正方形的判定与性质培优

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是 ；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是 ；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标； （3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ． （1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩， 当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）． 点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）； 【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==， 设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。

正方形中的中点问题专题培优
简介
正方形是一种常见的几何图形，其四条边长度相等且四个角均为直角。

正方形具有许多有趣的属性和特点，其中之一是正方形中的中点问题。

问题描述
正方形中的中点问题是指一个正方形内部的任何一点，与正方形四个顶点连线的中点的连线长度始终相等。

解决方法
方法一：直线相等性
根据直线相等性原理，如果一个点与两个端点连接时，两条线段的长度相等，那么这两条线段的中点的连线长度也相等。

因此，我们可以利用该原理解决正方形中的中点问题。

方法二：对称性
正方形具有对称性质，即任何一条对角线的中点与正方形的中心重合。

因此，对于任意一点，我们可以通过连接该点与对角线的中点和正方形中心，得到等长的线段。

应用场景
正方形中的中点问题在几何学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在二维几何中，可以利用该问题解决关于正方形中点的定位和距离计算问题。

在物理学中，正方形中的中点问题可以应用于力学和电磁学等领域，帮助解决相关问题。

结论
正方形中的中点问题是一个有趣且常见的几何问题，可以通过直线相等性和对称性原理进行解决。

该问题在几何学和物理学中有广泛的应用，对研究和实际应用具有重要意义。

正方形的性质及判定知识归纳1. 正方形的定义: 有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形. 它具有前三者的所有性质: ① 边的性质: 对边平行, 四条边都相等． ② 角的性质: 四个角都是直角.③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角. ④ 对称性：正方形是中心对称图形, 也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系: （如图） 3. 正方形的判定判定①: 有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点: 正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1: 如图, 已知正方形 的面积为 , 点 在 上, 点 在 的延长线上, 且, 则 的长为FE D CBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边的中点, , 分别为 , 边上的点, 若 , ,, 则 的长为 .变式2: 将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放, 点 分别是正方形的中心, 则 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为例2: 如图, 是正方形 对角线 上的一点, 求证: .EDCBA变式1: 如图, 为正方形 对角线上一点, 于 , 于 .求证: .F EPDCB A例3: 如图, 已知 是正方形 内的一点, 且 为等边三角形, 那么PDCBA变式1: 如图, 已知 、 分别是正方形 的边 、 上的点, 、 分别与对角线 相交于 、 , 若 ,则 .变式2: 如图, 四边形 为正方形, 以 为边向正方形外作正方形 , 与 相交于点 ,则FEDCBA例4: 如图, 正方形 的边 在正方形 的边 上, 连接 , 求证: .GC FEDBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边上的一点, 为 延长线上的一点, , , 求的度数.BDCAEF变式2: 已知: 如图, 在正方形 中, 是 上一点, 延长 到 , 使 , 连接 并延长交 于 .（1）求证: ；（2）将 绕点顺时针旋转 得到 , 判断四边形 是什么特殊四边形？并说明理由．例5: 若正方形 的边长为 , 为 边上一点, , 为线段 上一点, 射线 交正方形的一边于点 , 且 , 则 的长为 .ABCDEF EG变式1: 如图1, 在正方形 中, 、 、 、 分别为边 、 、 、 上的点, , 连接 、 , 交点为 .⑴ 如图2, 连接 , 试判断四边形 的形状, 并证明你的结论；⑵ 将正方形 沿线段 、 剪开, 再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形 的边长为 , , 则图3中阴影部分的面积为_________ ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA变式2: 如图, 正方形 对角线相交于点 , 点 、 分别是 、 上的点, , 求证: （1）；（2） . BO D CAQP例6: 如图, 正方形 中, 是 边上两点, 且 于 , 求证:G FEC DBA变式1: 如图, 点 分别在正方形 的边 上, 已知 的周长等于正方形 周长的一半,求 的度数NMDCBA变式2: 如图, 设 正方形 的对角线 , 在 延长线上取一点 , 使 , 与交于 , 求证: 正方形的边长.HEGCDFBA例7: 把正方形 绕着点 , 按顺时针方向旋转得到正方形 , 边 与 交于点 （如图）.试问线段 与线段 相等吗？ 请先观察猜想, 然后再证明你的猜想.GCHF EDB A变式1: 如图所示, 在直角梯形 中, , , 是 的垂直平分线, 交 于点 , 以腰为边作正方形 , 作 于点 , 求证 .lPM FE DC BA二、正方形的判定例1: 四边形 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 , 求证: ⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形 为平行四边形, 则四边形 为矩形.⑶四边形 为长方形, 则四边形 为正方形．HEFG DCBA变式1: 如图, 已知平行四边形 中, 对角线 、 交于点 , 是 延长线上的点, 且 是等边三角形. ⑴ 求证: 四边形 是菱形；⑵ 若 , 求证：四边形 是正方形．OEDCBA变式2: 已知: 如图, 在 中, , , 垂足为点 , 是 外角 的平分线, , 垂足为点 .⑴ 求证: 四边形 为矩形；⑵ 当 满足什么条件时, 四边形 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA例2: 如图, 是边长为 的正方形, 是内接于 的正方形, , 若 则 =H GFEDCBA例3: 如图, 若在平行四边形 各边上向平行四边形的外侧作正方形, 求证: 以四个正方形中心为顶点组成一个正方形.PRQ S NMFEDCBA1. 附加题:如图, 在线段 上, 和 都是正方形, 面积分别为 和 , 则 的面积为GFEDCB A如图, 在正方形 中, 、 分别是 、 的中点, 求证: .MFEDCBA如图, 正方形 中, 是对角线 的交点, 过点 作 , 分别交 于 , 若 , 则 OFE DC BA如图所示, 是正方形, 为 上的一点, 四边形 恰好是一个菱形, 则 ______.ABCDEF。

正方形的性质与判定教学目标：①：正方形的性质；②：正方形的判定；③关于正方形的轴对称性；④关于正方形的中心对称性；⑤正方形中关于角度、边长的计算；⑥正方形与中点问题；⑦正方形与旋转；⑧正方形中几何操作探究；⑨正方形与动点问题；⑩正方形与坐标系； 教学过程：一、关于正方形中的角度边长的计算：1、已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为 ； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的面积是16. ⑴求正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标;（2）直线y ＝2x ＋8交x 轴于E ，交y 轴于F ，它沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t 秒，问是否存在t 的值，使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由;（3）如图，点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外），PM ⊥PO ，交直线AB 于M ，给出下列两个结论：①PCBM的值不变；②PC AM 的值不变；其中有且只有一个结论是正确的，请你选出正确的结论，予以证明并求其值.F E O x yD C BA PMOxy CB AA B CDABCDABC DFGEFGEF GEO FE D C B A 图③ 3、如图①，正方形ABCD 中，∠FOE=90°,顶点O 与D 点重合，交直线BC 于E ，交直线BA 于F.(1)求证：OF=OE;(2) 如图②,若O 点在射线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？画出图形,直接写出结论.（3）如图③，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°且绕点O 旋转,交BC 、CD 边于F 、E 点.⑴中的结论是否仍然成立?请说明理由.4、若正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 边上一点，BE=4，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的AD 边于点F ，且BF=AE ，则BM 的长为（ ）A. 132B. 13C.131312D. 13131213或5、如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程01272=+-x x 的两个根，且OB OA >。

正方形知识点：正方形综合1、如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．知识点：手拉手相关1、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．3、如图①，若四边形ABCD和四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE。

（1）当正方形GFED绕点D旋转到如图②的位置时，AG=CE是否成立?若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由（2）若正方形GFED绕点D旋转到如图③的位置(点F在线段AD上)时，延长CE交AG于点H,交AD于点M,①求证:AG⊥CH;②当AD=4, DG=2时，求CH的长；（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A, G, D, N为顶点的四边形为平行四边形的点N?如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度;若不存在，请说明理由。

知识点：半角相关1、如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边BC上，且BE=2CE.将△DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG, BF。

下列结论:①△DAG≅△DFG;②DG//BF;③EG=10;④S△BEF=9.6。

其中所有正确结论的序号。

(填序号).2、如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E为CD上一动点，AE交BD于点F,过点F作FH⊥AE于点F,过点H作GH⊥BD于点G,下列有四个结论:①AF=FH, ②∠HAE=45°, ③BD=2FG, ④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有。

(填序号)3、如图①，已知正方形ABCD, △AMN是等腰直角三角形，∠AMN=90°,当Rt△AMN绕点A旋转时，边AM, AN 分别与BC(或延长线），CD(或延长线)相交于点E, F,连接EF,小明与小红在研究图①时，发现有这么一个结论:EF=DF+BE，为了解决这个问题，小明与小红经过讨论，采取了以下方案:延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,得到图②.请你根据小明、小红的思路，结合图②，解决下列问题（1）求证:①△ADF≅△ABG; ②EF=DF+BE；（2）根据图③，①结论EF=DF+BE是否成立?如不成立，写出三线段EF, DF,BE的数量关系并证明.②若CE=6, DF=2,求正方形ABCD的边长。

正方形专题练习一1、下列说法不正确的是（）A、一组邻边相等的矩形是正方形B、对角线相等的菱形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、有一个角是直角的平行四边形是正方形2、给出下列4个命题中，正确的个数为（）①平行四边形的对角线相互垂直平分；②两条对角线互相垂直的矩形是正方形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．A、4B、3C、2D、13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤C、①②⇒⑥D、②③⇒④4、顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、对角线互相垂直的等腰梯形5、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部整点个数为（）A、64 B、49 C、36 D、2S6、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是（）A、①③④B、①②⑤C、③④⑤D、①③⑤7、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A、10 B、12 C、14 D、168、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（）A、10°B、15°C、20°D、12.5°10、已知三个边长分别为10，6，4的正方形如图排列（点A，B，E，H在同一条直线上），DH交EF于R，则线段RN的值为（）A、1B、2C、2.5D、39、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）A、仅小明对B、仅小亮对C、两人都对D、两人都不对10、如图，E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE=BF=CG=DH=31AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比 为（ ） A 、52 B 、94 C 、21D 、5311、用边长为1的正方形纸板，制成一幅七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）A 、83 B 、167 C 、21 D 、4312、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A 、S 1＞S 2B 、S 1=S 2C 、S 1＜S 2D 、S 1、S 2的大小关系不确定 （二）填空题：13、如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点B 、D 作DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE=4，BF=3，则EF 的长为 ________________. 14、如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为_______________．15、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线A 1C 和OB 1交于点M 1；以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2M 1，对角线A 1M 1和A 2B 2交于点M 2；以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3M 2，对角线A 1M 2和A 3B 3交于点M 3；…，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn 的坐标为__________．16、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______________． 17、如图，正方形ABCD 边长为1，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P 所在位置为____________点；当点P 所在位置为D 点时，点P 的运动路程为_______________(用含自然数n 的式子表示）．18、已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ．E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若AE=4cm ，CF=3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为 ______________cm ．19、现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是____________cm2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律：。

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD 2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长． 解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明． 证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ． 在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1.又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。

第26讲正方形【思维入门】1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④2．如图8－26－1，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()图8－26－1A．45°B．55°C．60°D．75°3．如图8－26－2，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是()图8－26－2A．2.5 B. 5C.32 2 D．24．如图8－26－3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．图8－26－35．如图8－26－4，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.图8－26－4【思维拓展】6．如图8－26－5，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为()图8－26－5A．(－3，1) B．(－1，3)C．(3，1) D．(－3，－1)7．如图8－26－6，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC ＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是()图8－26－6A ．2B ．3C ．4D ．58．如图8－26－7，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( )图8－26－7A ．nB ．n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1D.14n9．如图8－26－8，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上．下列结论：①CE ＝CF ；②∠AEB ＝75°；③BE ＋DF ＝EF ；④S 正方形ABCD＝2＋ 3.其中正确的序号是____(把你认为正确的都填上)．图8－26－810．在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图8－26－9放置，连DE ，BH ，两线交于M .求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE .图8－26－911．如图8－26－10①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF ⊥BE .(1)求证：AF＝BE；(2)如图8－26－10②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图8－26－1012．如图8－26－11①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF 上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结BE，DF.请在图8－26－11②中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．图8－26－1113．(1)如图8－26－12①，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)图8－26－12(2)如图8－26－12②，已知△ABC，以AB，AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连结BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8－26－12③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的长．【思维升华】14．如图8－26－13，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连结BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为()图8－26－13A．6＋4 2 B．16C．12＋8 2 D．3215．如图8－26－14，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C，D在边AB上，且AC ＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F分别为MN，QR的中点，连结EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为()图8－26－14A．1B．2C．3D．616．如图8－26－15，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则AEED等于()图8－26－15A.53 B.35C．2 D.1217．如图8－26－16，已知正方形ABCD中，点M在边CD上，且DM＝3，MC＝1，把线段AM绕点A顺时针旋转，使点M落在BC所在的直线上的点N处，则N，C两点的距离为____．图8－26－16第17题答图18．如图8－26－17，已知四边形ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP＝90°，且D，P，E三点共线，若EA＝AP＝1，PB＝5，则DP＝____．图8－26－1719．如图8－26－18，四边形ABCD是正方形，∠1＝∠2＝∠3.(1)∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长；(2)求证：AG－GF＝GE.图8－26－18第26讲正方形【思维入门】1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④2．如图8－26－1，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C)图8－26－1A．45°B．55°C．60°D．75°3．如图8－26－2，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是(B)图8－26－2A．2.5 B. 5C.32 2 D．2【解析】如答图，连结AC，CF，第3题答图∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝2，CF＝32，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝AC2＋CF2＝（2）2＋（32）2＝2 5.∵H是AF的中点，∴CH＝12AF＝12×25＝ 5.4．如图8－26－3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图8－26－35．如图8－26－4，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.图8－26－4证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠PCB＝∠PCD，又∵PC＝PC，∴△PCB≌△PCD(SAS)，∠PBC＝∠PDC.∵PB＝PE，∴∠PBC＝∠PEC.∴∠PDC＝∠PEC.【思维拓展】6．如图8－26－5，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为(A)图8－26－5A．(－3，1) B．(－1，3)C．(3，1) D．(－3，－1)7．如图8－26－6，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG ，CF .则下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ； ④S △EGC ＝S △AFE ；⑤∠AGB ＋∠AED ＝145°. 其中正确的个数是( C )图8－26－6A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG ＝GC ；通过证明∠AGB ＝∠AGF ＝∠GFC ＝∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；分别求出S △EGC 与S △AFE 的面积比较即可；求得∠GAE ＝45°，∠AGB ＋∠AED ＝180°－∠GAE ＝135°.8．如图8－26－7，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( B )图8－26－7A ．nB ．n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1D.14n【解析】 由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即14×4＝1，5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×4，n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×(n －1)＝n －1.9．如图8－26－8，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上．下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方＝2＋ 3.其中正确的序号是__①②④__(把你认为正确的都填上)．形ABCD图8－26－810．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图8－26－9放置，连DE，BH，两线交于M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.图8－26－9证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，第10题答图∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°.∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH.∴∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，∴△BCH≌△DCE(SAS)．∴BH＝DE.(2)如答图，连结BD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＋∠BDC＝90°.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.∴∠DBM＋∠BDM＝∠DBM＋∠CDE＋∠BDC＝∠DBM＋∠CBH＋∠BDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°.∴∠BMD＝180°－(∠DBM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°.∴BH⊥DE.11．如图8－26－10①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图8－26－10②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图8－26－10解：(1)证明：如答图①，设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，第11题答图①∴∠F AD ＋∠AEG ＝90°. ∴∠AFD ＝∠AEG . ∴△DAF ≌△ABE . ∴AF ＝BE .(2)如答图②，过点A 作AF ∥MP 交CD 于点F ，过点B作BE ∥NQ 交AD 于E .得到▱BEQN 和▱AFPM ， ∴AF ＝MP ，BE ＝NQ ， 由(1)得AF ＝BE ， ∴MP ＝NQ .12．如图8－26－11①，正方形ABCD 的边AB ，AD 分别在等腰直角△AEF 的腰AE ，AF 上，点C 在△AEF 内，则有DF ＝BE (不必证明)．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结BE ，DF .请在图8－26－11②中用实线补全图形，这时DF ＝BE 还成立吗？请说明理由．图8－26－11解：补全图形如答图所示．DF ＝BE 还成立．第12题答图理由：∵四边形ABCD 是正方形，△AEF 是等腰直角三角形，∴AD ＝AB ，AF ＝AE ，∠F AE ＝∠DAB ＝90°. ∴∠F AD ＝∠EAB . 在△ADF 和△ABE 中，第11题答图②⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠F AD ＝∠EAB ，AF ＝AE .∴△ADF ≌△ABE (SAS )． ∴DF ＝BE .13．(1)如图8－26－12①，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE .连结BE ，CD .请你完成图形，并证明：BE ＝CD ；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)图8－26－12(2)如图8－26－12②，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向外做正方形ABFD 和正方形ACGE .连结BE ，CD .BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由； (3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8－26－12③，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100 m ，AC ＝AE ，求BE 的长． 解：(1)如答图①，完成作图，字母标注正确． ∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°. ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ， 即∠CAD ＝∠EAB . ∴△CAD ≌△EAB . ∴BE ＝CD . (2)BE ＝CD . 理由同(1)：∵四边形ABFD 和ACGE 均为正方形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，第13题答图①∠BAD ＝∠CAE ＝90°， ∴∠CAD ＝∠EAB ， ∴△CAD ≌△EAB . ∴BE ＝CD .(3)由(1)，(2)的解题经验可知，如答图②，过AB 作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，则AD ＝AB ＝100 m ，∠ABD ＝45°.∴BD ＝100 2 m ．连结CD ，则由(2)可知BE ＝CD . ∵∠ABC ＝45°，在Rt △DBC 中，BC ＝100 m ，BD ＝100 2 m. ∴CD ＝1002＋（1002）2＝1003(m)．∴BE 的长为100 3 m.【思维升华】14．如图8－26－13，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连结BP ，过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为( C)图8－26－13第14题答图A ．6＋4 2B ．16C ．12＋8 2D ．32【解析】 如答图，过P 分别作PE ，PF ，PG 垂直于AB ，CD ，AD ，垂足分别为E ，F ，G .易证Rt △EPB ≌Rt △FQP ≌Rt △FDP ，所以FQ ＝FD ＝EP ＝2，因此正方形ABCD 的边长为2＋22，所以面积为(2＋22)2＝12＋8 2.15．如图8－26－14，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C ，D 在边AB 上，且AC第13题答图②＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F分别为MN，QR的中点，连结EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为(B)图8－26－14A．1B．2C．3D．6【解析】如答图，设KH中点为S，连结PE，ES，SF，PF，PS，可证明四边形PESF 为平行四边形，第15题答图∴G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，∴点G移动的路径长为2.16．如图8－26－15，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则AEED等于(A)图8－26－15第16题答图 A.53B.35C ．2D.12【解析】 如答图，连结EM ，∵M ，A 关于EF 对称，∴EA ＝EM ，设AE ＝x ，则ED ＝4－x ，EM ＝x ，而DM ＝2，在直角△DEM 中，由勾股定理得(4－x )2＋22＝x 2，解得x ＝52.∴4－x ＝32，∴AE ED ＝53.17．如图8－26－16，已知正方形ABCD 中，点M 在边CD 上，且DM ＝3，MC ＝1，把线段AM 绕点A 顺时针旋转，使点M 落在BC 所在的直线上的点N 处，则N ，C 两点的距离为__1或7__．图8－26－16 第17题答图【解析】 如答图，把线段AM 绕点A 画弧，可见N ，C 两点的距离存在两种情况：①点N 在边BC 上，②点N 在边CB 的延长线上；可以证明△ADM ≌△ABN ≌△ABN ′，所以有BN ＝BN ′＝DM ＝3，所以N ，C 两点的距离是1或7.18．如图8－26－17，已知四边形ABCD 为正方形， △AEP 为等腰直角三角形，∠EAP ＝90°，且D ，P ，E 三点共线，若EA ＝AP ＝1，PB ＝5，则DP ＝．图8－26－17第18题答图【解析】 如答图，连结BE ，易证△AEB ≌△APD ，故PD ＝EB ，∠APD ＝∠AEB . ∵△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP ＝90°. ∴∠AEP ＝∠APE ＝45°.∴∠APD ＝135°. 故∠AEB ＝135°.∴∠PEB＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°.可求PE＝2，再由勾股定理可求得BE＝3，所以PD＝ 3.19．如图8－26－18，四边形ABCD是正方形，∠1＝∠2＝∠3.(1)∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长；(2)求证：AG－GF＝GE.图8－26－18 第19题答图解：(1)在Rt△ADG中，∠D＝90°，∠DAG＝30°，DG＝ 3.所以AG＝23，AD＝AG2－DG2＝12－3＝3，即正方形ABCD的边长是3.(2)如答图，延长FG，交BC的延长线于点M，过点M作AD的垂线，交AD的延长线于点N.在Rt△ADG和Rt△MNF中，∠NMF＝∠3＝∠1＝∠DAG，MN＝BA＝AD，所以△ADG≌△MNF，AG＝MF.在Rt△MCG与Rt△ECG中，∠MGC＝∠3＝∠2.所以△MCG≌△ECG，GM＝GE，于是AG－GF＝MF－GF＝GM＝GE.。