2－(4－2×12)＝－2[2Δt ＋(Δt )2]，∴平均速度为ΔsΔt ＝－2(2＋Δt )＝－4－2Δt .当Δt ＝0.1时，ΔsΔt＝－4－2×0.1＝－4.2.答案：－4－2Δt －4.23．函数f (x )＝5x ＋4，①在区间[0,1]上的平均变化率是________；②在任一区间[a ，b ](a <b )上的平均变化率是________．解析：①Δx ＝1－0＝1，Δy ＝f (1)－f (0)＝9－4＝5. ∴ΔyΔx＝5. ②Δx ＝b －a ，Δy ＝f (b )－f (a )＝(5b ＋4)－(5a ＋4)＝5(b －a )， ∴Δy Δx ＝5b －a b －a ＝5. 答案：5 54．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________．解析：①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．答案：③5．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________.解析：Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝2，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)． 答案：56．甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示，________跑得快．解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小． 答案：乙7．一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数．试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率．解：铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率．铁板面积s的增量Δs＝[10(1＋at)]2－102＝100(a2t2＋2at)．则当温度从0 ℃变化到t℃这一过程中，铁板面积对温度的平均膨胀率为ΔsΔt＝100a 2t 2＋2att－0＝100a2t ＋200a.8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为28π3，求m的值．解：ΔV＝4π3m3－4π3×13＝4π3(m3－1)，∴ΔVΔR＝4π3m3－1m－1＝28π3.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)．[能力提升]1．函数y＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)在x1到x1＋Δx上的平均变化率是________．解析：Δy＝3×(3＋0.5)2－2(3＋0.5)－8－(3×32－2×3－8)＝8.75.∴平均变化率为ΔyΔx＝8.750.5＝17.5.答案：17.52．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．解析：由图象可知W1(0)<W2(0)，W1(t0)＝W2(t0)，∴0>W1t0－W10t0>W2t0－W20t0，从而|W2t0－W20t0|>|W1t0－W10t0|.∴乙在[0，t0]上的平均变化率绝对值较大．因此乙厂治污效果较好．答案：乙3．求函数y＝sin x在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．解：在0到π6之间的平均变化率为sinπ6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sinπ2－sinπ3π2－π3＝32－3π.∵2－3<1，∴3π>32－3π.∴函数y＝sin x在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且在0到π6之间的平均变化率较大．4．(创新拓展)假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：L＝L20－L1020－10＝87010＝87(元)．。

3.1.1 平均变化率课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx 表示________，即__________，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“__________”，可用__________代替x 2；类似地，Δy ＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝2－1x 2－x 1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))、(x 2，f(x 2))的割线的________．一、填空题 1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x 0，x 1]上的平均变化率； ②在x 0处的变化率； ③在x 1处的变化率； ④以上都不对．2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的增量Δy ＝______________.3．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________.4．某物体做运动规律是s ＝s(t)，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．6．已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．7．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．＝0＋－0Δt.．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x ＝2－1x 2－x 1.第3章 导数及其应用 §3.1 导数的概念 3．1.1 平均变化率知识梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx ＝4＋2Δx . 4.s t ＋Δt －s t Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s t ＋Δt －s tΔt.5．－1解析 Δy Δx ＝f －f 3－1＝1－32＝－1.6．0.41 7．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由ΔsΔt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s －s0.1＝4.1.9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f －－f －－－－＝－2－2×－－－2－－2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f －f 4－2＝2－－2－2＝4.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝Δx 3＋Δx 2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝Δy Δx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f a －f a －0＝a 2＋2aa＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g －g 3－2＝－－－1＝2.∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。

3.1.1 平均变化率学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点) 2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]平均变化率 1．定义：一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[基础自测]1．判断正误：(1)f (x )＝x 2，f (x )在[－1,1]上的平均变化率为0.( )(2)f (x )＝x 2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f (x )在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快．( )(3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢．( ) 【解析】 (1)√.f (x )在[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝1－12＝0. (2)×.f (x )＝x 2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的． (3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．f (x )＝1x2在[1,2]上的平均变化率为________．【解析】 函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为14－12－1＝－34.【答案】 －34[合 作 探 究·攻 重 难]变化率的概念及意义的应用2012年冬至门统计，该市小麦受旱面积如图3­1­1所示，据图回答：【导学号：95902174】图3­1­1(1)2012年11月到2012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？(3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？ [思路探究] (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析． 【自主解答】 (1)由图形可知，在2012年11月～2012年12月期间，小麦受旱面积变化不大．(2)由图形可知，在2013.1～2013.2间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快． (3)从2012.11～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为y B －y A4，从2013.1～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为y B －y C1＝y B －y C ，显然y B －y C ＞y B －y A4，所以，从2013.1～2013.2期间小麦受旱面积平均变化率大．[规律方法]1．若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢．2．利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义．[跟踪训练]1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图如图3­1­2，同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图3­1­2【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15－1070－50＝14，∴h BC ＞h AB .∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多.求函数的平均变化率已知函数f (x )＝1x2，(1)求f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(x 0≠0)； (2)求f (x )在2到2.1之间的平均变化率.【导学号：95902175】[思路探究] (1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x 0≠0”的条件．在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论．因此，本例只需直接套用公式就可以了；(2)利用(1)的结论计算．【自主解答】 (1)f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x＝1x 0＋Δx2－1x 2Δx＝－Δx 2x 0＋Δx x 0＋Δx 2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx x 0＋Δx 2x 20.(2)把x 0＝2，Δx ＝2.1－2＝0.1代入(1)中得到的结论可得：－2×2＋0.12＋0.12×22＝－0.232.[规律方法]1．求平均变化率的步骤：(1)先求x 2－x 1，再计算f (x 2)－f (x 1)； (2)由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx.2．注意事项：计算时要对f (x 2)－f (x 1)进行合理的变形，以便化简． [跟踪训练]2．求函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝2附近的平均变化率． 【解】 设自变量x 在x ＝2附近的变化量为Δx ， 则平均变化率为[2＋Δx2－22＋Δx ＋1]－22－4＋1Δx ＝Δx 2＋2ΔxΔx＝Δx ＋2.平均变化率的应用[探究问题]1．平均变化率的定义式为f x 2－f x 1x 2－x 1，它刻画了函数f (x )在区间[x 1，x 2]内变化的快慢，f x 0＋Δx －f x 0－Δx2Δx表示的是函数f (x )在哪个区间上的平均变化率？【提示】 [x 0－Δx ，x 0＋Δx ]2．平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？【提示】 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f (x )＝x 2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f (x )的图象在[－2,2]上先减后增．3．平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？ 【提示】 平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB 的斜率． 平均变化率的物理意义是变速运动的物体s ＝s (t )在某一时间段内的平均速度．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从25 m/s到0 m/s 花了5 s ，乙从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．[思路探究] 计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能．【自主解答】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．[规律方法] 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.,平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.[跟踪训练]3．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率； (2)求高度h 在1≤t ≤2这段时间内的平均变化率.【导学号：95902176】【解】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h的平均变化率为：h 0.5－h 00.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h 2－h 12－1＝－8.2(m/s)．[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y ＝x 2＋ax ＋b ，当自变量由0变化到1时，函数值的变化量为________． 【解析】 函数值的变化量为f (0＋1)－f (0)＝(0＋1)2＋a (0＋1)＋b －02－a ·0－b ＝1＋a .【答案】 1＋a2．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及相邻的一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________.【导学号：95902177】【解析】2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1【答案】 2.13．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是________(m/s)．【解析】 v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1(m/s)．【答案】 4.1 4．函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的平均变化率是________．【解析】 函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的平均变化率是sin π－sinπ2π－π2＝－1π2＝－2π. 【答案】 －2π5．物体的运动方程是s ＝t ＋1(s 的单位：m ；t 的单位：s)，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度.【导学号：95902178】【解】物体在这段时间内的平均速度为1＋Δt＋1－1＋11＋Δt－1＝2＋Δt－22＋Δt＋2Δt2＋Δt＋2＝12＋Δt＋2，故物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为12＋Δt＋ 2m/s.。

3．1.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义， 令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 则当Δx ≠0，比值f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．作用：刻画函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢．4．几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．1．在平均变化率的定义中，自变量x 的增量Δx ＞0.( × )2．对于函数f (x )在区间[x 1，x 2]内的平均变化率也可以表示为f x 2－f x 1x 2－x 1.( √ )3.Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 是f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率，也可以说是f (x )在x ＝x 0处的变化率．( × )题型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点 题点解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133， k 3＝6＋13＝193，由于k 1<k 2<k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率答案Δx解析ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6Δx＝Δx.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率ΔyΔx.∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝ΔyΔx＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思感悟函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为________． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． (2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5， 故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k ＝－53＋22.5－2＝23.题型二 求物体的平均速度例3 一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，求该质点在t ＝1,2,3附近，Δt ＝13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2，Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt ，将t 0＝1,2,3，Δt ＝13分别代入上式得，当t 0＝1时，平均速度Δs Δt ＝73；当t 0＝2时，平均速度Δs Δt ＝133；当t 0＝3时，平均速度Δs Δt ＝193.由上面的计算知，t ＝3附近的平均速度最大． 引申探究若该质点在2到2＋Δt 之间的平均速度不大于5，则Δt (Δt ＞0)的取值范围是什么？解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2.Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt .当t 0＝2时，由题意，得4＋Δt ≤5，得Δt ≤1. 又因为Δt ＞0，故Δt 的取值范围是(0,1]．反思感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．跟踪训练3 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01.解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝1020＋Δt ＋520＋Δt 2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5Δt 2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)． (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2 答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.2．如图，函数y ＝f (x )在1到3之间的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B解析Δy Δx ＝1－33－1＝－1. 3．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx ,6＋Δy )，则ΔyΔx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx －4C ．Δx ＋4D ．4＋Δx －1Δx答案 C解析 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－1m －1＝28π3. ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．一、选择题1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 答案 B 解析v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂的治污效果较好．3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x答案 B解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .4．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C5．函数y ＝f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2答案 C 解析Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝1＋Δx 2＋1＋Δx －12＋1Δx＝Δx ＋3.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定答案 D解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx＝2x 0－Δx .又因为Δx 可正可负且不为0， 所以k 1，k 2的大小关系不确定． 二、填空题7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)答案 v 1<v 2<v 3解析v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC .8．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 答案 5解析函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是ΔyΔx＝f t－f－2t－－2＝t2－t－－22－2t＋2＝2，即t2－t－6＝2t＋4，所以t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.9．在曲线y＝2x2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则ΔyΔx＝________.答案2Δx＋4解析ΔyΔx＝21＋Δx2＋1－3Δx＝2Δx＋4.10．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为________．答案2π＋πΔr解析当r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为ΔSΔr＝π1＋Δr2－πΔr＝π＋2π·Δr＋Δr2π－πΔr＝2π＋πΔr.三、解答题11．过曲线y＝f(x)＝x3＋2x上两点P(1,3)和Q(1＋Δx，3＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.2时割线的斜率．解由条件可知，当Δx＝0.2时，k PQ＝3＋Δy－31＋Δx－1＝ΔyΔx＝1＋Δx3＋21＋Δx－13＋2×1Δx＝(Δx)2＋3Δx＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故当Δx＝0.2时，割线的斜率为5.64.12．若函数f(x)＝－2x2＋x在[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝－21＋Δx2＋1＋Δx －－2＋1Δx＝－3－2Δx∴由－3－2Δx ≤－1，得Δx ≥－1.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为s (t )＝v 0t －12gt 2(g 为物体的重力加速度)．(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)求物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度． 解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt . 因为Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2，所以v ＝ΔsΔt ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g Δt2Δt＝v 0－gt 0－12g Δt .(2)当t 0＝10s ，Δt ＝0.4s 时，则物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度 v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g .14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．精品--精品答案 0.25解析 第二年婴儿体重的平均变化率为 14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 15．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝－2＋Δx 2＋2＋Δx －－4＋2Δx ＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).。