高中数学第2章数列2.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件新人教版必修54

S偶 120 1 【解析】 (1)错误.因为由等比数列前 n 项和的性质 ＝q，得 q＝240＝2. S奇 a11－qn a1 n a1 (2)错误.因为由 Sn＝ ＝－ q＋ 1－q 1－q 1－q 知在 Sn＝a· 3
n－1
a n a －1＝3· 3 －1 中3＝1，故 a＝3.
(3)正确.因为 a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)， 所以 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等比数列. (4)错误.因为在等比数列中 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 成等比数列，故 S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列.
2 x－2 ＝214－x， 2 14 － x ＝x－2y－14，
所以
x＝6， x＝－4， 或 (舍去)， y＝30 y＝－40
所以 S4n＝30.
【答案】 (1)2
(2)30
分组求和法 XXX
已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2 1 －a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为 1，公比为3的等比数列. (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2n－1 1 3 5 所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ， 2n－3 2n－1 1 1 3 2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 . 两式相减，得 2 2n－1 1 1 2 2 T n＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n－ n＋1 2 2 2 2 2 2 2n－1 3 1 ＝2－ n－1－ n＋1 ， 2 2 2n＋3 所以 Tn＝3－ 2n .
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1) 求数列{an}的通项公式； b1 b2 1 bn (2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N＋，求{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 2
【精彩点拨】 (1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想求 a1，d.
________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？
【提示】
若 {an}为等差数列，则 S2，S4－S2，S6－S4 也为等差数列，即
1,2，S6－3 成等差数列，所以 S6－3＋1＝4，则 S6＝6； 若{an}为等比数列，则 1,2，S6－3 成等比数列，所以 S6－3＝4，则 S6＝7.
[再练一题] 1.(1)等比数列{an}共 2n 项， 其和为－240， 且奇数项的和比偶数项的和大 80， 则公比 q＝________. (2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2， S3n＝14， 则 S4 n ＝________. 【导学号：18082037】
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…an 3 1 3 12 3 1n ＝21－3＋21－3 ＋…＋21－3 3 3 1n 3 11n－1 ＝2n－41－3 ＝4(2n－1)＋43 .
【提示】
a1＋2d＝－6， 法一：若{an}为等差数列，则 a1＋5d＝6，
解得 a1＝－14，d
＝4，所以 an＝4n－18，
2 a1q ＝－6， 若{an}为等比数列， 则 5 a1q ＝6，
解得 a1＝－6， q＝－1， 所以 an＝－6· (－
1)n－1＝6(－1)n.
b1 b2 1 bn 1.本题对于a ＋a ＋…＋a ＝1－2n式的处理运用了和式的思想，这也是求数 n 1 2 列通项公式的基本方法. 2.求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件. (2)分清是 an 与 an＋1 的关系，还是 an 与 Sn 的关系. (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意 an＝Sn－Sn－1(n≥2，n 为正整数) 在 an 与 Sn 的关系中的应用. (4)整理求解.
【解析】
∴
(1)根据题意得
S奇＋S偶＝－240， S奇－S偶＝80，
S奇＝－80， S偶 －160 ∴q＝ ＝ ＝2. S － 80 奇 S偶＝－160，

(2) 设 S2n ＝ x ， S4n ＝ y ， 则 2 ， x － 2,14 － x ， y － 14 成 等 比 数 列 ， 所 以
阶 段 一
阶 段 三
第 2 课时
阶 段 二
等比数列前 n 项和的性质及应用
学 业 分 层 测 评
1.掌握等比数列前 n 项和的性质的应用.重点 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.重点 3.能用分组转化方法求数列的和.重点、易错点
[基础· 初探]
教材整理 等比数列前 n 项和的性质 阅读教材 P51 练习 B 第 2 题及习题 2－3A 第 6 题，完成下列问题. 等比数列前 n 项和的性质 性质一：若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠± 1)，则
(2)设 S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79. S1 则S ＝q＝3 即 S1＝3S2. 2 4 又 S1＋S2＝S80＝32，∴3S1＝32，解得 S1＝24. 即 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.
【答案】 (1)A (2)24
1.在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若 S偶 S奇－a1 项数为 2n，则 ＝q(S 奇≠0)；若项数为 2n＋1，则 ＝q(S 偶≠0). S奇 S偶 2.等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列， 其公比为 qn(q≠－1). 3.等比数列{an}的公比为 q，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. 4.若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0 且 q≠1)，则 数列{an}成等比数列.
【提示】 若 1，a，b，c,16 成等比数列，则 1，b,16 成等比数列，所以 b ＝4； 1，a，b 与 b，c,16 也都成等比数列，所以 a＝2， c＝8，故 a＋b＋c＝14，abc＝b3＝64；若 1，a，b，c,16 成等差数列，用类 似的方法求 a＋b＋c 及 abc.
探究 3
若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S2＝1，S4＝3，则 S6＝
等比数列. 数列{an}是____
性质二：若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则
q Sm ①Sn＋m＝Sn＋_____.
n
S偶 q ②在等比数列中，若项数为 2n(n∈N＋)，则 ＝__. S奇 ③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成____ 等比数列.
1.下列说法正确的是________.(填序号) (1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120，则该 等比数列的公比 q＝2. (2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a· 3n－1－1，则 a＝1. (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列. (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列.
【解析】 法一：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5，
S15－S10 成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)，解得 S15＝210.
法二：设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
5 a 1 － q 1 ＝10，① 1 － q 显然 q≠1，则 10 a 1 － q 1 ＝50，② 1 － q
)
(2)等比数列{an}中， 公比 q＝3， S80＝32， 则 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
【精彩点拨】 (1)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解. S偶 (2)利用 ＝q，及 S2n＝S 奇＋S 偶求解. S奇
【自主解答】
(1)∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列. 即 7，S4－7,91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2. ∴S4＝28.
b1 b2 bn bn (2)解决本小题关键是认识到a ＋a ＋…＋a 是数列{a }的前 n 项和.求解时先 n n 1 2 bn bn 利用“Sn 与 an 的关系”求出{a }的通项a ，再求出 bn，进一步求和. n n
【自主解答】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
1 1 1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋4＋8＋…＋2n＋1
1 1n n2n＋2 41－2 ＝ ＋ 2 1 1－2 1 1 ＝n(n＋1)＋2－ n＋1. 2
[探究共研型]
等差、等比数列的性质应用对比
探究 1 已知{an}为等差数列，且 a3＝－6，a6＝6，则 an＝________；若将 {an}改为等比数列，则 an＝________.
【精彩点拨】 通过观察，不难发现，新数列的前 n 项和恰为 an，这样即 1 可将问题转化为首项为 1，公比为3的等比数列的前 n 项和，数列{an}的通项公 式求出后，计算其前 n 项和 Sn 就容易多了.
【自主解答】
(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
1n－1 3 1n 1 12 ＝1＋3＋3 ＋…＋3 ＝21－3 .

4a1＋6d＝8a1＋4d， a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1， a1＝1， d＝2，
解得
因此 an＝2n－1，n∈N＋.
b1 b2 1 bn (2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N＋， n 1 2 b1 1 当 n＝1 时，a ＝2； 1 1 1 1 bn 1 － 当 n≥2 时，a ＝1－2n－ 2n－1＝2n. n bn 1 所以a ＝2n，n∈N＋. n 由(1)知 an＝2n－1，n∈N＋， 2n－1 所以 bn＝ 2n ，n∈N＋.