点和圆的位置关系导学案

点和圆、直线和圆的位置关系点和圆的位置关系【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法一、情境导入，初步认识射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同心圆组成的，射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来研究这一问题，引出课题.【教学说明】随着现在经济科技的发展，奥运会越来越被人们所重视.本节通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法，使学生在开拓知识视野的同时，感知点与圆的几种位置关系，体会数学在生活中应用.二、思考探究，获取新知1.点与圆的位置关系我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.学生交流，回答问题.教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.议一议如下图，⊙O的半径为4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么，点A、B、C与⊙O有怎样的位置关系？解：∵OB=4cm，∴OB=r，∴点B在⊙O上.∵OA=2cm＜4cm，∴点A在⊙O内.∵OC=5cm＞4cm，∴点C在⊙O外.【教学说明】由前面所学的“圆上的点到圆心的距离都等于半径”，反之“到圆心的距离都等于半径的点都在圆上”可知点B一定在⊙O上.然后引导学生看图形，初步体会并认识到点与圆的位置关系可以转化为数量关系.为下面得出结论作铺垫.【归纳结论】点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d.则有：点P在⊙O外d＞r点P在⊙O上d=r点P在⊙O内d＜r注：①“”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.②要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.2.圆的确定探究（1）如图（1），作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图（2），作经过已知点A、B的圆，这样的圆能作多少个？它们的圆心分布有什么特点？学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.解：（1）过已知点A画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点A，既不能确定圆心，也不能确定半径.）（2）过已知的两点A、B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.（注：仅过点A、B，同样不能确定圆心，也不能确定半径.）思考在平面上有不共线的三点A、B、C，过这三个点能画多少个圆？圆心在哪里？解：经过A、B两点的圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A、C两点的圆，圆心在线段AC的垂直平分线上，那么这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA=OB=OC，于是以O为圆心，以OA为半径的圆，必过B、C两点，所以过不在同一直线上的A、B、C三点有且仅有一个圆.【归纳结论】不在同一直线上的三点确定一个圆.由此结论要延伸到：经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心——三角形三边垂直平分线的交点.它到三角形三个顶点的距离相等.【教学说明】这段中心问题是过已知点作圆，在帮助学生分析这一问题时，紧紧抓住圆心和半径来研究.在三点共圆的问题上，一定要强调“不共线的三点”.这里学生实际动手作图的内容很多，可以充分调动学生学习的主动性和积极性，通过学生的动手操作和动脑思考，增强学生对知识的理解和领悟.议一议如果A、B、C三点在同一直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什么？解：如图，若过同一直线l上的三点A、B、C能作一个圆，圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P 是直线l1与直线l2的交点，由此可得:过直线l外一点P作直线l的垂线有两条l1和l2，这与以前学的“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不能作圆.【教学说明】所有学生都会看出这问题一定不能作圆，但如何证明呢?这是一个事实，直接证明有些困难，于是引入了反证法.反证法是间接证明问题的一种方法.它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，从矛盾断定所作的假设不成立，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法.初中阶段接触的较为简单.三、典例精析，掌握新知例1⊙O的半径为10cm，根据点P到圆心的距离：（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm，判断点P与⊙O的位置关系？并说明理由.解：由题意可知：r=10cm.(1)d=8cm＜10cm，d＜r点P在⊙O内；(2)d=10cm，d=r点P在⊙O上；(3)d=13cm＞10cm，d＞r点P在⊙O外.例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施，古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？解：由题设可知：AB=90m，AC=120m，∠BAC=90°，由勾股定理可得：2222+=+=150（m）.90120AB AC又∵D是BC的中点，∴AD=1/2BC=75（m）.∴民房B，变电设施C，古建筑D到爆破中心的距离分别为：AB=90m，AC=120m，AD=75m.要使B、C、D三点不受到破坏，即B、C、D三点都在⊙A 外，∴⊙A的半径要小于75m.即：爆破影响的半径控制在小于75m的范围，民房、变电设施，古建筑才能不遭破坏.【教学说明】例1可让学生独立思考，尝试写出过程；教师点评，并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用，教师引导学生分析问题，使学生学会将实际问题转化为数学问题，从而认识到问题的本质，也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的.四、运用新知，深化理解1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D、E分别为AB、AC的中点，现以点B为圆心，BC的长为半径作⊙B，试问A、C、D、E四点分别与⊙B的位置关系？2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径.3.如图，有一个三角形鱼塘，在它的3个顶点A、B、C三处均有一棵大白杨树，现设想把三角形鱼塘扩建成圆形养鱼场，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计画出示意图；若不能，说明理由.【教学说明】上述三道题，教师可先给出提示，再让学生自主探究，或分组讨论，最后加以评析.题1是有关点和圆的位置关系，意在帮助学生加深理解新知，题2是外接圆的知识，题3是确定圆的知识的实际应用.【答案】1.解:连接EB.∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5.∵E、D分别为AC、AB的中点，∴DB=1/2AB=2.5，EC=1/2AC=2，2213+=EC BC∵AB=5＞3，∴点A 在⊙B 外；∵CB=3，∴点C 在⊙B 上；∵DB=2.5＜3，∴点D 在⊙B 内；∵EB=13 ＞3，∴点E 在⊙B 外.2.解:∵AB=AC ，∴ AB AC =，即A 是 BC 的中点.故连接OB ，OA ，则OA ⊥BC ，设垂足为D.在Rt △ABD 中，AD=22221312AB BD -=-=5.设⊙O 的半径为r ，则在Rt △OBD 中，r 2=(r-5)2+122，解得r=16.9.3.只要作△ABC 的外接圆即可.五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .【教学说明】学生自主发言，教师进行点评和补充，要向学生强调反证法和数形结合的数学思想.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、新课导入1.导入课题：问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？这个问题与我们今天要学习的内容密切相关.（板书课题）2.学习目标：（1）知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.（3）知道三角形外心的概念及其性质.（4）了解反证法的证明思想及一般步骤.3.学习重、难点：重点：点和圆的位置关系；三角形的外心及其性质.难点：反证法.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第92页的内容.（2）自学时间：4分钟.（3）自学方法：阅读理解，观察归纳.（4）自学参考提纲：①设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则②教材中“点P在圆上d=r”是什么意思？点P在圆上可以推出d=r，反过来d=r也可以推出点P在圆上.③圆可以看成是到圆心距离等于定长（半径）的点的集合；圆的内部可以看成是到圆心距离小于定长（半径）的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心距离大于定长（半径）的点的集合.④体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m,他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？小明投出的铅球在④区域，小丽投出的铅球落在③区域.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学困生的答题情况.②差异指导：主要指导学困生.（2）生助生：生生互动，交流研讨，改正.4.强化：（1）点和圆的三种位置关系及其判定方法.（2）设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP=3，则点P在圆外.（3）画出由所有到已知点O的距离大于或等于1cm并且小于或等于2cm的点组成的图形.解：如图所示.1.自学指导：（1）自学内容：教材第93页“探究”至第94页的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：阅读，思考，动手操作，推理归纳.（4）自学参考提纲：①过一个已知点A作圆，这样的圆能作无数个,在图(1)中作图探究.②过两个已知点A、B作圆，这样的圆能作无数个，满足条件的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上,在图(2)中作图探究.③过不在同一直线上的三个已知点A、B、C作圆,在图(3)中作图探究.a.因为要作的圆过点A和点B，所以圆心在AB的垂直平分线上.b.因为要作的圆过点B和点C，所以圆心在BC的垂直平分线上.所以经过点A、B、C的圆的圆心在AB、BC垂直平分线的交点上，这样的圆能作1个.c.如右图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2 次就可以找到圆形工件的圆心．d.经过四个点是不是一定能作圆？不一定.④由③可得：不在同一直线上的三点确定一个圆 .⑤三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.⑥假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫反证法，反证法是一种间接证法(填“直接证法”或“间接证法”).⑦用反证法说明经过同一直线上的三个点不能作出一个圆的道理.假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l，l2⊥l,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：(1）师助生：①明了学情：看学生能否在提纲的指引下顺利画圆.②差异指导：根据学情确定指导方案.(2)生助生：小组内相互交流、研讨、帮助画图.4.强化：(1）不在同一直线上的三点作一个圆的作法.(2）三角形的外心及其性质.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、动手情况、小组交流协作情况以及存在的问题等.（2）指标评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手操作的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(20分)判断下列说法是否正确：（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. （√）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. （×）（3）经过三点一定可以确定一个圆. （×）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. （√）2.(10分)⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在圆内；点B在圆上；点C在圆外．3.(10分)若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（B）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4.(30分)如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，它们的外心位置有什么特点？解：如图所示：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形的外接圆的圆心在三角形斜边中点处，锐角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.二、综合应用（20分）5.(20分)爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？为什么？解：∵导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，导火索的长度是18cm.∴导火索燃烧完需18÷0.9=20（s）.又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，则导火索燃烧完撤离的最大距离为6.5×20=130（m）.∵130＞120，∴安全.三、拓展延伸（10分）6.(10分)某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；（2）连接AB、BC；（3）分别作出AB、BC的垂直平分线；（4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.。

24.2.1点与圆的位置关系导学案学习目标1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念4.了解反证法的证明思想解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.新知探究下图中点和圆的位置关系有哪几种？设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d 与r有怎样的数量关系.反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？问题2：如何过两点A，B作一个圆？过两点可以作多少个圆？问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？归纳：定理：_______________的______个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的_________________，叫做这个三角形的______.画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．警示误区假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.典例精析1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．不能确定2.下列说法中，正确的是()A．三点确定一个圆B．圆有且只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．三角形有且只有一个外接圆3. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径..课堂小结谈谈本节课的收获和感想作业布置见精准作业单。

3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧， 小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？ 为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。

《点和圆的位置关系》教案设计：掌握判定圆是否相离的两种方法。

一、教学目标1.掌握通过计算距离来判断点和圆是否相离的方法。

2.掌握直接计算圆心到点的距离与圆半径之差的方法。

3.能够熟练地应用所学的方法解决实际生活中的问题。

二、教学重点和难点1.重点：掌握两种判定圆是否相离的方法。

2.难点：对两种方法的理解和应用。

三、教学过程1.导入通过实际生活中的案例引入点和圆的位置关系的概念。

如：在修建路灯时，要考虑路灯的位置，使其不会遮挡到行人和车辆行驶。

此时，需要考虑路灯的位置与行人和车辆的距离，而路灯的位置可以用点表示，行人和车辆则可以用圆表示。

2.讲解(1) 计算距离法通过计算点到圆心的距离与圆半径之和的大小关系来判断点是否在圆内。

如果点到圆心的距离小于等于圆半径，那么点就在圆内部；反之，如果点到圆心的距离大于圆半径，那么点就在圆外部。

(2) 圆心半径法通过直接计算圆心到点的距离与圆半径之差的大小关系来判断点是否在圆内。

如果圆心到点的距离小于等于圆半径，那么点就在圆内部；反之，如果圆心到点的距离大于圆半径，那么点就在圆外部。

3.示范讲师通过实例演示，深入浅出地讲解两种方法的应用，让学生更好地理解两种方法适用于不同的情况。

4.练习(1)自主练习让学生应用所学知识在课堂上完成一些练习题，以巩固所学内容。

(2)小组讨论让学生分成小组，自行设计3个问题并解答，以加深对所学知识的理解和应用。

5.总结讲师通过回顾本节课所学的内容，让学生全面梳理所学知识的思路，提高学生对点和圆位置关系的认知和理解能力。

四、教学方法结合教材、实例、练习和小组讨论等多种教学方法，提高教学效率；并注重教师与学生之间的互动交流，促进学生的学习兴趣和深度思考。

五、教学评价1.以小组讨论为主的互动方式，形成了良好的课堂氛围和参与度，增强了学生的学习信心。

2.讲师采用实际案例的方式导入课题，让学生能够更快地理解并接受所学知识。

3.通过情境练习，学生深入理解和掌握了两种判定圆是否相离的方法，达到了预期目的。

2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程【学习目标】1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.◆知识点一圆的标准方程1.圆的标准方程圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是.和分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.2.几种常见的特殊的圆的方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r>0)过原点(x-a)2+(y-b)2= a2+b2(a2+b2≠0)圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圆与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.( )(4)已知A为定点,点M满足集合P={M||MA|=r(r>0)},则点M的轨迹为圆.( )◆知识点二点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法位置关系判断方法几何法代数法点M在圆上|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆外|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆内|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2◆探究点一求圆的标准方程例1根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);(2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;(3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点;(4)圆心在直线l:2x+3y-8=0上,且经过点P(1,0)和点Q(3,2).例2已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=9C.x2+(y+1)2=9D.x2+y2=9变式1圆心在直线y=x+3上,且过点A(2,4),B(1,-3)的圆的标准方程为.变式2已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.[素养小结]求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.拓展已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,求圆M的标准方程.◆探究点二判断点与圆的位置关系例3 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.(3)已知点M(5√a+1,√a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围.。

2.练习。

⊙O的半径6cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为5cm、6cm、8cm，点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在。

3.已知⊙O的半径为6,点P不在圆内,则线段OP 的长度的取值范围是
活动五。

在下图中，作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，从中发现什么规律？
1、判断
(1)、经过三点一定可以作圆。

（）
(2)、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。

（）
(3)、三角形的外心到三边的距离相等。

（）
(4)、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。

（）
2，巩固练习：
1、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的（）。

2、已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足（）
3、已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的（）
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4 cm，以点A为圆心，以3 cm为半径作圆，请判断：
（1）C点与⊙A的位置关系；
（2）B点与⊙A的位置关系；
（3）AB的中点D与⊙A的位置关系．。

《点和圆的位置关系》教案设计：如何快速判定点在圆内、圆外、圆上？一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解点与圆的位置关系，并掌握如何快速判断点在圆内、圆外、圆上。

2. 学生能够运用点与圆的位置关系解决实际问题。

过程与方法：1. 学生通过观察、操作、思考，培养直观思维和逻辑思维能力。

2. 学生通过小组合作、讨论，提高团队协作和沟通能力。

情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

2. 学生培养克服困难、解决问题的意志品质。

二、教学重点与难点：重点：1. 学生掌握点与圆的位置关系的判定。

2. 学生能够运用点与圆的位置关系解决实际问题。

难点：1. 学生灵活运用点与圆的位置关系解决复杂问题。

三、教学准备：教师准备PPT，包括点与圆的位置关系示意图、实例分析等。

学生准备笔记本、文具。

四、教学过程：1. 导入新课：教师通过展示生活中的实例，如篮球场上的投篮、靶心等，引导学生观察点与圆的位置关系，激发学生学习兴趣。

2. 自主探究：3. 讲解与示范：教师根据学生的讨论结果，讲解点与圆的位置关系判定方法，并通过PPT展示实例分析，让学生清晰理解。

4. 练习与反馈：教师布置练习题，学生独立完成，教师选取部分学生的作业进行讲评，及时反馈纠正学生的错误。

5. 拓展与应用：教师提出实际问题，如“在篮球场上，如何快速判断投篮是否命中？”学生运用点与圆的位置关系解决问题，培养学生的应用能力。

五、课后作业：2. 请学生运用点与圆的位置关系解决一个生活中的实际问题，并写在日记本上。

六、教学评估：1. 课堂问答：教师通过提问，了解学生对点与圆位置关系的理解程度。

2. 练习反馈：教师通过练习题的解答，评估学生对知识点的掌握情况。

3. 课后作业：教师通过学生完成的课后作业，了解学生在实际问题中的应用能力和思考过程。

七、教学反思：教师在课后对自己的教学过程进行反思，包括教学内容的设计、教学方法的选择、学生的反馈等，以便于调整教学策略，提高教学效果。

班级：姓名：日期：圆的标准方程导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程自主预习：1.本节所处教材的第页.2.复习——①圆的定义：3.预习——圆的标准方程：点与圆的位置关系：新课导学学习探究（一）新知导入《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的标准方程知识点1 圆的标准方程【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．(2)圆的标准方程：①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)知识点2 点与圆的位置关系【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2什么关系？2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？◆点与圆的位置关系圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|P A|.【做一做1】点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都不对【做一做2】(教材P83例1改编) 已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．（三）典型例题1.求圆的标准方程例1.求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；(2)经过A (3,1)，B (－1,3)且圆心在直线3x －y －2＝0上．【类题通法】圆的标准方程的两种求法(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(xa )2+(yb )2=r 2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．2.点与圆的位置关系的应用例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5,1)，D(6，－3)，E(－5,1)与圆的位置关系．【变式探究】在本例的条件下，若点A(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是_________．【类题通法】点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r 2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1<a<1B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±13.最值问题例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值.（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【类题通法】与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．【巩固练习3】已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么x2＋y2的最小值为()A．5 B．8 C．13 D．18（四）操作演练素养提升1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，22.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．在圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外3.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2 B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝24.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4课堂小结1.通过这节课，你学到了什么知识？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你对本节导学案的建议：课后作业完成教材：第85页练习第1，2，3,4题第88页习题2.4 第1,2,3,4,6题。

24.2、1 点和圆的位置关系学习目标1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．一、基础知识1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．二、当堂检测1、一个三角形能画 个外接圆，一个圆中有 个内接三角形。

2．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 .4.Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为 。

6.已知AB=7cm,则过点A ，B ，且半径为3cm 的圆有（ ）A 0个B 1个C 2个D 无数个7．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．8 下列说法正确的是( )A ．三点确定一个圆B ．任意的一个三角形一定有一个外接圆C ．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D ．任意一个圆有且只有一个内接三角形8．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A 、B 、C •为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址． A C。