第二讲实数培优

2020-2021学年浙教版七年级上册实数及其运算专题培优姓名 班级基础巩固1.下列各式中，正确的是（ ）.A .241⎪⎭⎫ ⎝⎛± = 1 2 B .412= 1 1 2C .1694+= 2 + 3 4 = 2 3 4D .22713- = 13 - 7 = 62.实数: 5-，22，2 -2，2π，3，39在数轴上的对应点，既在点A ：-2，C :2之间，又在点B ：4，D ：-1之间的有（ ）.A .3个B .4个C .5个D .2个3.数轴上A ，B 两点分别表示实数23和23 + 6，则这两点的距离是（ ）. A .43 + 6B .43C .6D .43 - 64.若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）. A .a ≥0B .a ≤0C .a = 0D .a ≠05.已知x 满足|2008 - x | +2019-x = x ，那么x - 20082的值为（ ）. A .2007B .2008C .2009D .20106.（1）-2的相反数是 _________ ，绝对值是 _________ .（2）比较大小:3.14 _________ π；-2 _________- 32 ；-2- 3_________ 0.（3）如果整数a 满足5 < a < 10，则a = _________ . （4）如果4-x + （y+6）2 = 0，那么x + y = _________ .（5）比较大小:57 _________ 411（填“ > ”或“ < ”）；2)21(- = _________ .7.满足-3< x < 5的整数x 是 _________8.已知332-x 与353y -互为相反数，则 xy 的值为 _________ .9.已知实数a ，b 满足74932--+-a a b a = 0，则a = _________ ，b = _________ .10.已知40≈ 6.325，则5104⨯ ≈ _________ ；设2= a ，3 = b ，用含a ，b 的式子表54.0为 _________11.已知2a - 1的平方根是±3，3a + b - 9的立方根是2，c 是±57的整数部分，求a + 2b+c 的算术平方根. 12.阅读材料:我们定义:如果一个数的平方等于 - 1，记做i 2 =- 1，那么这个i 就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a + bi （a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部.复数的加、减、乘的运算与我们学过的实数加、减、乘的运算类似. 例如:计算（5 + i ） + （3 - 4i ） = （5 + 3） + （i - 4i ） = 8 - 3i . 根据上述材料，解决下列问题:（1）填空:i 3 = _________ ，i 4 = _________ . （2）计算:（6 - 5i ） + （ - 3 + 7i ）. （3）计算:3（2 - 6i ）-4（5 - i ）.13.阅读下面的文字:大家知道5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此5的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用5- 2来表示5的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法有道理，因为5的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如:∵9 < 13 <16，即3 < 13 < 4， ∴13的整数部分为3，小数部分为（13-3）. 请解答下列问题:（1）7的小数部分为a ，17的整数部分为b ，求a + b -7的值. （2）已知10 + 3= x + y ，其中x 是整数，且0 < y < 1，求x - y 的相反数.拓展提优1.若3 < a < 10，则下列结论中，正确的是（ ）. A .1 < a < 3B .1 < a < 4C .2 < a < 3D .2 < a < 42.下列关于8的叙述，不正确的是（ ）. A .8 = 22B .面积是8的正方形的边长是8C .8是有理数D .在数轴上可以找到表示8的点3.[泰安]下列四个数: -3， -3， - π， - 1，其中最小的数是（ ）. A .一πB . - 3C . - 1D . - 34.对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如:[4] = 4，[3] = 1， [- 2.5] =- 3.现对82进行如下操作:82第一次[8282] = 9第2次[39] = 3第3次[33] = 1，这样对82只需进行3次操作后就能变为1.类似地，对121需进行多少次操作后就能变为1（ ）. A .1B .2C .3D .45.若a < 6 < b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b = _________ .6.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下:当a ≥b 时，a ⊕b = b 2；当a < b 时，a ⊕b = a .则当x = 2时，（1⊕x ）·x -（3⊕x ）的值为 _________ （“·”和“- ”仍为实数运算中的乘号和减号）.7.已知实数m ，n 满足|n - 2| + 1+m = 0，则m + 2n 的值为 _________ .8.在草稿纸上计算:①31；②3321+；③333321++；④33334321+++.观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值:333328321+⋯⋯+++= _________ .9.将一组数2，2，6，22，10，…，45按下面的方式进行排列:若22的位置记为（1，4），26的位置记为（3，3），则这组数中最大的有理数的位置记为 _________ .10.计算:-（-1）2017（2）（ - 2）2 + |2 - 1|-327.（1）|- 2| +3811.一个数值转换器，如图所示:（1）当输入的x为16时，输出的y值是 _________ .（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由.（3）若输出的y是3，请写出两个满足要求的x值: _________ .12.先填写下表，通过观察后再回答问题:（1）表格中x= _________ ，y= _________ .（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题:①已知10≈ 3.16，则1000≈ _________ ；②已知m = 8.973，若b= 897.3，用含m的代数式表示b，则b = _________ .（3）试比较a与a的大小.冲刺重高1.如图所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别为 - 1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数为（ ）. A .-2-3 B . -1 -3C .-2 +3D .1 + 32.已知x 是实数，则π-x +x -π+ x−1π 的值是（ ）.A .1- 1 πB .1 + 1 πC . 1 π - 1D .无法确定3.一棵智利南美杉的树干直径是40 cm .此树干的皮占体积的19%，可防火.粗略估算可得此树皮的平均厚度为（ ）. A .0.4 cm B .1.2 cmC .2 cmD .2.8 cm4. 我们定义=ad - bc ，例如 = 2 × 5 - 3 × 4 = 10 - 12 =-2.若x ，y 均为整数，且满足 则x+y 的值 5.观察下列各式:311+= 231，412+ = 341，513+ = 451，… 请你将猜想得到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来: _________ . 6.对于实数a ，我们规定:用符号[a ]表示不大于a 的最大整数，称[a ]为a 的根整数，例如:[9] = 3，[10] = 3.（1）仿照以上方法计算:[4] = _________ ；[26] = _________ . （2）若[x ]= 1，写出满足题意的x 的整数值: _________ .如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如:对10连续求根整数2次[10] = 3→[3] = 1，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数， _________ 次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 _________ .7.设a ，b ，c 均为不小于3的实数，求2-a +1+b + |1 - 1-c |的最小值.1、最困难的事就是认识自己。

实数培优拓展1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。

2.已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。

3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2=-x （2）251513=+）（x2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。

例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵ ⑶ ⑷例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求yx 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子abc abc c c b b a a +++的所有可能__________________.练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a2005的值。

2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根；3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值.4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。

①2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x5. 若3387=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知052522=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。

例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。

实数培优讲义考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m是小于152的最大整数，则m的平方根是____．03．9的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【变式题组】01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a −2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____．02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a b a b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a ba b aba b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b ＝315a - ＋153a - ＋2且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2的值．培优升级 奥赛检测01．一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 002( )A ．0B ． 1C ．1D ． 203−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足2009a a -=，则a − 20092＝_______．07．若m 满足关系式199y x =--，试确定m 的值．08．若a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围．09．已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．11．巳知x ＝ba，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8−1<x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。

2021七年级下册数学《实数》培优精选一．选择题（共15小题）1．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（）A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b2．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（）A．点O和A之间B．点A和B之间C．点B和C之间D．点C和D之间3．规定：一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，于是可知i3＝i2×i＝（﹣1）×i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1……，按照这样的规律，i2019等于（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i4．实数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A．|a|＞|b|B．|b﹣d|＝|b|+|d|C．|a﹣c|＝c﹣a D．|d﹣1|＞|c﹣a| 5．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程mx﹣4x+16＝0的一个解，则m的值为（）A．﹣4B．2C．4D．67．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．68．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[﹣2.5]＝﹣3．现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）A．1B．2C．3D．49．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．C．﹣1D．﹣+110．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．3+B．15+C．3+3D．15+711．定义运算a⊗b＝a（b﹣1），下面给出了关于这种运算的四个结论：①2⊗（﹣1）＝﹣4；②a⊗b＝b⊗a；③若a+b＝1，则a⊗a＝b⊗b；④若b⊗a＝0，则a＝0或b＝1．其中正确结论的序号是（）A．②④B．②③C．①④D．①③12．已知a＞1，下列各式正确的是（）A．＞a B．＞（）2C．＜D．a＞13．若a＝（﹣3）13﹣（﹣3）14，b＝（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 14．设．其中a，b，c，d是正实数，且满足a+b+c+d＝1．则p满足（）A．p＞5B．p＜5C．p＜2D．p＜315．设a，b，c为不为零的实数，那么的不同的取值共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种二．填空题（共10小题）16．，，，…，，其中n为正整数，则的值是．17．一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB＝3，AD＝2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数．18．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是．19．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则＝﹣1；②若a+b ＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是．20．已知，实数x满足x＝20202+20212，求代数式的值等于．21．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝；（2）若，则x的取值范围是．22．比较3，，的大小，其从小到大的顺序是．23．已知a6m＝8，则a2m的算术平方根为．24．若m的两个平方根为a﹣1和a﹣5，则代数式3m﹣2的值是．25．定义“如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi （a，b为有理数或无理数）的数称为复数，它们的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法类似，例如：计算（2+3i）（3﹣2i）＝6﹣4i+9i﹣6i2＝6+5i+6＝12+5i，计算（﹣3+4i）（3+4i）＝．三．解答题（共9小题）26．已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+的平方根．27．（1）已知：（x+5）2＝49，求x；（2）计算：+|1﹣|﹣+（﹣）2．28．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E 在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为12．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，求当x多少秒时，OM＝ON．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．29．如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为a+b，B、C之间的距离为2a﹣b，B、D之间的距离为5a+2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．（1）若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则a＝（用含n的代数式表示），a是（填“有理数”或“无理数”）；（2）若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）；（3）若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数．30．（1）如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形；（两个面积部分涂上阴影）（2）请在同一个数轴上用尺规作出和的对应的点．31．解方程：（1）（x+1）2＝16；（2）125（x﹣1）3＝﹣64．32．观察下列各式，发现规律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝，＝；（2）计算（写出计算过程）：；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．33．小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．34．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法．（1）在探究“有理数加法法则”的过程中，我们根据加数的符号和绝对值的大小将法则分类归纳．下列给出的算式中：①3+（﹣1）；②4+3；③（﹣3）+（﹣2）；④5+（﹣5）；⑤﹣3+0；⑥6+（﹣4）；⑦4+（﹣7）；⑧．可以代表有理数加法法则的不同种类的算式组合是．A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤⑥⑦C．①③④⑤⑥⑧D．①②④⑤⑦⑧（2）若|a+b|＝|a|+|b|，请说明a、b需要满足的条件．（3）在数轴上有A、B两点，分别表示实数a、b，若a的绝对值是b的绝对值的6倍，且A、B两点的距离是15，求a、b的值．。

培优提升专题（二）实数 二次根式一基础知识回顾实数：包括有理数和无理数。

1.全体实数和数轴上的点一一对应；有理数可以表示成既约分数的形式，有理数对四则运算是封闭的，无理数是无限不循环小数，不能表示成分数的形式，对四则运算不封闭；一个非零有理数与一个无理数的和、差、积、商（分母不为零）一定是无理数.三类非负数：绝对值、完全平方数、算术平方根；具有性质：（1）和与积仍非负；（2）若干个非负数和为0，则每一个非负数都等于0。

在实数范围内，任意实数可以开奇次方，只有非负数可以开偶次方2.根式:n 为正整数，1n >）称为根式，一般的n 次根式有如下性质和运算法则： 1.n a =.2. 当n a =；当n a =3. 根式运算法则 = = m = =以上各式均在等式两边有意义的前提下成立4. 设,,,a b c d 是有理数，且n 不是完全平方数，则当且仅当,ac bd ==时，a c ++5. 形如x a y a ==.如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化根式.6. 重二次根式 如果二次根式的被开方数中含有二次根式,这样的式子叫重二次根式。

化简重二次根式的方法有：平方法；配方法；构造法；待定系数法等.构造法是将二次根式的整体或一部分设为未知数，从而构造关于未知数的方程,解出待求值.二典例分析1 若,,a b a b ≠ )A 都是有理数 B. 一个是有理数,一个是无理数 C.都是无理数 D.不能确定2 _____________3设 ,,a b c 均为不小于3的实数，则 1- 的最小值是_____________.4 设10982),35m a m m m m =≤≤++++- 的值为________5设 ,m m >= ________（用m 表示）6若 ,u v 满足2v =，则22______u uv v -+= 7.设x 、y 都是有理数，且满足方程11()()402332x y πππ+++--=，求x y -的值8.若01x << 9. 设0,0x y <<，化简10已知a b a b +=-=ab 的值11. 已知52x =，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值 12 1111x =-13已知 a R ∈且1a a+-a 的值 14已知,,a b c 都是实数，且满足2222,2,2236A a b B b c C c a πππ=-+=-+=-+。

●课 题：§2.6实数(1)●教学目标(一)教学知识点1.了解有理数的运算法则在实数X 围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数X 围内正确计算.);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba . (二)能力训练要求1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.(三)情感与价值观要求时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数X 围内的法则，类比地学习在实数X 围内的有关计算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.●教学重点1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数X 围内正确进行运算.2.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba .并能用规律进行计算.●教学难点1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.●教学方法类比法.●教具准备投影片两X ：第一X ：例题(记作§2.6.2 A)；第二X ：练习(记作§ B).●教学过程Ⅰ.新课导入上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数X 围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数X 围内的求法相同.那么在有理数X 围内的运算法则、运算律等能不能在实数X 围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.Ⅱ.新课讲解1.有理数的运算法则在实数X 围内仍然适用.［师］大家先回忆一下我们在有理数X 围内学过哪些法则和运算律.［生］加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.［师］好.下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数X 围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了. 如：2332⋅=⋅，.252)32(2322,3)212(32123=+=+=⋅⋅=⋅⋅所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.投影片：(§2.6.2 A)解：(1)原式=1+1=2；(2)原式=0； (3)原式=22·(5)2=4×5=20；(4)原式=(2)2+2·2·21+(21)2=2+2+2921=.填空： (1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)94=_________，94=_________； (4)=2516_________，2516=_________. 以下用计算器进行计算：(5)76⨯=_________，76⨯=_________；76=_________，76=_________； ［师］请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.［生］(1)63694,63294==⨯=⨯=⨯；(2)12144916,1234916==⨯=⨯=⨯； (3)32)32(94,32942===； (4)54)54(2516,5425162===； (5)76⨯≈×≈4276=⨯≈6.480，76≈646.2449.2≈0.9255，76≈ ［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律. ［生］9494⨯=⨯；.7676;7676;25162516,9494;916916=⨯=⨯==⨯=⨯ ［师］如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？［生］(1)b a b a ⋅=⋅； (2)b a ba =. ［师］上面式子中的a ，b 有什么要求吗？［生］a ,b 都是正数.［师］这位同学的回答完全吗？［生］不完全，在(2)中b 作分母不能为零.［师］这就完全正确了吗？［生］不完全正确.在(1)中，a ,b 可以为零，在(2)中a 可以为零，b 不能为零.［师］很好.大家在以后的学习中要细，不能漏掉任何一个条件.我认为大家刚才的讨论很到位，下面我再总结一下：b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0) 并作一些练习.投影片：(§ B)解：(1);24326326==⨯=⨯ (2);5494814327=-=-=-⨯.3191546546)5(;24312312326)4(;32413231132)3()13)(3(222=======⨯-=+-=+⋅⋅-=-［例题］化简：(1)5312-⨯； (2)236⨯；(3)(5+1)2； (4))12)(12(-+.解：(1)5312-⨯=36－5=6－5=1； (2)39218218236====⨯； (3)(5+1)2=(5)2+25+1=6+25； (4).1121)2()12)(12(2=-=-=-+Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习化简：(1)2095⨯； (2)8612⨯； (3)(1+3)(2－3)； (4)(323-)2. 解：(1)234920952095==⨯=⨯； (2)3987287286128612====⨯=⨯； (3)(1+3)(2－3)=2－3+23－3=－1+3； (4)(323-)2=(3)2－2·3·32+(32)2=3－4+3134=. (二)补充练习1.化简： (1)250580⨯-⨯；(2)(1+5)(5－2)； (3))82(2+； (4)3721⨯； (5)2)313(-； (6)10405104+. 解：(1)101020100400250580250580=-=-=⨯-⨯=⨯-⨯； (2)(1+5)(5－2)=5－2+(5)2－25=5－2+5－25=3－5； (3)64216482228222)82(2=+=+=⨯+⨯=⋅+⋅=+； (4)749372137213721==⨯=⨯=⨯； (5)343123)31(3132)3()313(222=+-=+⋅⋅-=-； (6)454104*********4051010410405104+=⨯+⨯=+=+=4+10=14. 5 cm 和45 cm ，求这个直角三角形的面积.解：S =45521⨯⨯ )cm (5.71521)35(214552122=⨯=⨯⨯=⨯⨯= 答：这个三角形的面积为7.5 cm 2.Ⅳ.课时小结本节课主要掌握以下内容.1.在实数X 围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.2.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba =(a ≥0,b ＞0)的推导及运用. Ⅴ.课后作业1.化简： (1)313⨯； (2)23； (3)23222+； (4)850⨯－21.解：(1)1313313=⨯=⨯； (2)2141123123===； (3)16223222223222223222+=+=+=+=2+4=6； (4)12120214002185021850-=-=-=-⨯=-⨯. Ⅵ.活动与探究下面的每个式子各等于什么数？2222222003,2002,2001,,4,3,2 .由此能得到一般的规律吗？对于一个实数a 、2a 一定等于a 吗？ 解：22=2，23=3，24=4，…22001=2001，22002=2002，22003=2003. 由此能得出2a =a .(a ≥0)对于一个实数a ，2a 不一定等于a .当a ≥0时，2a =a .当a ＜0时，有.20032003)2003(,20022002)2002(,20012001)2001(,416)4(,39)3(,24)2(222222222==-==-==-==-==-==-所以当a ＜0时，有2a =－a .●板书设计●课 题：§2.6 实数(2)●教学目标(一)教学知识点b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.(二)能力训练要求1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.2.让学生能根据实例进行探索，同学们互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.(三)情感与价值观要求1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.●教学重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.●教学难点灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.●教学方法指导探索法.●教具准备投影片三X：第一X：例题(记作§2.6.3 A)；第二X：练习(记作§ B)；第三X：课堂测验(记作§ C).●教学过程Ⅰ.导入新课［师］请大家先回忆一下算术平方根的定义.［生］若一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根.［师］大家能否根据定义举例说明呢？［生］能.［师］在我不点名的情况下，大家能否自觉站起来回答呢？［生］能.［师］请大家为这些积极回答问题的同学鼓掌，同时要向他们学习，学习他们积极投身于教学活动的这种精神.［师］下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.投影片：(§2.6.3 A)设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果. ［生］由正方形面积公式得a 2=8,b 2a =8，小正方形边长b =2.［师］那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.8=22.［师］非常棒，那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务. Ⅱ.新课讲解［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ ［生］b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b aba = (a ≥0,b ＞0) ［师］请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33⨯； (2)42⨯；(3)273；(4)12253⨯. ［生］(1)3333332==⨯=⨯； (2)84242=⨯=⨯；(3)3191273273===；(4)254251225312253==⨯=⨯.(1)3=333332⨯=⨯=能否成立？［生］不成立，因为3就是一个有理数，为什么非要把它化成无理数3与3的乘积呢？这不是反而把简单的数化成复杂的数了吗？［生］你说得不对.老师说的是这种推法是否成立，并不是问它是不是化简. ［师］对.刚才这位同学说得非常对，我是说这样的步骤是否正确.［生］对.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.［师］确实成立.下面再分析这些式子：.1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(⨯=⨯==⨯=⨯⨯=⨯并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答. ［生］正好和上节课的法则相反. ［师］大家能否用式子表示出来？ ［生］能.b a b a ⋅=⋅b a ba = ［师］没有条件限制吗？a ≥0,b ≥a ≥0,b ＞0.［师］那现在能否把8化成22呢？［生］行.222242428=⨯=⨯=⨯=.［师］下面我们进行简单的练习. 投影片：(§ B)请大家快速地进行化简，并能口述出步骤.［生］(1).3333939327=⨯=⨯=⨯= (2);5335959545=⨯=⨯=⨯=.545455452545251612516125)6(;32432432163216932932)5(;6336969654)4(;2828264264128)3(=⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=⨯=［师］掌握得不错.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？ ［生］原来的式子中根号外面没有数，化简后的式子根号外面、里面都有数. ［师］这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？［生］是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.22424221===叫不叫化简呢？ ［生］叫化简.［师］能否说一下它的特征呢？［生］原来被开方数中含有分母，化简后被开方数中没有了分母.［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？其实在刚才的分析中我已作过介绍，大家可否记得？［生］记得.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.［师］大家做的非常棒.上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？这个问题比较难，请大家讨论后给出答案，能说多少说多少.［生］当被开方数中含有分母或含有开得尽的因数时用法则的逆运算，如果不是这样就用法则.［师］能回答到这个程度就相当不错了，可见大家是经过认真思考和相互合作的.确实是这样，一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.如：;339393333131===⨯⨯= .3191182182;214112131213;66666621622=====⨯=⨯=⨯=⨯=但是这也不是绝对的，有时法则的运用和法则的逆运算要相互结合才能达到化简的目的.如：.2272249224924910495104952=⨯=⨯==⨯=⨯因为任何事物它都不是绝对的，而是相对的，所以不能生搬硬套，而要灵活运用法则，对于具体问题一定要具体分析，找到解决问题的方法，对症下药，才能达到题目的要求，所选择的方法要根据问题的不同而相应的变化.这正是现代教育的要求所在.例题讲解 ［例1］化简：(1)50；(2)348-；(3)515-. 解：(1)2522522550=⨯=⨯=；(2);3333433163316348=-=-⨯=-⨯=-(3).55455525552555515=-=-=-=-［例2］化简： (1)－230310⨯； (2)－ab a 101861⋅； (3)－yxy 1⋅； (4)1615； (5)013.039.0； (6).mn2n m 142解：(1)31063106310630103230310222⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=⨯⨯-=⨯-360-=；(2)－b a b a ab a ab a 536615366110186110186122⨯⨯⨯-=⨯-=⋅-=⋅ b a b a 55661-=⨯⨯⨯-=；(3)－x yxy y xy -=⋅-=⋅11； (4);4916811615== (5)3013390013.039.0013.039.0===；(6)m 7mn 2nm 14mn2n m 1422==.说明：对于被开方数中的字母不用讨论，就按满足条件进行化简就行了. Ⅲ.课堂练习 化简：(1)18；(2)7533-；(3)72. 解：2323292918=⨯=⨯=⨯=； (2)3533353332533325337533-=⨯-=⨯-=⨯-=-32-=；(3)7147147147222===.课堂测验 投影片：(§ C)1.解：4216228281==⨯=； (2)2626262322===； .1313213121113144121169144121169144121)6(;103010900109009000)5(;28264264128)4(;530530530562.1)3(22=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=====2.解：(1);252322232429241882=+=⨯+⨯=⨯+⨯=+.665636266362663626632236)5(;2342425322162253221622592325092)4(;5514555356553554355955435145203)3(;88343431634231634248122)2(222222-=--=--=--=--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯+=-+=--=-⨯-⨯⨯=-⨯-⨯=--=+=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=+Ⅳ.课时小节本节课我们学习了如下内容：1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b aba =(a ≥0,b ＞0) 或法则的逆运算的总结. 3.能用上述式子正确地进行化简. Ⅴ.课后作业 习题2.10. Ⅵ.活动与探究 化简： (1)221++x x ;(2)765125.0c b a ;(3)222432y x y x x y +; (4)23164a a +.解：(1)222221)1(212212===++=++x x x x ; (2)ac c b a c b a c b a 214181125.0664765765⋅==.4244)4(4164)4(;111)1()3(;2412221222122121)21(21)21(22232223222322223222432222432332332233233223322332+=+⨯=+=++=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅=a a a a a a a a x xyy x x x y y x x x y y x x x yy x x x y y x y x x y ac c b a ac c b a ac c b a ac c b a acc b a ac c b a●板书设计。

完整版)实数培优专题实数培优拓展1、利用概念解题：例1.已知：$M=b^{-1}a+8$是$a+8$的算术数平方根，$N=2a-b+4b-3$是$b-3$的立方根，求$M+N$的平方根。

练：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是多少？34x-3y=-2，求$x+y$的算术平方根与立方根。

2.已知$x+2y=3$，求$(x+y)x$的值。

3．若$2a+1$的平方根为$\pm3$，$a-b+5$的平方根为$\pm2$，求$a+3b$的算术平方根。

例2、解方程$(x+1)^2=36$.练：（1）$(x-1)^2=9$（2）$(x+1)^2=25$2、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是$2a-1$和$a-11$，求这个数．变式：①已知$2a-1$和$a-11$是一个数的平方根，则这个数是多少；②若$2m-4$与$3m-1$是同一个数的两个平方根，则$m$为多少。

例2．若$y=3-x+x-3+1$，求$(x+y)x$的值。

例3．$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义：⑴⑵⑶⑷例4．已知$31-2x$与$33y-2$互为相反数，求$\frac{1+2x}{y}$的值。

例5.若$(a+3)^2=3+a$，则$a$的取值范围是多少？例6.对于每个非零有理数$a,b,c$，式子$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$的所有可能的值是什么？练：1.若一个正数$a$的两个平方根分别为$x+1$和$x+3$，求$a$。

2.若$(x-3)^2+\frac{2005abcabc}{abcabc}$的值为$y-1=0$，求$x+y$的平方根。

3.已知$y=1-2x+4x^{-2}+2$，求$x$的值。

4.当$x$满足下列条件时，求$x$的范围：①$(2-x)^2=x-2$；②$3-x=x-3$；③$x=x^7$。

5.若$-3a=3y+2$，求$a$与$y$的大小关系。

3、利用取值范围解题：例1.已知$2\leq x\leq 5$，$3\leq y\leq 6$，求$\frac{(x+y)^3-20}{7}$的取值范围。

北师大版八年级实数复习培优教案学科： 数学 年级： 七年级 任课教师： 授课时间： 教学 课题实数复习教学 目标 1、理解掌握无理数、平方根、算数平方根、立方根和估算的概念及相关知识点； 2、掌握实数的分类；理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式。

教学 重难点 重点:平方根、算数平方根、立方根和二次根式。

难点:平方根、算数平方根、立方根和二次根式。

教学过程知识点：一、无理数的概念1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来；任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2、无限不循环小数叫做无理数。

3、有理数和无理数统称实数。

二、平方根和算术平方根1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个x 就叫a 的平方根；表示为±a ；也叫二次方根。

只有非负数才有平方根。

2、算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ；即x 2=a ；则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

记为“a ”读作“根号a ”。

算术平方根都是非负数。

三、立方根立方根：如果一个数x 的立方等于a ；这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根）；即如果3x a =；那么x 叫做a 的立方根。

任何数都有立方根。

四、二次根式形如a 的式子；叫做二次根式。

（0≥a ） 1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==02a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ；③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ； ④()0,0>≥==b a b abba b a ； ⑤()()b a b a b a --=-=1； ⑥b a b a -+=1．五、最简二次根式被开方数中不含分母；并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式；像这样的二次根式成为最简二次根式。

最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母；小数；③分母不含有根号。

被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。