下载文档原格式
精 品 教 学 设 计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢.1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢.4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢.四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况.五、构造商式函数 构造商式函数1002()(0)xh x x x=>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。
教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。
2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。
3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。
幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。
4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log<sub>a</sub>(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0 )的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x ∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x 越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a>1)的增速会远远超过y＝x n(n>0)的增速，而函数y ＝log a x(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为(D)A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，当x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1符合公司要求．规律方法 从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位为：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间/t50 110 250 种植成本/Q 150 108 150(1)变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t 中任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解上述方程组得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，描述西红柿种植成本Q 和上市时间t 变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)由(1)可知当上市t ＝150天时，种植成本为100元/102kg.——如何选择函数模型——指数函数型模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；对数函数型模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1，x >0)；幂函数型模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y ＝x α(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快． 【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y ＝a x ＋b ，指数函数型模型：y ＝ab x ＋c )【解析】 (幂函数型模型)设y 1＝a x ＋b ，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈0.48，b ≈0.52，所以y 1＝0.48x ＋0.52.(指数函数型模型)设y 2＝ab x ＋c ，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，所以y 2＝－0.8×0.5x ＋1.4.将x ＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y 1＝1.48，y 2＝1.35.因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法 利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lg x D．y＝10x2解析：在指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)中，随着x 的增大，指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log23<log24＝2，故x2>2x>log2x.二、填空题3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．三、解答题5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性并证明．解：(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：。
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课新知探究提出问题①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．063图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．9162536图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值2x图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例思路1例1 试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.267 7，则2100≈1.267 7×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.267 7×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则 N 1＝R 0N 0， N 2＝R 0N 1＝R 20N 0， N 3＝R 0N 2＝R 30N 0， … N t ＝R t 0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？ (一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，62－x50，100<x <550，其中x ∈N＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示： 先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型． 解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点， 从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8， 乙图像经过(1,30)和(6,10)两点， 从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲·y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m 年时的规模总产量为n ，那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25.因此，当m ＝2时，n max ＝31.2， 即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只． 知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图5(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5(2)的抛物线段表示．(1)写出图5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )； 写出图5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图5 (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) 活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正． 解：(1)由图5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300. 由图5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300.(2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋27t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．点评：本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．拓展提升 探究内容①在函数应用中如何利用图像求解析式． ②分段函数解析式的求法．③函数应用中的最大值、最小值问题．举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图6(1)、(2)、(3)所示．其中图6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图6(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．图6(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？分析：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式． 2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段． 3．回忆函数最值的求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20≤t ≤40.该公司的日销售利润F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20≤t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30≤t ≤40，当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，则F (t 1)－F (t 2)＝3t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 21＋8t 1－3t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 22＋8t 2 ＝－920(t 1＋t 2)(t 1－t 2)2.∴F (t )在[0,20]上为增函数． ∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＞6 300， 则703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240＜60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320×302＋240＝6 300.故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元．点评：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段． 3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一． 课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．作业习题3—6 1,2.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料[备选例题]某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元．问从10年的累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5＝3 9758(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160x －2＋100×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－159160x 2＋1192x ×5＝－5(x －30)2＋4 950. 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年的总利润为3 9758＋4 950(万元)．∵3 9758＋4 950＞1 000，∴该规划方案有极大实施价值．(设计者：邓新国)。
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[核心必知]1．三种函数的增长特点(1)当a ＞1时，指数函数y ＝a x是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a ＞1时，对数函数y ＝log a x 是增函数，并且当a 越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x ＞0，n ＞1时，幂函数y ＝x n显然也是增函数，并且当x ＞1时，n 越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y ＝x n(n ＞0)，指数函数y ＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a ＞1，n ＞0，那么当x 足够大时，一定有a x ＞x n＞log a x .[问题思考]1．2x＞log 2x ，x 2＞log 2x ，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立． 2．2x ＞x 2在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：不一定，当0＜x ＜2和x ＞4时成立，而当2＜x ＜4时，2x＜x 2.讲一讲1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数型函数变化的变量是________．[尝试解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从5开始变化，变量y 4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y 4关于x 不呈指数型函数变化；而变量y 1，y 2，y 3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y 2的增长最快，画出图像可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．答案：y 2解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．练一练1．下面是f (x )随x 的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？ 解：(1)随x 的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f (x )＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f (x )＝log 2x ，而且增长的幅度越来越小．讲一讲2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？ [尝试解答] 设第x 天所得回报是y 元． 由题意，方案一：y ＝40(x ∈N ＋)；方案二：y ＝10x (x ∈N ＋)； 方案三：y ＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．练一练 2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，因此，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.1．下面对函数f (x )＝与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快解析：选 C 在同一坐标下分别作出函数y ＝和y ＝(12)x的图像，由图像知C正确．2．下列所给函数，增长最快的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C 当x＝1时，否定B；当x ＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x ∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x)5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝答案：y ＝6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x ＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝10x B．y＝lg xC．y＝x10 D．y＝10x解析：选 D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y＝f(x)的大致图像为()解析：选 D y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.3．函数y ＝2x－x 2的图像大致是( )解析：选A 由图像可知，y ＝2x与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x成立，即y <0，故排除D.4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：选D 在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．解析：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3，…，10年后，y ＝15(1＋x )10. 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x－1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1,1)，(－1，－1)；而③y ＝e x－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ，b ＝x 3，c ＝，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x∈(0,1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x的图像：要使x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时，有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12.∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分，第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈2 147.48(万元)．所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1000]上单调递增，当x ∈(20,1000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x ＝1000时，y ＝log 71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10, 1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10,1000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．1.指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．(2)指数函数的底数a ＞0且a ≠1，这是隐含条件．(3)指数函数y ＝a x的单调性，与底数a 有关．当底数a 与1的大小不确定时，一般需分类讨论．(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5)函数y ＝a x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图像关于y 轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．2．对数与对数函数(1)指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．(2)在使用运算性质log a M n＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝n m log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活运用．(4)对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图像关于x 轴对称．(5)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称．(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[典例1] 化简：(1)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3ab ；(2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3； (3)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.[解](1)原式＝a13a －8b b 132＋2a 13b 13＋a 132×a13a 13－2b 13×a 13b 13＝a 13a －8b a －8b ×a 13×a 13b 13＝a 3b .(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.36＋lg 38＝lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1.[借题发挥] 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．[对点训练]1．若2.5x ＝1 000,0.25y＝1 000，则1x－1y＝________.解析：由已知得：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，∴1x －1y＝1log 2.51 000－1log 0.251 000＝lg 2.5lg 103－lg 0.25lg 103 ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13lg 2.50.25＝13lg 10＝13.答案：132．已知log a x ＝4，log a y ＝5，试求A ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 31xy 212的值． 解：log a A ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a x ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12log a x －2log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56log a x －23log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56×4－23×5＝0.∴A ＝1.[典例2](1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，则a ，b 满足的关系是 ( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1(2)已知函数y ＝ax 2－3x ＋3，当x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．[解] (1)由图像，知该函数为增函数． ∴a ＞1.又当x ＝0时，－1＜f (0)＜0， 即－1＜log a b ＜0，即log a 1a＜log a b ＜log a 1.∴1a＜b ＜1.结合a ＞1，知0＜a －1＜b ＜1.(2)令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3，①若a ＞1，则y min ＝a 34＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意． 综合①，②知a ＝12.[答案] (1)A[借题发挥] 指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．[对点训练]3．函数f (x )＝ax －b的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 由f (x )＝a x －b的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1；函数f (x )＝ax －b的图像是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x ，x 2－4x ＋x ＞的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像(图略)，由图像可知：两函数图像的交点有3个．5.定义在[－1,1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值． 解：(1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]． ∴f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x .∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝4x －a ·2x，x ∈[0,1]． (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －a ·2x， 令t ＝2x，则t ∈[1,2]．∴g (t )＝t 2－at＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a 24. 当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (2)＝4－2a ；当1＜a 2≤32，即2＜a ≤3时，g (t )max ＝g (2)＝4－2a ；当32＜a2≤2，即3＜a ≤4时，g (t )max ＝g (1)＝1－a ；当a2＞2，即a ＞4时，g (t )max ＝g (1)＝1－a .综上知，当a ≤3时，f (x )的最大值是4－2a ；当a ＞3时，f (x )的最大值是1－a .[典例3] 比较下列各组数的大小． (1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7； (3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．[解] (1)∵log 323＜log 31＝0，而log 565＞log 51＝0，∴log 323＜log 565.(2)∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2， ∴0＞log 0.71.1＞log 0.71.2， ∴1log 0.71.1＜1log 0.71.2，即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.(3)∵y ＝为减函数，且∴b ＞a ＞c ，而y ＝2x是增函数， ∴2b＞2a＞2c.[借题发挥]比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．提示：作出函数y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图像，如图所示，两图像与x ＝0.7相交，可知log 1.10.7＜log 1.20.7.[对点训练]6．三个数60.7、0.76、log 0.76的大小顺序为( )A ．0.76＜log 0.76＜60.7B ．0.76＜60.7＜log 0.76C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7解析：选 D ∵0＜0.7＜1,6＞1，∴log 0.76＜0，而0＜0.76＜1,60.7＞1，故log 0.76＜0.76＜60.7.7．若x ∈(1,10)，则(lg x )2，lg x 2，lg(lg x )的大小顺序是 ( )A ．(lg x )2＜lg x 2＜lg(lg x ) B ．lg(lg x )＜lg x 2＜(lg x )2C ．lg x 2＜lg(lg x )＜(lg x )2D ．lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2解析：选D ∵x ∈(1,10)，∴不妨令x ＝10，则lg(lg x )＝lg(lg 10)＜0，(lg x )2＝(lg 10)2＝14，lg x 2＝lg(10)2＝1， ∴lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2.[典例4] 已知函数f (x )＝log 2(2x＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的；(2)若关于x 的方程log 2(2x－1)＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．[解] (1)证明：任取x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝＝∵x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的． (2)法一：∵m ＝log 2(2x－1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23，∴13≤1－22x ＋1≤35. ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.法二：解方程log 2(2x－1)＝m ＋log 2(2x＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ，∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2， 解得log 213≤m ≤log 235.∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.[借题发挥] 若本例中函数不变，如何解不等式f (4x)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3？[对点训练]8．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选A ∵3x＋1＞1，∴log 2(3x＋1)＞0.9．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，求k 的值．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx .∴2kx ＝log 4(4－x＋1)－log 4(4x＋1)＝log 44－x＋14x ＋1＝log 44x＋14x 4x ＋1＝log 414x ＝－x .∴2k ＝－1. ∴k ＝－12.（时间：90分钟 满分120分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2xB ．g (x )＝C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．g (x )＝log 2x解析：选C 由点(2，－1)在y ＝log a x 的图像上， 得log a 2＝－1，∴a ＝12.∴f (x )＝，从而g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.2.12log 612－log 62等于( ) A ．6 2 B ．12 2 C.12D ．3解析：选C 原式＝log 612－log 62＝log 66＝12.3．若集合A ＝，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞4．(重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23>1，c ＝log 32<log 33＝1，故a ＝b >c . 5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c解析：选D a ＝log 54＜1，log 53＜log 54＜1，b ＝(log 53)2＜log 53，c ＝log 45＞1，故b ＜a ＜c .6．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x －1的图像关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C f (x )＝lg 1＋x1－x ，则f (x )的定义域为(－1,1)，又∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg 11＋x1－x ＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴该函数的图像关于原点对称．7．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：选A 由2a＝5b＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b＝2.∴log m 10＝2. ∴m 2＝10，∵m >0，∴m ＝10.8．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a|x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 函数y ＝ax 2＋bx 的两个零点是0，－b a. 对于A 、B ，由抛物线的图像知，－b a∈(0,1)， ∴b a∈(0,1)．∴函数y ＝log|b a|x 不是增函数，错误； 对于C ，由抛物线的图像知a ＜0且－b a＜－1， ∴b ＜0且b a＞1. ∴b a＞1.∴函数y ＝log|b a|x 应为增函数，错误；对于D ，由抛物线的图像知a ＞0，－b a∈(－1,0)， ∴|b a |∈(0,1)．满足y ＝log|b a|x 为减函数． 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＜，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：选C 当x 0≥2时，∵f (x 0)＞1， ∴log 2(x 0－1)＞1，即x 0＞3；当x 0＜2时，由f (x 0)＞1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0＜－1. ∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 由题意知，函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如图实线部分为f (x )的图像)可知A (4,6)为函数f (x )图像的最高点， ∴f (x )max ＝6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷＝________.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100÷10－1＝－2×10＝－20.答案：－2012．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )， 即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)， 化简得x (e －x ＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 答案：－113．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝|log 3x |的解的个数是________．解析：如图，画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝|log 3x |的图像，两图像的交点个数为2.答案：214．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )＞0的解集是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上是减函数， ∴f (log 4x )＞0⇒log 4x ＞12或log 4x ＜－12，∴x ＞2或0＜x ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg 4； (2)求不等式21－2x＞18的解集． 解：(1)原方程可化为lg(x ＋1)(x －2)＝ lg 4，∴(x ＋1)(x －2)＝4，解得x ＝－2或3，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －2＞0⇒x ＞2,∴方程的根为3. (2)原不等式可变为：21－2x＞2－3，又y ＝2x为R 上的增函数， ∴1－2x ＞－3，解得：x ＜2. 所以解集为{x |x ＜2}．16．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝(12)t －a，将点(3,1)代入得a ＝3.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3. 综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t t ，12t －3 t(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916个小时． 17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤1，log 3x 3·log 3x 9，x ＞1.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值．解：(1)∵log 232＜log 22＝1， ∴f (⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12， 即f (x )min ＝12. 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)，令log 3x ＝t ，则t ＞0，∴y ＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵t ＞0，∴当t ＝32时，y min ＝－14＜12. ∴f (x )的最小值是－14. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝0；当x >0时，f (x )＝2x －12x ，由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2×2x－1＝0.解得2x ＝1＋2或2x ＝1－2(舍去)．∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0.即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)。
