2014高三数学综合训练--信息迁移型综合问题

2014年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三数学综合训练三一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数112z i =-，21z i =+，则复数12zz z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法不正确的是( ) A ．“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题C ．212,0,a R x x a x x ∃∈++=使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真D ．△ABC 中，A 是最大角，则22sin sin B C +<sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件3．已知31)6sin(=-πα，则)3cos(απ+的值为（ ） A ．322 B．322-C ．31 D ．31- 5.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）等于（ ） A.18 B. 14 C. 25 D. 126.7.实数对（x,y ）满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎛+-≥-≤⎝若目标函数3,1z kx y x y =-==在时取最大值，则k 的取值范围是( )A ．1(,)[1,)2-∞-+∞ B ．1[,1]2- C ．1[,)2-+∞ D ．(,1]-∞-8.在等差数列{n a }中，111,,n n a a a +=是方程21(21)0nx n x b -++=的两个根，则数列{n b }的前n 项和n S 等于（ ） A.121n + B.11n + C. 21n n + D. 1nn + 9.若1(,1)x e -∈，ln ln 1ln ,(),2xx a x b c e ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. b a c >>10.焦点在x 轴上的双曲线12222=-by a x 的两条渐近线与抛物线12+=x y 相切,则双曲线的离心率为( )A 5 B.25 C. 2 D.552 11.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为( ) A ．9π B ．3π C ． D ．12π12.如图，偶函数()f x 的图像形如字母M ,奇函数()g x 的图像形如字母N ，若方程：(())0,(())0,(())0,(())0f f x f g x g g x g f x ====的实数根的个数分别为,,,a b c d ，则a b c d +++=（ ） A ．27 B ．30 C ．33 D ．36二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知2log (24)m -+2log (4)n -=3，则m n +的最小值为 .14．设204sin n xdx π=⎰，则二项式1()n x x-展开后的常数项是 .15.定义在R 上的连续函数)(x f y =，对任意x 满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x ->， 则下列结论正确的有① 函数)23(+=x f y 为偶函数， ② 若12x x <且123x x +=，则12()()f x f x < ③ (sin14cos14)f f >+ ④ 若0)5()23(<f f ，则)(x f y =有两个零点16.已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ,若函数(4)(1)log ay x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为三．解答题：本大题共5小题，共60分17. (本题12分)设函数f (x )＝x 2，过点C 1(1，0)作x 轴的垂线l 1交函数f (x )图象于点A 1，以A 1为切点作函数f (x )图象的切线交x 轴于点C 2，再过C 2作x 轴的垂线l 2交函数f (x )图象于点A 2，…，以此类推得点A n ，记A n 的横坐标为a n ，n ∈N *. (1)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式； (2)设直线n l 与函数()g x =12logx 的图象相交于点n B ，记n n n b OA OB =⋅(其中O 为坐标原点)，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (本题12分)某批发市场对某种商品的日销售量（单位：）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中的b a ,的值；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ()x利润的和(单位:千元)求ξ的分布列和期望.19.（本题12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=． （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．20．（本小题满分12分）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，右准线为,21:=x l 一条渐近线的方程是.3x y =过双曲线C 的右焦点F 2的一条弦交双曲线右支于P 、Q 两点，R 是弦PQ 的中点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若在l 的左侧能作出直线m:x=a ，使点R 在直线m 上的射影S 满足0=⋅QS PS ，当点P 在曲线C 上运动时，求a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设)()()(x g x f x F +=。

以下是⽆忧考为⼤家整理的关于《⾼三数学期末考试综合质量分析》的⽂章，供⼤家学习参考！　⼀、试卷总体分析： 本次⾼三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能⼒的考查。

从考⽣的反映看，试题难度适中，最后两道⼤题考查深⼊，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应⽤，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想⽅法以及通性、通法的考查，注重认识能⼒的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能⼒。

——深化能⼒⽴意，在知识的交汇点处命制试题试题在利⽤选择题、填空题和解答题的前四道考查基础知识的同时，设置了⼏道把关的数学解答题，试题中较容易的是17题、18题、19题和20题，考查的内容分别是三⾓、概率、空间⼏何和导数与函数，重点考查了降低要求的概率和空间⼏何。

试卷的两道题难度较⼤，第21题是数列题，第22题是圆锥曲线题。

本次摸拟考试数学试题注重综合性、应⽤性、探索性、开放性等能⼒型题⽬的考查，充分体现了能⼒⽴意，在考查学⽣数学基础知识、数学思想和⽅法的基础上，以逻辑思维能⼒为核⼼，同时考查了学⽣的学习能⼒、运算能⼒、空间想像能⼒、应⽤能⼒、探究能⼒、分析和解决问题的能⼒和创新能⼒，同时加强对思维品质的考查。

试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和⽅法的考查，注重对数学能⼒的考查。

试题强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体⾼度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各⾃发展过程中各部分知识间的纵向联系，在知识络交汇点设计试题是本次模拟考试的⼜⼀道风景线，如试题很多涉及到两个或两个以上的知识点，第17题为向量与三⾓函数的交汇，第18题为概率与复数的交汇，第21题为数列与推理与证明的交汇，第22题为向量与解析⼏何的交汇。

本次模拟考试抓住知识络的交汇点，设计出具有综合性的新颖试题，以达到较全⾯的考查考⽣的数学基础和数学素养的⽬标。

问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况． 若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)． 【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是2本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)． （2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)． 【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种 【答案】B【解析】分两步进行分析:先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ） A. 9 B.10 C.11 D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种. 【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）． 【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种； 故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 （1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？ 【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)．【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用． 【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种 【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*)则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．【点评】 （1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决． （2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）A.4100a =B.()21210n n a a n N ++=∈C.()22110n n a a n N -+=∈D.以上说法都不正确 【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知2~(3,)N ξσ，若(2)0.2P ξ≤=，则ξ≤P(4)等于( )A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.02. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 ( )4.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.5.【江苏省阜宁中学2014届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】在圆22＋＝--(2)(2)4x y内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. .【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.732三．拔高题组1. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．考点：排列组合，分布列，期望.2.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分考点：概率，分布列，期望.3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)．(Ⅱ) 设“每次同时摸2个,恰好中奖”为事件B ，则75C C )(27141323=+=C C B P随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分4314716075175)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ， 42224760075175)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 43347100075175)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 4444762575)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，……10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望240168607625471000376002716014444=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……14分 考点：组合公式、概率，分布列，期望4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23. (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)81. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.5.【2014届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

高三数学排列组合综合应用试题1.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．2. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有＝120(种)方法．3.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合，容易题.4.选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 .【答案】240【解析】先将5人分成4组每组至少一人，即一组2人另三组个1人，共有种不同分法，然后再将这四组分到四项活动中去共种分法，根据分步计数原理可得此项活动的不同的选派方法共有种。

【考点】排列组合。

5.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。

统计综合问题课后练习题一：某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样题二：某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法（ ）①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样A ．②③ B．①③ C．③ D．①②③题三：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．367C ．36D ．677题四：已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．①若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；②分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．题五：某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A ．②③都不能为系统抽样B ．②④都不能为分层抽样C ．①④都可能为系统抽样D ．①③都可能为分层抽样题六：从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，6，16，32题八：某人才市场2004年上半年应聘和招聘人数排名前5个类别的情况如下图所示，若用同一类别中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该类别的就业情况，则根据图中信息，下列对就业形势的判断一定正确的是（）提示：请注意理解图片是应聘和招聘人数排名前5个类别的情况．A．医学类好于营销类 B．金融类好于计算机类C．外语类最紧张 D．建筑类好于法律类题九：已知数据x1，x2，…，x n的平均数是4，则一组新数据x1+7，x2+7，…，x n+7的平均数是．题十：已知两组数x1, x2,…, x3和y1, y2,…, y3；它们的平均数分别是a和b．分别求下列各组新数据的平均数：（1）5x1，5x2，…，5x n；（2）x1y1，x2y2，…，x n y n；题十一：一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A．13, 12 B．13, 13 C．12, 13 D．13, 14题十二：抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：1次的那位运动员成绩的方差为题十三：一般地，家庭用电量y（千瓦）与气温x（℃）有函数关系y=f（x）．图（1）表示某年12月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量．试在数集A={x|5≤x≤30，x 是2.5的整数倍}中确定一个最小值x1和最大值x2，使y=f（x）是[x1，x2]上的增函数，则区间[x1，x2]= ．题十四：某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．统计综合问题性课后练习参考答案题一： D ．详解：总人数为28+54+81=163．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162=2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本．题二： D ．详解：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．题三： B ．详解：根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，∴x ＝4．∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367．题四： ①2，10，18，26，34 ②62．详解：由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34．由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62．题五： D ．详解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．①中数据为7，37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样．②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样． ③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样．④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．故D 正确．题六： B ．详解：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k , k +d , k +2d , k +3d , k +4d ，其中d =50/5=10，k 是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B 满足要求．题七： D ．详解：本题综合考查统计部分的有关知识，通过统计表可以得到应聘人数与招聘人数，进而通过计算应聘人数与招聘人数的比值大小来衡量该行业的就业情况，比值越小越容易就业，比值越大越不容易就业，计算机行业比值为1.83；机械行业比值为2.29；营销行业比值为1.50；建筑行业为0；化工行业为0；而物流行业与贸易行业的比值为无穷大，所以此题应选D ．题八： D ．详解：因为同一类别中应聘人数与招聘人数比值越大的，说明该行业的就业形式越差；反之，比值越小的，说明就业形式越好，由此即可求出答案． 医学类的比值为7.11246021580=；外语类的比值为2.2891020030=； 金融类的比值为5.11029015460=；法律类的比值大于2.170408450=； 计算机类的比值大于65300.97040=；营销类的比值小于65300.97040=；建筑类的比值小于65300.857650=． 则一定正确的是建筑类好于法律类，故选D ．题九： 11．详解：由题意知，一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n 的平均数为（x 1+x 2+x 3+x 4+…+x n ）÷n =4∴x 1+7，x 2+7，x 3+7，x 4+7，…，x n +7这组数据的平均数为（x 1+7+x 2+7+x 3+7+x 4+7+…+x n +7）÷n=[（x 1+x 2+x 3+x 4+…+x n ）+7n ]÷n=（x 1+x 2+x 3+x 4+…+x n ）÷n +7=4+7=11．题十： (1)5a ；(2)a b ．详解：（1）第一组中各数据正好是原来数据的5倍，所以平均数也是原来的5倍，故这组数据的平均数为5a ；（2）第二组中各数据正好是原来两组数据的差，所以平均数也是原来两组数据的差，故这组数据的平均数为a b ．题十一： B ．详解：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B ．题十二： 2．详解：x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90， x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2． 由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．故答案为2．题十三： [20，30]．详解：先结合图形读懂题意，再找出图中随气温x（℃）增高家庭用电量y（千瓦）也增高的区间即可．观察两图中随气温x（℃）增高家庭用电量y（千瓦）也增高的是5月到8月，则y=f（x）在x∈[20，30]上的增函数，故答案为[20，30]．题十四：71．详解：由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95．所以本次考试数学成绩的平均分为x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．故填71．。

山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习（一）数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 4．已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9289．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．128011．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-12．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。