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§ 6.1 数列的有关概念分析解读本节知识一般和数列其他内容综合在一起出题熟练掌握.,考查数列的综合运用，作为数列的基础知识，需要五年高考考点一数列的概念及通项公式1. （2015 课标n ,16,5 分）设S n是数列｛a n｝的前n 项和,且a i=-1,a ”i=SS+i,则S= _________ .1答案-•'■2. （2013安徽理,14,5分）如图，互不相同的点A,A2,…,A n,…和B,Bz…,B n,…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A+1的面积均相等.设OA=a n.若a1=1,a 2=2,则数列｛a n｝的通项公式是_______________ .答案a n=23. (2015 重庆,22,12 分)在数列｛a n｝中,a 1=3,a n+1a n+ 入a n+计卩=0(n €N+).(1)若入=0,卩=-2,求数列｛a n｝的通项公式；] I I⑵若入=(k o€N+,k o》2),卩=-1,证明：2+ ' ' < <2+「’'.£命題技巧:「尹思想方迭｝方秤曲思想一命题探究e解菩过程）「Q思路分析）---------------设许出数列的坯比为场席论刊扫qHl,利书I恥锁和賢式列方裁51求版从而謝出〜禺核心考.旦〕----------------彎比数対的適项公式”冊4项和仝戎.等比数列恤」的齐项均为宴数.K F血I项和为％已知民一中・S舞，则斫(2017；^ 苏，% 5分｝本翹舟曲爭出散列的通顶公式，關”*和公式戌反运算我解能力一「9陨备知识〕------I,等氓数到的通卑舍式，2邯比数列帕愉1顼和公式.您命题规律: -----------------------魏列闽题1般书査尊嘗零比敷列的槪念，谄项聲式，册n项和金式習知训・以喪利用理推式fliWM,製项求和，删姑I瑟袪求网般具有数列待点的方祛，答索：32解祈：设毎比数列他J的公比为怡驾g=l时'気=3|1|”电=舸=25汕不符合題堂一“知・由聽KM泌匸也吕卑血=l-fl 4 1-?罟.解咼n产扌,g=2,则吁叩匚玖考点内容解读1. 数列的概念及通项公式2. 数列的前n项和及性质1. 求通项公式2. 数列性质数列前n项和的求法及简单运用五年咼考统计要求cc「常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017A填空题解答题A填空题解答题考纲解读解析 ⑴ 由入=0,(i= -2,有a n+i a n =F"(n €N +).若存在某个n o €N +,使得"叫=o,则由上述递推公式易得％1 =0.重复上述过程可得 a i =0,与a i =3矛盾，所以对任意n €N +,a n ^ 0. 从而a n+i =2a n (n €N +),即｛a n ｝是一个公比q=2的等比数列.n-1n-1a n =a i q =3 ・2 .丄⑵证明：若入」,卩=-i,则数列｛a n ｝的递推关系式变为右2 (a n+i a n + a n+i -=0,变形为 a n+i由上式及a i =3>0,归纳可得3=a i >a 2>・・・ >a n >a n+i > 0d — — + — / ” k 2 ir 2 f 11 1 1a + -—a + -——— -------------- 因为 a n+i =' ==a n -「+ • : ■所以对 n=i,2，…,k 0求和得=a i +(a 2-a i )+…+(-)=a i -k0> + •"- '>2+ •另一方面,由上已证的不等式知a i >a 2>・・・> >1 1----------- + -------------- + % + 1 2k 0 + 1=2+'综上，2+ '< <2+-'教师用书专用(4 — 6)4. (20i5四川,16,12分)设数列｛a n ｝(n=1,2,3,…)的前n 项和S 满足S n =2a n -a 1,且a i ,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；I’的前n 项和为T n ,求使得|T n -1|< 解析 (1)由已知S n =2a n -a i , 有 a n =S n -S n-i =2a n -2a n-i (n 》2), 即 a n =2a n-i (n >2).>2,得(2)记数列€N +).从而 a 2=2a i ,a 3=2a 2=4a i .又因为a i ,a 2+1,a 3成等差数列,即a i +a 3=2(a 2+1). 所以 a i +4a i =2(2a i +1),解得 a i =2.所以，数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列 故 a n =2n .1_丄(2)由(1)得「=专1■(I) In.,11 1 1 1 ■ ~~ -- I — .__-- 所以 T n = + +…+ ==1-.I 1由 |T n -1|< 1 000,得丄.1 c"--- n000,即 2n >1 000.9因为 2 =512<1 000<1 024=2 10所以n 》10. 于是，使|T n -1|^'"-1成立的n 的最小值为10.5. (2013 广东理,19,14 分)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n .已知 a 1=1, '• =a n+1- n 2-n- ,n €N *. (1) 求a 2的值;⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式；1 7⑶ 证明：对一切正整数n,有’+•+•••+' < .I 2解析 (1)依题意，得2S=a 2- -1-,又S=a 1=1,所以a 2=4.I 2(2) 当 n 》2 时,2S n =na n+1- n 3-n 2- n,I22S -1=(n-1)a n - (n-1) 3-(n-1) 2- (n-1),I2两式相减得 2a n =na n+1-(n-1)a n - (3n 2-3n+1)-(2n-1)-,岛+ i 叫 叫叫整理得(n+1)a n =na n+1-n(n+1),即 -=1,又 -山=1,自 冬故数列是首项为 =1,公差为1的等差数列，所以'=1+(n-1 ) x 1=n,所以 a n =n 2.丄 7⑶证明：当n=1时,'=1< ;1117 17=1+ + -=- <1 11 Y综上,对一切正整数n,有，+「+…+■' < .6. (2013 江西理,17,12 分)正项数列｛a n ｝的前 n 项和 S n 满足：-(n 1 2+n-1)S n -(n 2+n)=0. (1)求数列｛a n ｝的通项a n ；n + 1--------- T 7A⑵ 令b n =''：',数列｛b n ｝的前n 项和为T n .证明：对于任意的n €N *,都有T n <.« '22解析 (1)由-(n +n-1)S n -(n +n)=0,得 2[S n -(n +n)](S n +1)=0. 由于｛a n ｝是正项数列，所以 S>0,S n =n +n.22于是 a 1 =S=2,n 时,a n =S-S n-1 =n +n-(n-1) -(n-1)=2n.综上，数列｛a n ｝的通项a n =2n.n + 12 2⑵证明：由于a n =2n,b n =''',介 + 11 1则bn=4『5 + 2)=矗*【5中2)1 .考点二数列的前n 项和及性质1. _____________________________________________________________________________ （2016 浙江,13,6 分）设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n .若 S 2=4,a n+1=2S n +1,n €N *,则 a 1= ________________ ,S 5= _______ 答案 1;121n c" *2. (2013湖南理,15,5分)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和,S n =(-1) a n - ,n €N ,则(2)S 计Sa+…+S答案(1「(2)：3. (2013课标全国n 理，16,5分)等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n .已知S o =0,S i5=25,则nS 的最小值1 丄丄丄丄丄 ] 1 £ £T n= 1- + - + - + …+ ' - ' + -(1)a_L 丄 ± [丄丄+ + …+•‘ =1+ + +氓 22(n + 1?为________ .答—-49"4. (2017 课标全国川文,17,12 分)设数列｛a n｝满足a i+3a2+…+(2 n-1)a n=2 n.(1)求｛a n｝的通项公式；f | I⑵求数列的前n项和.解析(1)因为a计3a2+…+(2n -1)a n=2n,故当n>2时, a1+3a2+…+(2n -3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n=2.2所以a n=- - (n >2).2又由题设可得a1=2= ,从而｛a n｝的通项公式为a n=- (n €N ).⑵记的前n项和为S.a n 2 1 1由(1)知I = _••_ =，. I -_ ■■ II 1 1 I I I 亦则$=】§+§&+••计甌-斤+ + 1 .5. (2017 北京文,15,13 分)已知等差数列｛a n｝和等比数列｛b n｝满足acb1=1,a 2+a4=10,b 2b4=a5.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 求和:b 1+b3 + b5+…+b2n-1.解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式，数列求和.考查运算求解能力.(1)设等差数列｛a n｝的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n-1.⑵设等比数列｛b n｝的公比为q.3因为b2b4=a5,所以b1qb1q =9.解得q2=3.2n-2 n-1所以b2n-1 =b1q =3 .3" - 1从而b1+b3+b5+…+b2n-1 =1+3+32+…+3n1= 空.6. (2016四川,19,12分)已知数列｛a n｝的首项为1,S n为数列｛a n｝的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n €N*.(1) 若a2,a 3,a 2+a s成等差数列，求数列｛a n｝的通项公式;2 2 2 2⑵设双曲线X2」’=1的离心率为e n,且e2=2,求+ +•• •+ . 解析(1)S n+i =qS n+1,S n+2=qS n+i+1,两式相减得到a n+2=q3n+i ,n》1.又由S2=qS+1 得到a2=qa i,故a n+i=qa n对所有n>1都成立.所以，数列｛a n｝是首项为i,公比为q的等比数列.从而a n=q n-i.由a2,a 3,a 2+a3成等差数歹U ,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-i (n €N ).⑵由(i)可知,a n=q n-i.2y_所以双曲线x2」=i的离心率e n= = .由e2= =2解得q=.2 2 a2所以，+ +…+=(i+i)+(i+q 2)+…+[i+q 2(n-i)]2 2(n-i)=n+[i+q + …+q ]=n+ ；I=n+ (3 n-i).27. (20i5 课标I ,i7,i2 分)S n为数列｛a n｝的前n 项和.已知a n>0, +2a n=4S+3.(i)求｛a n｝的通项公式；⑵设b n=…,求数列｛b n｝的前n项和.2 •、解析(1)由+2a n=4S+3,可知+2a n+i=4S+i+3.2 2可得- +2(a n+i-a n)=4a n+i,目卩2 22(a n+i+a n)= ■；- - =(a n+i+a n)(a n+仁a n).由a n>0,可得a n+1 -a n=2.2又+2a i=4a i+3,解得a i=-i(舍去)或a i=3.所以｛a n｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为a n=2n+i.(6分) (2)由a n=2n+1 可知)=引如一1 亦 + 3丿bn=%% + 1=｛亦+ 1)(% + 3设数列｛b n｝的前n项和为T n,则T n = b i +b2+…+b nn二- .(12 分)教师用书专用(8 —13)8. (2016 北京,15,13 分)已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且b2=3,b 3=9,a i=b i,a "bt(1) 求｛a n｝的通项公式；⑵设C n=a n + b n,求数列｛C n｝的前n项和.空解析⑴等比数列｛b n｝的公比q= = =3,(1分)所以b1=. =1,b 4=b3q=27.(3 分)设等差数列｛a n｝的公差为d.因为a1=b1=1,a 14=b4=27,所以 1 + 13d=27,即d=2.(5 分)所以a n=2n-1(n €N *).(6 分)n 1(2) 由(1)知,a n=2n-1,b n=3-.因止匕C n=a n+b n=2门-1+3 - .(8 分)从而数列｛C n｝的前n项和n-1S=1+3+・. +(2n -1)+1+3+…+3n(l + 亦—1) 1 - 3ft■0 -1 -2 2-n 1-n2T n= +(3 +3 +3 + …+3 )-(n- 1) X3I —■ rt2 I -3 13 诙+ 3=3+1 - 3 ' -(n- 1) X31-n=§ -2 X3H,13血十3所以T n=- .经检验,n=1时也适合.13旅十令综上可得T n=l〔- .10. (2015 浙江，20,15 分)已知数列｛a n｝满足a1=且a n+1=a n- (n €N *).(1)证明:1 < < 2(n €N *);I 几I2. ----------------------------------------------------------- — -----------------------⑵设数列｛■ ｝的前n项和为S,证明：-「- < w- ' (n €N*).2证明⑴由题意得a n+1-a n=- < 0,即a n+1<a n,I故a n w .由a n = (1-a n-1 )a n-1 彳得a n =(1-a n-1 )(1-a n-2 )…(1 -a 1)a 1>0.t叫i= rt __ 2 - _由0<a n w ■得—'= ■ € (1,2],所以1w w 2.2⑵由题意得=a n-a n+1 ,所以S=a1-a n+1.①I 1 叫% 1 1由％+ L-耳=尙+ L 和 1 w 务+ L W2 得 1 W % 十I -% W 2,[ 丄所以n d — w 2n,I [因此巩科+ L)wa n+&就+ 2(n €N*).②I S n I由①②得-w ■ w- " (n €N*).11. (2014 江西,17,12 分)已知首项都是1 的两个数列｛a n｝,｛b n｝(b n 丰 0,n €N*)满足a n b n+1-a n+1b n+2b n+1b n=0.(1)令C n =：,求数列｛C n ｝的通项公式；⑵ 若b n =3n-1,求数列｛a n ｝的前n 项和S n .解析 (1)因为 a n b n+i -a n+i b n +2b n+i b n =0,b n M 0(n €N ),an 4 L叫Z ------ T~所以 -'=2,即 C n+1-C n =2.因为 a i =b i =1,所以 c i = =1,所以数列｛C n ｝是以1为首项,2为公差的等差数列， 故 C n =2n-1.(2) 由 b n =3n-1 知 a n =C n b n =(2n-1)3 n-1,12n 1 于是数列｛a n ｝的前 n 项和 S=1 .3 +3 .3 +5 .3 + …+(2 n-1) ^3 -, 12n 1 n3S=1 ・3 +3 ・3 + …+(2n - 3)・3 - +(2n- 1)・3 , 相减得-2S n =1+2 - (3 3+34+…+3n-1 )-(2n- 1)・3n =-2-(2n-2)3 所以 S=(n-1)3 n +1.12. (2014山东,19,12分)已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S,且S,S 2,S 4成等比数列 (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；4n⑵ 令b n =(-1) n-i '：,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .2 X 1解析 (1)S 1=Q,S 2=2a 1+x 2=2a 1+2,4X3S=4a 1+ x 2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2) =a 1(4a 1+12), 解得 a 1=1,所以 a n =2n-1.3 2n=1_血 + 1=2呛■+ 1 当n 为奇数时，C f ___________________ )f _______________ i竺二Tn = 引_乜切+...二刼-彳+刼-1 丿 +1 刼-1 翠n + 1 / =1^ + 1. =2n ■+ 14 b n =(-1) n-1"「 ’=(-1) n-1 - A -=(-1)当n 为偶数时,I 2n -2n + 1所以T n =13. （2014 课标 n ,17,12 分）已知数列｛a n ｝满足 a i =1,a n+i =3a n +1.(1)证明’■'是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式R5 (叫 +1)解析 (1)由 a n+1=3a n +1 得 a n+1+ =3 .又a 1+ =,所以 是首项为,公比为3的等比数列I 3^ 3" - 1 a n + =,因此｛a n ｝的通项公式为 a n = .⑵证明：由(1)知:’=.因为当n 》l 时,3 n -1 >2X3n-1,所以 <1 1丄 1 丄樂一丄]3 于是珂+巴+.计珀三1+畀.计3"捫！ &丄丄 丄？所以.+' +•••+' < .三年模拟A 组 2016—2018年模拟•基础题组考点一数列的概念及通项公式I].......... .… 「一 - *1. (2018江苏常熟高三期中)已知数列｛a n ｝,｛b n ｝满足a 1 = ,a n +b n =1,b n+1= " (n €N ),则答案2. __________________________________________________________ (苏教必5, 二 ,1,变式)下面有三种说法，其中正确的说法是 _____________________________________________ (填序号). ① 数列a,a,a,…是无穷数列；2n \2n + ] \ 2n②数列｛f(n)｝可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集｛1,2, -,n｝的函数值③ 已知数列｛a n ｝，则数列｛a n+1-a n ｝也是一个数列• 答案①③ 3.（苏教必5, 二,1,变式）已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =19-2n,则使a n >0成立的最大正整数 n 的值为 ________ . 答—9—4. （2017江苏宿豫中学模拟）数列｛a n ｝满足a n+i = ' ,a 8=2,则a i =答案 I5. (2016 江苏苏州一模,19)已知数列｛a n ｝满足:a 1= ,a n+i -a n =p ^3 n-1 -n q,n €N *,p,q € R. (1)若q=0,且数列｛a n ｝为等比数列，求p 的值；⑵若p=1,且a 4为数列｛a n ｝的最小项，求q 的取值范围.n 1解析 (1) T q=0, /-a n+1-a n =p ・3 -,II/•a 2=a 1+p= +p,a 3=a 2+3p= +4p,当 p=0 时,a n+1=a n , /.a n =2,符合题意；n 1当 p=1 时,a n+1-a n =3 -,JI - 1I1 1 - 3 I•/当 n 》2 时，a n =a 1+(a 2-a "+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1 )=-：+(1+3 — 3 )= +=・3又Ta 1=乂 =2 X31-1,/・a n =? ・3n-1. •/叫=3.符合题意. •/ p=0 或 p=1.(2) 若 p=1,贝U a n+1-a n =3n-1 -nq,II•/当 n 》2 时，a n =a 1+(a 2-a"+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1 )= +(1+3+…•+ 3n-2)- [1+2+ …+(n -1)]q= [3 n-1 -n(n-1)q], I 1 I•.•a1&』[31-1-1X (1 -1)q], /.a n = [3n-1- n(n-1)q].•••数列｛a n ｝的最小项为a 4, •••对任意的n €N *, I I 有[3 n-1 -n(n- 1)q] >a 4= (27-12q)恒成立, 即3 -27>(n -n-12)q 对 任意的n €N 恒成立.13 当 n=1 时，有-26》-12q, /q > ; 12 当 n=2 时，有-24》-10q, /q > ;当n=3时，有-18》-6q, /q 》3; 当 n=4 时,有 0》0, /• q € R;当n 》5时,n 2-n-12>0,所以有q w「 恒成立，由数列｛a n ｝为等比数列，得p=0 或 p=1.3B 1- 272 *令C n=：：—- !；(n > 5,n €N ),2(n2- 2n - 12)3" " 1 + 54n2 2则C n+1-C n= ：* A：'：：门>0,即数列｛c n｝为递增数列,••• q Wc 5= •.27综上所述,3 w q< '.考点二数列的前n项和及性质6. （2018江苏无锡期中）在等差数列｛a n｝中，已知a i+a3=0,a 2+a4=-2,则数列’'的前10项和是_________ .5答案_X7. （2016江苏泰州一模，12）f（x）是R上的奇函数，当x>0时,f（x）=2 x+ln ,记a n=f（n-5）,则数列｛a n｝的前8项和为_________.答案-16B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:40分时间:20分钟）一、填空题（每小题5 分,共25分）1. （苏教必5, 二,1,变式）数列｛a n｝满足对任意的n €N+,均有a n+a n+1+a n+2为定值.若a7=2,a 9=3,a 98=4,则数列｛a n｝的前100项的和S1 00= ・答案299| （3 - 一 3. w W 732. （2017江苏启东中学月考，9）设a>0,若a n= 且数列｛a n｝是递增数列，则实数a的取值范围是_________.答案（2,3）3. （2017江苏泰州中学质量检测）数列｛a n｝定义如下：a1=1,a2=3,a n+2= ' - - a n,n=1,2,….若2 016a m>4+ :,则正整数m的最小值为__________ .答案8 0694. （2017江苏苏州期中）已知数列｛a n｝满足:a n+1=a n（1£n+1）,a 1=1,数列｛b n｝满足:b n=a n •a n+1,则数列｛b n｝的前10项的和S10= _______ .Id答案b25. （2017江苏华罗庚中学调研,13）已知正项数列｛a n｝满足a1=1,数列｛b n｝为等比数列，且a n+1=b n •a n,若；L=2,则a22= _______.21答案、解答题（共15分）6. (2016江苏南京、盐城二模，20)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且对任意正整数 n,都有an =(-1) 9+p n (p 为常 数，且p z 0).(1)求p 的值；⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 设集合A=｛a 2n-i ,a 2n ｝,且b n ,C n €A n ,记数列｛nb n ｝,｛nc n ｝的前n 项和分别为P n ,Q n .若b i Zc i ,求证:对任意 n €N ,P n MQ n .p解析 (1)由 a i =-S i +p,S i =a i ,得 a i =.p由 a 2=S a +p,得 a i =-p 2,所以 =-p 2. 又p z 0,所以p=_ •.①+②得 当 n 为奇数时,a n +a n+i =a n+i - x 所以a n =-当 n 为偶数时,a n +a n+i =-a n+i + x 1n(i) 所以 a n =-2a n+i+ x =2x - 所以a n =2n+ 12小为制数』亡N * 2⑶证明：由⑵可知Ai=111I 1 .n' n7 7° ,由b i zc i ,得b i 与c i 一正一负,不妨设b i >0,则b i 』，c i =」F n =b 计2b 2+3b 3+…+nb n > -(2)由 a n =(-i)彳得 a n+i =(-I),②a n +a n+i =(-I)■+43所以对任意n €N ,P n ^Q nC 组 2016—2018年模拟•方法题组方法1用归纳法推出数列的通项公式1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式 (1) 3,5,9,17,33,…；2 46 8 10(2) 3,1酉，亦,63,99,…； (3) 0.8,0.88,0.888,解析 (1)联想数列2,4,8,16,32,…,即数列｛2n ｝,可得该数列的通项公式为a n =2n +1.⑵分子为连续正偶数，分母为1X 3,3 X 5,5 X 7,7 X 9,9 X 11,…,得a n = ■-"方法2利用S n 与a n 的关系进行a n 与S n 的转换2. ________ (2016江苏宿迁三校学情调研,12)记数列｛a n ｝的前n 项和为S n .若a 1=1,S n =2(a 计a n )(n A 2,n €N *),则 S= ___ . 答案2-2n-1 方法3由递推关系求数列的通项公式23. 在数列｛a n ｝中,已知a 1=1,a n+1= a n +1,求｛a n ｝的通项公式2 I解析 设a n =th+入，则b n+1= b n -入+1, 令-入+仁0,得 入=3.2 2此时,a n =b n +3,且b n+1= b n ,所以｛b n ｝是以4=印-3=-2为首项，为公比的等比数列方法4数列的单调性和最大(小)值4.数列｛a n ｝的通项a n = ____________ ,则数列｛a n ｝中的最大项是1答案3 £ £1_ * i i两式相减得 S= + +…+ -=W +W x1叶7 [ ]叶7I -= - x - < .所以S< X =,所以RA ■-2.1 1 71.nl -==J ' >1 - 3£ =L8 >0.因为Q=C I +2C 2+3C 3+…+nC n W - +S<- + =-｝：- <0,⑶ 将数列变形为(1-0.1), (1-0.01),(1- 0.001), 因此，b n =-2X n n 一 从而 a n =3-2X ：…,.・a若没有，请说明理由解析解法一：有最大项.当n<9 时,a n+i-a n>0,即a n+i>a n；当n=9 时,a n+i-a n=0,即a n+i=a n；当n>9 时,a n+i-a n<0,即a n+i<a n,•••该数列中有最大项，为第9、i0项,a9=a io= .严—i尊/少$乩解法二：有最大项.根据题意，令’c(H)荃(n + °(H)/10i n/10A5 +叫詁M 5十2)(n)即又n €N *, • n=9 或n=i0,10l°•该数列中有最大项，为第9、i0项.a 9=a io= .: 2+1-3=n2+ .(13 分)9. (2015山东,18,12 分)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S=3n+3.(1) 求｛a n｝的通项公式；⑵若数列｛b n｝满足a n b n=log 3a n,求｛b n｝的前n项和T n. 解析(1)因为2S=3n+3,所以2a1=3+3,故ap3,当n>1 时,2S n-1 =3n-1 +3,此时2a n=2S n-2S n-1 =3n-3 n-1 =2X3n-1,即a n=3n-1,f 3- = 1.l3T' _n > 1.所以a n=(2) 因为a n b n=log s a n,I所以b1=,当n>1 时,b n=31-n log a3n-1 =(n- 1)・3 * 1一n.I所以T1=b1=;当n>1时，I-1 -2 1-n• a n+i-a n=(n+2) -(n+1) x ::1 0L O解得9< n w i0.T n=b1 +b2+b3+…+b n= +[1 X3 +2X3 + …+(n -1) X3 ], 所以3T n=1+[1 X3 0+2X3-1+…+(n -1) X32-n], 两式相减，得。
6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1 > a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1 < a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是.(填序号) ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列. 答案 ①②④解析 题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确. 2.(教材改编)数列1,2，7，10，13，…中的第26项为. 答案 219解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.3.(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5＝.答案 23解析 a 2＝1＋－12a 1＝2， a 3＝1＋－13a 2＝1＋－12＝12， a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－1a 4＝23. 4.(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝.答案 12解析 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·某某模拟)数列1,3,6,10，…的通项公式是. (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的通项公式是a n ＝.答案 (1)a n ＝n n ＋12 (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例2 (1)(2016·某某模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式. ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式. ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1； (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，则其通项a n ＝；若它的第k 项满足5<a k <8，则k ＝.答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 (2)2n －10 8解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，n ＝1，2n －10，n ≥2.又∵－8也适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10，n ∈N *. 由5<2k －10<8，∴7.5<k <9，∴k ＝8. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2).又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *). (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22.n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22.n n -(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列. (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列. (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解. (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解. (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是数列.(填“递减”“递增”或“常”) 答案 递增 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列. 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值 例6 若数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是.答案119解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)(2016·某某模拟)若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为.(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是. 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第项.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值X 围是.思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *， 所以k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是.答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2.(2016·某某模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立.若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n(n ∈N *)，则a 2 015的值为. 答案 4 029解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.3.(2016·某某月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和为. 答案 33解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4.若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018＝. 答案 3 解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝.答案 10解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝. 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.(2016·某某期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝.答案 8解析 因为b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，所以b 2＝a 3－a 2＝b 3－1＝－3，所以b 1＝a 2－a 1＝b 2－1＝－4，三式相加可得a 4－a 1＝－9，所以a 1＝a 4＋9＝8.10.在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝.答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{}的增减性.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2).∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23n ＝1，1n n ≥2.(2)∵＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴＋1－＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{}是递减数列.12.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值X 围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
